uge 8

Generelt variabelskift: Lad D være et område i (x, y)-planen. Antag at
x = x(u, v), y = y(u, v)
er glatte funktioner, og at der er et område S i (u, v)-planen således, at der til
hvert (x, y) i D svarer netop et punkt (u, v) i S så x = x(u, v) og y = y(u, v). 1
Lad f(x, y) være en integrabel funktion på D. Da er
∫ ∫
D
∫ ∫
f(x, y) dxdy =
S
g(u, v)
∂(x, y)
∣∂(u, v) ∣ dudv,
hvor
og hvor
∣
∂(x, y) ∣∣∣∣ ∂x
∂(u, v) = ∂u
∂y
∂u
∂x
∂v
∂y
∂v
∣ = ∂x ∂y
∂u ∂v − ∂x ∂y
∂v ∂u ,
g(u, v) = f(x(u, v), y(u, v)).
Fire trin:
• Find et smart koordinatskifte u = u(x, y) og v = v(x, y).
• Skift område D (mht. rektangulære koordinater) ud med nyt område S
(mht. nye koordinater (u, v)).
• Skift f(x, y) ud med g(u, v) = f(u(x, y), v(x, y)).
∣
• Skift dA = dxdy ud med ∣ dudv.
∣ ∂(x,y)
∂(u,v)
Hvis man istedet har givet
u = u(x, y),
v = v(x, y),
da kan vi benytte:
( ) −1
∂(x, y) ∂(u, v)
∂(u, v) = =
∂(x, y)
∣
∂u
∂x
∂v
∂x
∂v
∂y
∣
∂u −1
∂y
.
Højresiden vil være en funktion i (x, y), som man så må lave om til en funktion
i (u, v).
1 Undertiden kan der være en kurve i S, som svarer til et enkelt punkt i D (eller omvendt)
uden at det ødelægger formlen. F. eks giver alle polære koordinater (0, θ) anledning til samme
punkt i x − y planen, nemlig punktet (0, 0).
5