Matematik og databehandling 2012 Miniprojekt C ...

Miniprojekt C Matematik og databehandling 2012(ii) Indsæt løsningen K = K(t) fundet i (c)(i) i differentialligningen (4). Bestem derefterden løsning L = L(t) til differentialligningen (4), som opfylder L(0) = 16. (Parameterenβ vil indgå i løsningsudtrykket.)(iii) Lad L = L(t) være løsningen fundet i (ii). Tegn vha. R graferne for L = L(t) for0 ≤ t ≤ 1 for parameterværdierne β = 2, 3 og 4 i samme koordinatsystem.Bestem grænseværdien lim t→∞ L(t) udtrykt ved β.Det oplyses, at der efter 0.4 dage er dannet 70 gram SCIENCE-12. Bestem β.[Vink: I får brug for R-funktionen uniroot.]Opgave 2 (25%)En sø tilføres i en periode et forurenende stof. Endvidere strømmer der rent vand ind i søen ogforurenet vand ud af søen. Til at starte med oplyses følgende:• Søens volumen på 3000 m 3 ændrer sig ikke i løbet af perioden.• Til et givet tidspunkt t (målt i måneder) tilføres det forurenende stof med en hastighed påf(t) gram pr. måned. Her er f(t) en indtil videre ukendt funktion.• Gennemstrømningen af vand i søen er på 600 m 3 pr. måned.Vi betegner mængden (målt i gram) af det forurenende stof i søen til tiden t med M = M(t).Oplysningerne ovenfor leder til differentialligningen(a) Det oplyses, atdMdt + 600 M = f(t). (6)3000f(t) = 0.1t+1.5.Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen (6).(b) Ved periodens begyndelse er der 40 gram af stoffet i søen. Bestem et udtryk for mængdenM = M(t) af stoffet i søen til tiden t, idet det fortsat antages, at f(t) = 0.1t+1.5. Tegnvha. R grafen for M(t) for 0 ≤ t ≤ 30.I resten af Opgave 2 antages det, at der (pga. meget nedbør) strømmer mere vand ind i søen endud af søen. Mere specifikt oplyses følgende:• Søens volumen er 3000 m 3 ved periodens begyndelse.• Til et givet tidspunkt t (målt i måneder) tilføres det forurenende stof med en hastighed påf(t) gram pr. måned. Her er f(t) en indtil videre ukendt funktion.• Udstrømningen af (forurenet) vand fra søen er på 600 m 3 pr. måned.• Indstrømningen af rent vand til søen er på 750 m 3 pr. måned.Mængden (målt i gram) af det forurenende stof i søen til tiden t betegnes fortsat med M = M(t).(c) Bestem søens volumen som funktion af tiden t. Lav derefter som i Anvendelseseksempel C.8et kompartmentdiagram over ændringen i forureningen i søen, og benyt dette til at vise,at de nævnte antagelser leder til differentialligningen(d) Det antages, atdMdt + 4 M = f(t). (7)20+tf(t) = 0.18(20+t).Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen (7).3