Matematik og modeller 2012: Facit til udvalgte opgaver fra Modul 3–5

Matematik og modeller 2012:
Facit til udvalgte opgaver fra Modul 3–5
DL Opgave 136
For a > 0 og b > 0: y = 1
a+b+1 xb+1 +cx −a (c ∈ R).
DL,
(
Opgave 152
x
y)
= e
−t ( 2) −5 +3e
6t ( 1)
1
DL,
(
Opgave 169
x
(
y)
=
7t+9
)
13t +c1 e −t( )
1
1 +c2 e 3t( )
1
5
DL,
(
Opgave 180
3
)
1 , ustabil
DL, Opgave 187
Ustabil
DL, Opgave 192
Ustabil
DL, Opgave 194
(1) ( 1 3 , 1 3 )
DL, Opgave 204
( )
(1) (M ∗ ,N ∗ ) = 30(2α−1) 30
4α−1
,
4α−1
for α ≥ 1 2 .
(2)
1
4α−1
(3) Stabil
( ) 2−4α 1−2α
−1 −2α
DL, Opgave 205
(3,5)
DL, Opgave 206
(30,20); stabil
1

Opgave S.3.1
y = 1 3 ln( 3
2 e2x +c ) (c ∈ R).
Opgave S.3.2
y = − 8 12
13
cos(2x)+
13 sin(2x)+ce−3x (c ∈ R).
Opgave S.3.3
Ligevægte: x ∗ = 0 (stabil for a < 1) og x ∗ = lna (stabil for a > 1).
Opgave S.3.4
(a) Ligevægte: N ∗ = 300 (ustabil) og N ∗ = 700 (stabil).
(b) H < 50. Den mindste ligevægt er ustabil, mens den største er stabil.
Opgave S.3.5
(a) y = 1
x 2 +c
(c ∈ R).
(b)
(c)
x 0.0 0.2 0.4 0.6
y(x) 1.000 0.962 0.862 0.735
y(x) [Euler] 1 1 0.92 0.785
x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
y(x) 1.000 0.990 0.962 0.917 0.862 0.800 0.735 0.671 0.610 0.552 0.500
y(x) [Euler] 1 1 0.98 0.942 0.888 0.825 0.757 0.688 0.622 0.560 0.504
(d) h = 0.01: y(1) = 0.50036 vha. Eulers metode. Afvigelse 0.00036.
h = 0.001: y(1) = 0.500035 vha. Eulers metode. Afvigelse 0.000035.
(e)
(f)
x 0.0 0.2 0.4 0.6
y(x) [Euler forbedret] 1 0.96 0.86 0.735
x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
y(x) [Euler forbedret] 1 0.99 0.961 0.917 0.862 0.8 0.736 0.672 0.61 0.553 0.501
(g) h = 0.01: y(1) = 0.5000096 vha. Eulers forbedrede metode. Afvigelse 0.0000096.
h = 0.001: y(1) = 0.5000001 vha. Eulers forbedrede metode. Afvigelse 0.0000001.
(h) Eulerny(f,1000,0,1,2) = 0.199987. Eulerforbedretny(f,1000,0,1,2) = 0.2000003.
2

Opgave S.4.1
(a) Lad x(t) og y(t) betegne mængderne af stoffet i tank 1 hhv. tank 2 til tiden t.
( ) ( )
x
′ −
b c (x ( )
V W −
b c (x
V W
y ′ = = , idet b = a+c.
y)
y)
b
V
− a+c
W
b
V
− b W
(b) Fuldstændig løsning:
( x
y)
= c1 e −0.2t( )
1
4 +c2 e −t( )
3
−4
Partikulær løsning: c 1 = 15 og c 2 = 10, så
x(t) = 15e −0.2t +30e −t og y(t) = 60e −0.2t −40e −t .
(c 1 ,c 2 ∈ R).
0 10 20 30 40 50
x
y
0 5 10 15 20 25 30
t
(c)
( x
′
y ′ )
=
(
−
b
V
b
V
c
W
− b W
) (x
y)
+
( ) ka
.
0
(d) ( x ∗
y ∗ )
=
( kV
kW)
.
(e) Slutkoncentrationen er k i begge tanke (og afhænger altså kun af k).
Opgave S.4.2
(a) e −2t cost hhv. e −2t sint
(b) v(t) = e −2t( cost+sint
cost
)
+ie
−2t ( −cost+sint)
sint
Opgave
(
S.4.3
x
y)
= c1 e −2t( cost+sint) cost +c2 e −2t( −cost+sint)
sint
(c 1 ,c 2 ∈ R)
3

Opgave S.5.1
t 0.0 0.1 0.2
x(t) [Euler] 5 6.6 9.3
y(t) [Euler] −2 0.3 3.63
x(t) 5 7.28 11.60
y(t) −2 0.94 5.87
Opgave S.5.2
y
(a)
y
(b) h = 0.1:
t 0.0 0.5 1.0
x(t) [Euler] 2 0 0
y(t) [Euler] 1 1.5 0.75
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
x
y
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0 1 2 3 4
t
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
x
h = 0.01:
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
x
y
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0 1 2 3 4
t
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
x
Opgave S.5.3
(a) 326 gram den 1. oktober
(b) Strategi A: Høst 255 gram
Strategi B: Høst 609 gram
Opgave S.5.4
V ′ = h 1 b KV +h 4 b GV −(f V +l A )V
BC ′ = h 4 b GC − ( (
f C g BC
) )
1 V +lB BC.
4

Opgave S.5.5
(a) Ligevægte: (0,0), (15,0), (0,15a) og (20−10a,20a −10).
M ∗ > 0 og N ∗ > 0 for 0.5 < a < 2.
(b) Med M ′ = f(M,N) og N ′ = g(M,N) fås
( (
f 1−
2
15
D (M,N) =
g)
M − 1 30 N − 1
30 M
)
− 1 30 N a− 1 30 M − 2
15 N .
( f
D (M
g)
∗ ,N ∗ ) = 1 ( ) 2a−4 a−2
.
3 1−2a 2−4a
(c) Ligevægten er stabil for alle 0.5 < a < 2.
5