uge 8

Egenskaber for trippel integralet:
(a)
(b)
∫∫∫
∫∫∫
B
B
f(x, y, z) dV = 0, hvis volumenet af B er nul.
1 dV = volumen(B).
(c) Hvis f(x, y, z) ≥ 0, da er ∫∫∫ f(x, y, z) dV “hypervolumenet” af det 4-
B
dimensionale område, som ligger over B og under den 3-dimensionale flade
v = f(x, y, z).
(e1)
(e2)
(f)
∫∫∫
B (f(x, y, z) + g(x, y, z)) dV = ∫∫∫ B f(x, y, z) dV + ∫∫∫ g(x, y, z) dV .
B
∫∫∫
B tf(x, y, z) dV = t ∫∫∫ f(x, y, z) dV .
B
∣ ∫∫∫ B f(x, y, z) dV ∣ ≤ |f(x, y, z)| dV .
∫∫∫B
(g)
∫∫∫B f(x, y, z) dV = ∑ k
∫∫∫
j=1 B j
f(x, y, z) dV , hvis B 1 , B 2 , . . . , B k er en
“inddeling” af B i k deldomæner, som højst overlapper hinanden i nogle
fladestykker eller kurver eller punkter. De må altså ikke have noget
egentlig rumfang til fælles.
Trippelintegraler ved iteration: Antag R er området i R 3 givet ved
a 1 ≤ x ≤ b 1 , a 2 (x) ≤ y ≤ b 2 (x), a 3 (x, y) ≤ z ≤ b 3 (x, y), (∗)
og at f(x, y, z) er kontinuert på R. Da er
∫ ∫ ∫
f(x, y, z) dV =
∫ b1
dx
∫ b2(x)
dy
∫ b3(x,y)
R
a 1 a 2(x) a 3(x,y)
f(x, y, z) dz.
Noget tilsvarende gælder hvis rækkefølgen af x, y, z i (∗) er byttet om.
6