Matematik og databehandling Eksamen, 7. november 2012, kl. 8.30 ...

Eksamen, 7. november 2012Matematik og databehandlingOpgave 3 (50%)De 10 spørgsmål i denne opgave løses uafhængigt af hinanden.(a) Betragt funktionenf(x) = x 2 −ax+1.Bestem, udtrykt ved parameteren a, den værdi af x hvori f(x) har minimum.(b) Om en funktion f(x) vides det, atM = max0≤x≤0.1 |f′′ (x)| = 8samt at f 1 (0.1) = 5.7, hvor f 1 (x) er Taylorpolynomiet af orden 1 med udviklingspunkt a = 0for f(x). Hvilke af tallene 5.4 og 5.9 er mulige værdier for f(0.1)?(c) Bestem den ligevægt( x∗y ∗ )for matricen ( ) 0.9 0.4,0.1 0.6som opfylder x ∗ +y ∗ = 10.(d) Bestem det tal, som står 1. række og 3. søjle i matrixproduktet⎛ ⎞⎛⎞1 2 3 1 0 −2⎝4 5 6⎠⎝0 −3 0⎠.7 8 9 −4 0 5(e) Bestem den løsning y = y(x) til differentialligningensom opfylder y(0) = 1.dydx = 3x2 y 2 ,(f) Bestem den fuldstændige løsning y = y(x) til differentialligningendy−y = 1−x.dx(g) Bestem dobbeltintegralet ∫∫hvor Ω = {(x,y)|0 ≤ x ≤ 1 og 0 ≤ y ≤ x}.Ω(3x+20y 3 )dxdy,3