uge 8

Theorem (Tonelli): Hvis D er et domæne, som både er x-simpelt og y-simpelt,
og hvis f(x, y) er en kontinuert og positiv funktion på D, da er
∫ b
a
dx
∫ d(x)
c(x)
f(x, y) dy =
∫ d
c
dy
∫ b(y)
a(y)
f(x, y) dx.
Vi må altså ombytte integrationsrækkefølgen når f(x, y) er positiv.
Definition: Hvis f(x, y) er reel (ikke nødvendigvis positiv), så siger vi, at
∫ ∫
∫ ∫
def
f(x, y) dA er konvergent ⇐⇒ |f(x, y)| dA < ∞
D
D
∫ ∫
(
⇐⇒ |f(x, y)| dA er konvergent )
D
Definition: Hvis f(x, y) er integrabel på domænet D, og hvis
0 < areal(D) < ∞, da sættes
∫ ∫
1
f =
f(x, y) dA.
areal(D)
Størrelsen f kaldes middelværdien for f (over D).
Theorem 3: Hvis f(x, y) er en kontinuert funktion defineret på domænet D,
og hvis D er sammenhængende, afsluttet og begrænset (og areal(D) > 0), da
findes (x 0 , y 0 ) ∈ D så
f = f(x 0 , y 0 ).
D
Med andre ord: middelværdien for f(x, y) antages i et punkt (x 0 , y 0 ) ∈ D.
3