uge 8

Egentlige og uegentlige dobbeltintegraler:
Definition (Egentlige dobbeltintegraler): Dobbeltintegralet ∫∫ f(x, y) dA
D
er egentligt, hvis begge betingelser nedenfor er opfyldt:
• Domænet D er begrænset (og “pænt”, f.eks. regulært).
• f(x, y) er begrænset på D (og f(x, y) er integrabel på D).
Betingelse 2 er automatisk opfyldt hvis f(x, y) er kontinuert og hvis D er afsluttet
(altså D indeholder alle sine randpunkter).
Definition (Uegentlige dobbeltintegraler): Dobbeltintegralet ∫∫ f(x, y) dA
D
er uegentligt, hvis mindst en af følgende betingelser er opfyldt:
• Domænet D er ubegrænset.
• f(x, y) er ubegrænset på D.
Theorem: Antag, at f(x, y) er en kontinuert og positiv funktion på et domæne
D. Vi tillader, at domænet D kan være ubegrænset eller at funktionen f(x, y)
kan være ubegrænset. Hvis D er et y-simpel, da gælder
∫ ∫
∫ b ∫ d(x)
f(x, y) dA = dx f(x, y) dy.
Hvis D er x-simpel, da gælder
∫ ∫
f(x, y) dA =
Bemærkninger:
D
D
a
∫ d
c
dy
c(x)
∫ b(y)
a(y)
f(x, y) dx.
• De nedre grænser a, a(y), c, c(x) kan være −∞, og de øvre grænser
b, b(y), d, d(x) kan være +∞.
• De to integraler på højresiderne vil (normalt) være uegentlige (enkelt)
integraler.
• Integralet kan antage værdien +∞.
Definition: Hvis f(x, y) er positiv, så siger vi, at
∫ ∫
∫ ∫
def
f(x, y) dA er konvergent ⇐⇒
D
∫ ∫
∫ ∫
def
f(x, y) dA er divergent ⇐⇒
D
2
D
D
f(x, y) dA < ∞,
f(x, y) dA = ∞.