Matematik og modeller 2012: Facit til udvalgte opgaver fra Modul 3–5

Opgave S.3.1
y = 1 3 ln( 3
2 e2x +c ) (c ∈ R).
Opgave S.3.2
y = − 8 12
13
cos(2x)+
13 sin(2x)+ce−3x (c ∈ R).
Opgave S.3.3
Ligevægte: x ∗ = 0 (stabil for a < 1) og x ∗ = lna (stabil for a > 1).
Opgave S.3.4
(a) Ligevægte: N ∗ = 300 (ustabil) og N ∗ = 700 (stabil).
(b) H < 50. Den mindste ligevægt er ustabil, mens den største er stabil.
Opgave S.3.5
(a) y = 1
x 2 +c
(c ∈ R).
(b)
(c)
x 0.0 0.2 0.4 0.6
y(x) 1.000 0.962 0.862 0.735
y(x) [Euler] 1 1 0.92 0.785
x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
y(x) 1.000 0.990 0.962 0.917 0.862 0.800 0.735 0.671 0.610 0.552 0.500
y(x) [Euler] 1 1 0.98 0.942 0.888 0.825 0.757 0.688 0.622 0.560 0.504
(d) h = 0.01: y(1) = 0.50036 vha. Eulers metode. Afvigelse 0.00036.
h = 0.001: y(1) = 0.500035 vha. Eulers metode. Afvigelse 0.000035.
(e)
(f)
x 0.0 0.2 0.4 0.6
y(x) [Euler forbedret] 1 0.96 0.86 0.735
x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
y(x) [Euler forbedret] 1 0.99 0.961 0.917 0.862 0.8 0.736 0.672 0.61 0.553 0.501
(g) h = 0.01: y(1) = 0.5000096 vha. Eulers forbedrede metode. Afvigelse 0.0000096.
h = 0.001: y(1) = 0.5000001 vha. Eulers forbedrede metode. Afvigelse 0.0000001.
(h) Eulerny(f,1000,0,1,2) = 0.199987. Eulerforbedretny(f,1000,0,1,2) = 0.2000003.
2