Matematik og databehandling 2012 Miniprojekt D ...
Matematik og databehandling 2012 Miniprojekt D ...
Matematik og databehandling 2012 Miniprojekt D ...
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
0<br />
16<br />
14<br />
12<br />
10<br />
10<br />
8<br />
6<br />
x 5<br />
4<br />
2<br />
<strong>Matematik</strong> <strong>og</strong> <strong>databehandling</strong> <strong>2012</strong><br />
t<br />
10 12<br />
2 4 6 8<br />
<strong>Miniprojekt</strong> D:<br />
Produktionsfunktioner af to variable<br />
onsdag 31/10<br />
Lokaler <strong>og</strong> vejledning<br />
Følgende lokaler er til rådighed kl. 8–17 for gruppearbejde:<br />
3-11 (A2-70.01), 3-12 (A2-70.02), vandrehallen samt grupperum:<br />
Thorvaldsensvej 40: 16–29 <strong>og</strong><br />
Thorvaldsensvej 57, 2. sal: E302, E304, G304, I304, K304, A306, L306.<br />
Der er adgang til vejledning i marmorhallen onsdag 31/10 kl. 8–16.30.<br />
Aflevering af besvarelsen Besvarelsen afleveres på papir onsdag 31/10 kl. 16.30–17.00<br />
(senest) i marmorhallen. Sammen med besvarelsen skal I aflevere to identisk udfyldte eksemplarer<br />
af forsiden, som udleveres sammen med <strong>Miniprojekt</strong>et. I får det ene eksemplar tilbage som<br />
kvittering for at I har afleveret.<br />
Besvarelsens form Skriv gerne besvarelsen i hånden, da det er besværligt at skrive matematiske<br />
symboler i tekstbehandling. Besvarelsen skal bestå af:<br />
• Besvarelsen af de enkelte opgaver. Angiv præcise mellemregninger samt forklaringer på,<br />
hvad I har gjort. Det gælder <strong>og</strong>så de resultater, I har opnået ved brug af regneark <strong>og</strong> R<br />
(beregninger, grafer mm.).<br />
• Vedlæg udskrifter af<br />
– de vigtigste R-kommandoer, I har benyttet,<br />
– relevant output fra regneark <strong>og</strong> R inklusiv de grafer I har tegnet for at løse opgaverne.<br />
Dette kan gøres ved at kopiere grafer <strong>og</strong> andet output over i Word. Udskrifterne skal<br />
placeres sammen med jeres håndskrevne løsninger af de pågældende delspørgsmål <strong>og</strong> ikke<br />
som separate bilag. Besvarelsen skal være sammenhængende <strong>og</strong> skal kunne læses uden at<br />
man skal blade frem <strong>og</strong> tilbage i den.<br />
Ved bedømmelsen af besvarelsen lægges der vægt på ovenstående.<br />
Eksamenssnyd Gruppen skal selv løse opgaverne. Samarbejd gerne med andre grupper,<br />
men afskrift er eksamenssnyd. Bemærk at alle gruppens medlemmer skriver under på, at de har<br />
arbejdet med på hele projektet <strong>og</strong> har forstået <strong>og</strong> godkendt den samlede rapport.<br />
Godkendelse <strong>og</strong> evt. genaflevering af besvarelsen Hver besvarelse bedømmes enten<br />
som “godkendt” eller “ikke godkendt”, <strong>og</strong> der kræves 75 point ud af 100 for at en besvarelse bliver<br />
godkendt. I får de rettede <strong>og</strong> kommenterede besvarelser tilbage, <strong>og</strong> der vil være mulighed for at<br />
genaflevere ikke-godkendte besvarelser. De praktiske detaljer vedrørende genaflevering vil blive<br />
udsendt pr. email.<br />
1
<strong>Miniprojekt</strong> D <strong>Matematik</strong> <strong>og</strong> <strong>databehandling</strong> <strong>2012</strong><br />
Dette miniprojekt består af 3 opgaver, der kan løses uafhængigt af hinanden<br />
Opgave 1 (65%)<br />
En virksomhed producerer et vist produkt. Produktionen P (målt i passende enheder) afhænger<br />
i det væsentlige af to faktorer, nemlig arbejdskraft <strong>og</strong> mængden af en given råvare. Den anvendte<br />
arbejdskraft x måles i timer <strong>og</strong> den anvendte mængde af råvaren y måles i kg. Produktionen<br />
P = P(x,y) er altså en funktion af x <strong>og</strong> y. Det viser sig rimeligt at antage, at P(x,y) er givet<br />
ved<br />
P(x,y) = x2<br />
1+x 2 y1/4 for x ≥ 0 <strong>og</strong> y ≥ 0.<br />
(a) Bestem produktionen ved anvendelse af 3 timers arbejdskraft <strong>og</strong> 16 kg råvarer.<br />
(b) Lad y > 0 være fast. Hvad sker der med P(x,y) når x → ∞?<br />
Lad x > 0 være fast. Hvad sker der med P(x,y) når y → ∞?<br />
Niveaukurverne for produktionen P(x,y) kaldes i økonomi for isokvanter. En isokvant angiver<br />
således de forskellige mængder af arbejdskraft <strong>og</strong> råvarer, der resulterer i en given produktion.<br />
(c) Bestem isokvanterne hørende til en produktion på c enheder, hvor c > 0 er vilkårlig, ved<br />
at udtrykke y = y(x) som en funktion af x.<br />
Tegn vha. R graferne for tre isokvanter svarende til c = 1,2,3 i samme koordinatsystem.<br />
(Vælg passende grænser for x <strong>og</strong> y, så alle tre grafer kan ses.)<br />
Ved anvendelse af 2 timers arbejdskraft ønskes en produktion på 4 enheder. Hvor mange<br />
kg råvarer skal anvendes?<br />
Virksomheden køber arbejdskraft <strong>og</strong> råvarer: Prisen på en times arbejdskraft er 200 kr., mens<br />
prisen på et kg af råvaren er 300 kr. Endvidere sælges virksomhedens produkt til en pris på 1200<br />
kr. pr. enhed.<br />
(d) Opstil den funktion F(x,y), som angiver virksomhedens fortjeneste, dvs. indtægter minus<br />
udgifter ved anvendelse af x timers arbejdskraft <strong>og</strong> y kg af råvaren.<br />
Bestem derefter de partielle afledede F x ′(x,y) <strong>og</strong> F′ y (x,y) af F(x,y) mht. x <strong>og</strong> y.<br />
(e) Bestem samtlige stationære punkter for F(x,y) i området x > 0 <strong>og</strong> y > 0.<br />
[Vink: Vis først, at ligningenF x(x,y) ′ = 0 medførery −1/4 = 12x . Indsæt dette i ligningen<br />
(1+x 2 ) 2<br />
(x,y) = 0. Løs den fremkomne ligning, hvor den ubekendte er x, vha. uniroot i R. ]<br />
F ′ y<br />
(f) Afgør for hvert af de stationære punkter om der er tale om et lokalt maksimumspunkt,<br />
lokalt minimumspunkt eller et sadelpunkt for F(x,y).<br />
(g) Hent R-funktionen overflade fra<br />
http://matdat.life.ku.dk/mat-dat/eksempler<br />
(Se Appendiks H i Noter om R <strong>og</strong> Noter om regneark for vejledning i indlæsning <strong>og</strong> brug<br />
af overflade.) Benyt overflade til at tegne grafen for F(x,y) over et passende område,<br />
sådan at man kan se det (lokale) maksimum for F(x,y).<br />
[Vink: Det kan være en fordel at benytte ticktype="detailed".]<br />
Benyt endvidere R-funktionencontour (se Afsnit 21 i Noter om R <strong>og</strong> Noter om regneark) til<br />
at tegne n<strong>og</strong>le af funktionens niveaukurver, hvoraf beliggenheden af det lokale maksimum<br />
fremgår.<br />
2
<strong>Miniprojekt</strong> D <strong>Matematik</strong> <strong>og</strong> <strong>databehandling</strong> <strong>2012</strong><br />
(h) Virksomheden ønsker at bruge præcis 1000 kr i alt til arbejdskraft <strong>og</strong> råvarer. Hvor mange<br />
af disse penge skal bruges på arbejdskraft hhv. råvarer for at virksomheden opnår den størst<br />
mulige fortjeneste?<br />
[Vink: Opstil et maksimeringsproblem under en bibetingelse. Brug bibetingelsen til at reducere<br />
problemet til et maksimeringsproblem for en funktion af én variabel, <strong>og</strong> benyt gerne<br />
R-funktionen optimize til at bestemme maksimum for denne funktion.]<br />
Bemærk at spørgsmål (i)-(j) omhandler funktionen P(x,y); ikke F(x,y).<br />
(i) Bestem en ligning z = T(x,y) for tangentplanen for P(x,y) i punktet (a,b) = (1,16).<br />
(j) [Der gives IKKE vejledning til dette delspørgsmål, som højst tæller 5%]<br />
Vis at tangentplanen (fundet i (i)) ligger over grafen for funktionen P(x,y) i nærheden af<br />
(1,16).<br />
[Vink: Vis at funktionen T(x,y)−P(x,y) er større end eller lig med 0 i nærheden af (1,16)<br />
ved at argumentere for at den har lokalt minimum i (1,16).]<br />
Opgave 2 (20%)<br />
Lad<br />
hvor a ∈ R.<br />
f(x,y) = x 2 +ay 2 −2ax,<br />
(a) Lad a ≠ 0 være vilkårlig. Vis, at f(x,y) har netop et stationært punkt <strong>og</strong> bestem dette.<br />
Afgør endvidere om f(x,y) har lokalt maksimum, lokalt minimum eller sadelpunkt i dette<br />
stationære punkt. (Svaret vil afhænge af a.)<br />
(b) Lad a = 1. Benyt R-funktionen overflade (som i Opgave 1(g)) til at tegne grafen for<br />
f(x,y) over et passende område <strong>og</strong> tegn n<strong>og</strong>le af funktionens niveaukurver vha. R-funktionen<br />
contour. Begrund at disse grafer bekræfter konklusionerne i spørgsmål (a). Gør derefter<br />
tilsvarende for a = −1.<br />
(c) Lad a ∈ R være vilkårlig. Udregn dobbeltintegralet<br />
∫∫<br />
f(x,y)dxdy,<br />
hvor Ω = {(x,y)|0 ≤ x ≤ 1 <strong>og</strong> −x ≤ y ≤ x}.<br />
Ω<br />
Opgave 3 (15%)<br />
I denne opgave skal I bruge regneark til at analysere data fra studerende (kaldet dommere), der<br />
har prøvesmagt chokoladeprodukter. Resultatet fra prøvesmagningen foreligger i en regnearksfil<br />
kaldet Chokolade.xls, som kan hentes fra<br />
Et udsnit af regnearket er vist nedenfor:<br />
http://matdat.life.ku.dk/mat-dat/miniprojekter<br />
3
<strong>Miniprojekt</strong> D <strong>Matematik</strong> <strong>og</strong> <strong>databehandling</strong> <strong>2012</strong><br />
Der er 30 dommere (Karen, Stine osv.) som hver har bedømt 6 forskellige egenskaber (mørkhed,<br />
hårdhed, sødhed, kakaosmag, mælkeagtighed <strong>og</strong> bitterhed) ved 3 chokoladeprodukter (Dark278,<br />
Dark624 <strong>og</strong> Milk498). Der er altså 30·3 = 90 rækker med observationer. Hver observation har<br />
otte variable, nemlig dels dommernavn <strong>og</strong> produktnavn, <strong>og</strong> dels de seks observerede egenskaber.<br />
Kolonneoverskrifter til observationerne står i A3:H3 <strong>og</strong> selve observationerne står i A4:H93.<br />
(a) Gennemsnitlig bedømmelse for alle produkter <strong>og</strong> egenskaber<br />
Åbn regnearket <strong>og</strong> sortér datasættet, så alle observationer vedrørende et givet produkt står<br />
lige under hinanden. Pas på I ikke får sorteret kolonneoverskrifterne med.<br />
Find for hvert produkt gennemsnittet for hver af de seks egenskaber, altså produktets gennemsnitlige<br />
mørkhed, gennemsnitlige hårdhed osv.<br />
[Vink: Dette gøres nemmest ved at bruge subtotaler.]<br />
[Vink ved brug af OpenOffice: I dial<strong>og</strong>boksen Subtotaler skal man under “Beregn subtotaler<br />
for” markere (men ikke afkrydse) en egenskab, fx Mørkhed, så den fremtræder skygget,<br />
<strong>og</strong> så under “Beregn funktion” vælge Middel; <strong>og</strong> derefter gentage dette for de andre fem<br />
egenskaber.]<br />
Brug disposition, dvs. knapperne 1-2-3 til venstre for arket, til kun at vise gennemsnittene for<br />
hvert af de tre produkter <strong>og</strong> deres seks egenskaber. (Det gør ikke n<strong>og</strong>et at hovedgennemsnittet<br />
over alle produkter <strong>og</strong>så kommer med nederst).<br />
Lav et xy-plot af gennemsnitlig bitterhed som funktion af gennemsnitlig kakao for de tre<br />
produkter. Der skal altså kun være tre datapunkter i plottet. Punkterne skal ikke være<br />
forbundet med rette linier.<br />
Aflevér: Udskrift af regnearket, hvor kun de beregnede gennemsnit vises. Gennemsnittene<br />
skal vises med to decimaler. Aflevér endvidere en udskrift af xy-plottet.<br />
(b) Hver bedømmelses afvigelse fra gennemsnitsbedømmelsen<br />
Behold subtotalerne beregnet i (a), men udfold dispositionen, så I igen kan se alle tallene.<br />
Fokusér nu på dataene for den mørke chokolade kaldet Dark624. Disse data står i A35:H64,<br />
<strong>og</strong> de beregnede gennemsnit står i C65:H65. Beregn for hver dommer <strong>og</strong> hver egenskab<br />
kvadratet på forskellen mellem dommerens bedømmelse <strong>og</strong> gennemsnittet for den egenskab.<br />
[Vink: Dette gøres nemmest ved at skrive én formel med brug af relative <strong>og</strong> absolutte<br />
referencer, <strong>og</strong> kopiere den for alle 6 egenskaber <strong>og</strong> alle 30 dommere. Hvis formlen skrives<br />
i celle J35, så skal den kopieres til J35:O64, altså området fra kolonne J række 35 til kolonne<br />
(b<strong>og</strong>stav) O række 64.]<br />
Beregn derefter for hver dommer, men stadig kun for Dark624, summen af kvadratafvigelserne<br />
beregnet ovenfor. (Dette giver et mål for hvor langt dommerens bedømmelser ligger fra den<br />
gennemsnitlige bedømmelse (for chokolade Dark624).)<br />
[Vink: Dette gøres nemmest ved at skrive en formel i celle Q35 <strong>og</strong> kopiere den til Q36:Q64.]<br />
Aflevér: Angiv den formel, der blev skrevet i J35, samt hvordan denne formel ser ud, når<br />
den er kopieret til M35, <strong>og</strong> hvordan den ser ud, når den er kopieret til O64.<br />
Angiv endvidere navnet på den dommer, der ligger tættest på gennemsnittet samt summen<br />
af denne dommers kvadratafvigelser. Besvar <strong>og</strong>så dette for den dommer der ligger længst<br />
væk fra gennemsnittet.<br />
(c) Start forfra med det oprindelige regneark Chokolade.xls.<br />
Find for hver dommer gennemsnittet af dommerens bitterhedsbedømmelser <strong>og</strong> gennemsnittet<br />
af dommerens kakaobedømmelser. Lav derefter et xy-plot med ét datapunkt for hver<br />
dommer, som viser dommerens gennemsnitlige bitterhedsbedømmelse som funktion af dommerens<br />
gennemsnitlige kakaobedømmelse.<br />
Aflevér: En forklaring af de beregninger I lavede, en forklaring af hvordan I lavede plottet,<br />
<strong>og</strong> en udskrift af selve plottet.<br />
4