uge 8

Skift af variable i trippel integraler: Lad D være et område i det 3-
dimensionale (x, y, z)-rum. Antag at
x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w)
er glatte funktioner, og at der er et område S i (u, v, w)-rummet således, at
der til hvert (x, y, z) i D svarer netop et punkt (u, v, w) i S så x = x(u, v, w),
y = y(u, v, w) og z = z(u, v, w).
Lad f(x, y, z) være en integrabel funktion på D. Da er
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
f(x, y, z) dxdydz = g(u, v, w)
∂(x, y, z)
∣∂(u, v, w) ∣ dudvdw,
hvor
og hvor
D
S
∣ ∣∣∣∣∣∣∣ ∂x
∂u
∂(x, y, z)
∂(u, v, w) = ∂y
∂u
∂z
∂u
∂x
∂v
∂y
∂v
∂z
∂v
∂x
∂w
∂y
∂w
∂z
∂w
,
∣
g(u, v, w) = f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)).
Skift af variable til cylinder koordinater: Lad R være et område i (x, y, z)-
rummet, og lad S være det tilsvarende område i (r, θ, z)-rummet under hensyn
til cylinder koordinatskiftet:
x = r cos(θ), y = r sin(θ), z = z.
Lad f(x, y, z) være en integrabel funktion på R. Da er
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
f(x, y, z) dxdydz = g(r, θ, z)r drdθdz,
hvor
R
g(r, θ, z) = f(r cos(θ), r sin(θ), z).
Skift af variable til sfæriske koordinater: Lad R være et område i (x, y, z)-
rummet, og lad S være det tilsvarende område i (r, θ, z)-rummet under hensyn
til det sfæriske koordinatskift:
x = ρ sin(φ) cos(θ), y = ρ sin(φ) sin(θ), z = ρ cos(φ).
Lad f(x, y, z) være en integrabel funktion på R. Da er
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
f(x, y, z) dxdydz = g(ρ, φ, θ)ρ 2 sin(φ) dρdφdθ,
hvor
R
g(ρ, φ, θ) = f(ρ sin(φ) cos(θ), ρ sin(φ) sin(θ), ρ cos(φ)).
NB: Variablen φ skal ligge i intervallet [0, π], mens variablen θ kan ligge i [0, 2π]
eller i [−π, π] afhængigt af, hvad der er mest praktisk. Endelig: ρ ≥ 0.
S
S
7