Ackermann-Funktion

Theoretische Informatik 

Ackermann-Funktion 

Ali Eyerta

Inhalt 

� Entstehungsgeschichte 

� Bedeutung in der Theoretischen Informatik 

� Ackermanns Idee 

� Ackermann-Funktion 

� Anwendungen 

� Benchmark für rekursive Aufrufe 

� Implementation 

� Wertetabelle 

� Sonstiges 

� Funktionswert ack(4,2) 

� Die Busy Beaver Funktion 

� Ende 

Ackermannfunktion – Theoretische Informatik Verfasser: Ali Eyerta

Entstehungsgeschichte 

� 1926 vermutet David Hilbert dass jede berechenbare 

Funktion primitiv rekursiv sei 

� Einfach ausgedrückt: Jede durch einen Computer berechenbare 

Funktion aus wenigen einfachen Regeln zusammensetzen 

lassen und die Dauer der Berechnung sich im Voraus 

abschätzen lässt. 

� Dies trifft auf nahezu alle in der Praxis vorkommenden 

Funktionen zu 

� 1928 veröffentlich Wilhelm Ackermann eine Funktion die 

diese Vermutung widerlegt 

� Diese Funktion kann von einem Computer berechnet werden ist 

aber nicht primitiv rekursiv. 

� 1955 konstruierte Rózsa Péter eine vereinfachte 

Version, die die gleichen Eigenschaften besitzt 


Bedeutung in der theo. Informatik 

� Suche nach Grenzen von Computern: 

berechenbare Funktionen 

� dies sind Funktionen mit gegebenen Algorithmen, die 

eine Turingmaschine berechnen kann 

� Problem: entscheiden ob eine Funktion 

berechenbar ist oder nicht. 

� Algorithmus gefunden -> berechenbar 

� Algorithmus nicht gefunden -> ungewiss 

� Entweder nicht berechenbar oder es gibt einen Algorithmus 

aber nicht gefunden 


Bedeutung in der theo. Informatik 

� Alternative Definitionen werden gesucht 

� Erster Ansatz: primitiv rekursive Funktionen 

� Sind Funktionen die aus wenigen Regeln und 

einfachen Funktionen zusammensetzen lassen 

� Vermutung das alle berechenbare Funktionen 

primitiv Rekursiv sind 

� Ackermanns Funktion ist berechenbar aber nicht 

primitiv rekursiv -> Vermutung falsch 


Ackermanns Idee 

� a+b, a*b, a^b,… . 

� a*b ist gerade a+a+…+a , wobei die Variable a, b-mal vorkommt 

� Die Idee: diese Folge als Funktion aufzufassen. 

Beispiel: a = 2 und b = 4, 

Folge: 6, 8, 16, 65536, (mit 65536 Zweien), 

Die letzte aufgeführte Zahl ist bereits wesentlich größer als die geschätzte Anzahl der Atome im gesamten Weltall. 

� Die Ackermannfunktion, ist also eine Funktion, die die folgenden 

Gleichungen erfüllt: 

ack(a,b,0) = a+b 

ack(a,b,1) = a*b 

ack(a,b,2) = a^b 

… 

Ab der vierten Zeile können die Funktionswerte nicht mehr mit herkömmlichen Operatoren formuliert werden; man braucht erweiterte 

Notationen, wie beispielsweise den Hyper-Operator. 


Definition Ackermann 

� Definition nach Ackermann (1926) 

ack(a,b,0) = a+b 

ack(a,0,n+1) = psi(a,n) 

ack(a,b+1,n+1) = ack(a,ack(a,b,n+1),n) 

psi(a,n) eine weitere Funktion, die Ackermann nicht weiter beschrieb. (Sie liefert die Startwerte a + 0, a*0 , a^0,…) 

� Rózsa Péter definierte 1955 eine einfachere Version der 

Ackermannfunktion 

a(0,m) = m+1 

a(n+1,0) = a(n,1) 

a(n+1,m+1) = a(n,a(n+1,m)) 


Definition Ackermann 

Beispiele: 

� a(0,1) 

a(0,1) = 1 + 1 = 2. | die erste Zeile der Definition anwenden 

� a(1,0) 

a(1,0) = a(0,1) | die zweite Zeile der Definition anwenden 

= 1 + 1 = 2 | die erste Zeile der Definition anwenden 

� a(1,1) = a(0,a(1,0)) | die dritte Zeile der Definition anwenden 

= a(0,2) 

= 2 + 1 = 3 

| a(1,0) wurde vorhin berechnet, jetzt einsetzen 

Wenn man vom Wachstum der Ackermannfunktion spricht, meint man oftmals die Funktion f(n): = ack(n,n,n). 


Anwendungen 

� Benchmarktests für rekursive Aufrufe in 

Programmiersprachen 

� Laufzeitabschätzung bei der Union-Find- 

Struktur 


Anwendungen : Benchmarktests 

� Bei Einführung von neuen Compilern, 

Programmiersprachen und Computern, wird 

Leistungsfähigkeit überprüft 

� Ackermannfunktion als Benchmark für rekursive 

Funktionen 

� Ackermannfunktion besteht im wesentlichen aus 

rekursiven Aufrufen 

� Die Schwierigkeit dabei ist nicht der 

Funktionswert, sondern Verschachtelungstiefe 


Anwendungen : Benchmarktests 

� Problem: Stack Overflow 

� Yngve Sundblad benutzte 1971 die Funktion f(n): = a(3,n) 

um Programmiersprachen zu vergleichen 

� Um a(3,n) zu berechnen, werden a(3,n) + 12n −2 

Aufrufe 

getätigt. 

� 1971 Größe von n=1 

� Heute mit Java 1.4.2 mit Standardspeichereinstellungen 

n=13 

� Im Laufe der Berechnung viele identische Aufrufe 

� Intelligenter Compiler speichert diese zwischen 

� 1971 war damit ein mit von 20 möglich 


Implementation 

� Pseudo Code 

function ack(n, m) 

if n = 0 return m + 1 

else if m = 0 return ack(n - 1, 1) 

else return ack(n - 1, ack(n, m - 1)) 


Implementation 

� Prolog 

ackermann(0,X,Y) :- X >= 0, !, Y is X + 1. 

ackermann(X,0,Z) :- X > 0, !, X1 is X - 1, ackermann(X1,1,Z). 

ackermann(X,Y,Z) :- X > 0, Y > 0, X1 is X-1, Y1 is Y - 1, 

ackermann(X,Y1,W), ackermann(X1,W,Z). 


Wertetabelle 


Sonstiges 

� Funktionswert a(4,2) 

� Die Funktion Fleißiger Biber 

�1962 gab Tibor Radó mit der Funktion 

Fleißiger Biber (busy beaver) eine noch stärker 

als die Ackermannfunktion (oder jede andere 

berechenbare Funktion) wachsende Funktion 

an, die allerdings nicht mehr berechenbar ist. 


ENDE

Ackermann-Funktion

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