ÜBUNGEN: GEOGEBRA 1. TEIL

ÜBUNGEN: GEOGEBRA 1. TEIL Name: ……………………
Im 1. Teil interessieren wir uns nur für die geometrische Seite des Programms, die algebraische blenden wir
aus. Dazu: � Ansicht: Häkchen entfernen bei Achsen, Koordinatengitter, Algebrafenster.
1) Konstruktion mit Zirkel und Lineal
Wie die griechischen Geometer wollen wir in dieser Übung in asketischer Selbstbeschränkung nur
Zirkel und Lineal verwenden.
a) Erzeugen Sie eine "Strecke zwischen zwei Punkten". Konstruieren Sie nun den Mittelpunkt dieser
Strecke, indem Sie nur das Werkzeug "Kreis mit Mittelpunkt durch Punkt" und "Strecke zwischen zwei
Punkten" wählen. Notieren Sie die Vorgehensweise.
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b) Erzeugen Sie mit den gleichen Werkzeugen ein reguläres Sechseck. Blenden Sie alle Hilfslinien aus:
Rechte Maustaste, "Objekt anzeigen" deaktivieren 1 . Man kann mit Shift+Klick mehrere Objekte
anwählen und dann ausblenden.
2) Seitenmitten im Viereck
a) Zeichnen Sie ein beliebiges Viereck mit "Vieleck". Konstruieren Sie die Seitenmitten mit "Mittelpunkt"
Wie man dies mit Zirkel und Lineal machen würde, wissen wir bereits und nehmen nun die Abkürzung.
Verbinden Sie die Mittelpunkte reihum durch Strecken. Es entsteht ein Viereck. Um was für ein
Viereck handelt es sich? Bewegen Sie die Eckpunkte und beobachten Sie!
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b) Beweisen Sie die Vermutung aus a):
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c) Konstruieren Sie in das innere Viereck ein weiteres Seitenmittenviereck. In welcher Beziehung steht
es zum ersten Seitenmittenviereck bezüglich Form und Grösse?
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1 Ein Klick auf das Werkzeug "Objekte ausblenden/anzeigen" macht alle ausgeblendeten Objekte sichtbar. Klickt man auf ein anderes
Werkzeug, so werden die Objekte wieder ausgeblendet. Während die Objekte sichtbar sind, lassen sie sich auswählen und bearbeiten.

3) Eulergerade
Erzeugen Sie ein Dreieck und konstruieren Sie die drei Höhen. Nennen Sie den Schnittpunkt H (rechte
Maustaste, "umbenennen"). Das Werkzeug Vieleck färbt automatisch das Innere. Unter
"Eigenschaften" kann man den Füllgrad auf 0 stellen, dann verschwindet die Färbung.
b) Bewegen Sie die Ecken. Unter welcher Bedingung befindet sich H ausserhalb des Dreiecks?
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c) Konstruieren Sie den Schnittpunkt M der Mittelsenkrechten und den Schnittpunkt S der Schwerlinien
(=Seitenhalbierenden). Blenden Sie alle Hilfslinien aus.
d) Bewegen Sie die Eckpunkte. Beschreiben Sie die gegenseitige Lage der Punkte H, S und M
(Vermutung).
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e) Die drei Punkte liegen auf einer Geraden. Man nennt sie die Eulergerade, nach dem berühmten Basler
Mathematiker Leonhard Euler (1707 - 1783).
Konstruieren Sie die Strecken HS und SM und lassen Sie die Länge dieser Strecken anzeigen mit
"Abstand oder Länge". In welchem Verhältnis sind wohl sie beiden Zahlen?
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f) Konstruieren Sie in demselben Dreieck den Inkreismittelpunkt Z (wie?) und den Inkreismittelpunkt Z'
des Dreiecks, das durch die Seitenmittelpunkte aufgespannt wird. Liegen Z und Z' auch auf der
Eulergeraden?
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4) Sehnenviereck
a) Das einem Kreis einbeschriebene Viereck besteht aus vier Sehnen, deshalb nennt man es
Sehnenviereck. Konstruieren Sie exakt diese Figur: "Kreis mit Mittelpunkt durch Punkt", dann Vieleck
(verwenden Sie den Kreispunkt, der bei der Erzeugung des Kreises entsteht nicht als Vieleckspunkt).
Mit "Winkel" lassen sich Winkel messen. Die Masszahl wird angegeben. Sie lässt sich bewegen.
Achtung: Der Winkel wird immer im mathematisch positiven Sinn gemessen (Gegenuhrzeigersinn),
deshalb muss man die Schenkel des Winkels in der richtigen Reihenfolge anklicken. Probieren Sie
auch die andere Variante und beobachten Sie!
b) Bewegen Sie die verschiedenen Eckpunkte auf dem Kreis. Bei welchen Bewegungen ändern sich die
gemessenen Winkel?
Formulieren Sie einen mathematischen Satz!
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5) Rechtecke
a) Konstruieren Sie ein Rechteck ABCD, die Diagonale BD und ein inliegendes Rechteck A1BC1D1 wie in
der Figur 2 . Arbeiten Sie mit Strecken, Parallelen und Senkrechten. Die Punkte A, B, C und D1 sollen
beweglich sein. Blenden Sie die Hilfslinien aus. Damit beim Ausblenden der Hilfslinien nicht die ganze
Figur verschwindet, müssen je nachdem Strecken über Geraden gelegt werden.
b) Messen Sie die Seitenlängen und Berechnen Sie den Streckfaktor. Dazu gibt es zwei Möglichkeiten.
Welche? Verhältniszahlen berechnen und anzeigen: � Ansicht � Algebrafenster ein (um die Namen
zu sehen). Fährt man mit der Maus über die Liste, erscheint die Beschreibung, z. B. Strecke j1:
Strecke [C, D]. Nun definiert man im Eingabefenster eine Variable, z. B. v und schreibt v = j_1/m_1.
v erscheint nun als berechnete Zahl in der Liste. Nun wählt man "Text einfügen" und schreibt ins
Textfenster: "CD/C_1D_1 = " + v. Es erscheint der gewünschte Text, den man noch bewegen kann.
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2 A1 erzeugt man durch umbenennen. Man muss A_1 eingeben. Der tiefe Strich wird mit Shift + "-" erzeugt.

6) Satz von Pappos
a) Erzeugen Sie ein beliebiges Dreieck ABC. Erzeugen Sie zwei Punkte D und E und Parallelen zu je
einer Seite, durch diese Punkte. Bezeichnen Sie den Schnittpunkt der Parallelen mit S. Erzeugen Sie
die Punkte F und G auf diesen Parallelen. Konstruieren Sie die zwei Parallelogramme über den
Dreiecksseiten. Erzeugen Sie die Gerade SC und parallel dazu AK und BL. Vervollständigen Sie die
Figur wie abgebildet.
K1 ist die Punktspiegelung von K an A.
b) Die Punkte A, B, C, D, E und F sind frei beweglich, alle andern sind abhängig. Bewegen Sie die
Punkte und beobachten Sie die Wirkung.
Übrigens: Bewegt man F, so erzeugt man eine sogenannte Scherung des Parallelogramms FAHC.
Der Flächeninhalt des Parallelogramms bleibt bei einer Scherung erhalten, denn:
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Messen Sie mit dem entsprechenden Werkzeug die Flächeninhalte der drei Parallelogramme.
Der Satz von Pappos 3 besagt nun folgendes:
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Erzeugen Sie ein Textfenster und notieren Sie darin obigen Satz.
Sichern Sie die Datei unter "6PapposVorname".
c) Versuchen Sie durch Bewegen der günstigen Punkte, den Spezialfall des Satzes des Pythagoras zu
illustrieren. Konstruieren Sie Hilfslinien, damit die Konstruktion präzise wird.
Sichern Sie die Datei unter "6cPapposVorname".
3 Pappos (latinisiert Pappus) von Alexandria war ein griechischer Geometer. Er lebte um 300 n. Chr. und war einer der letzten
bedeutenden Mathematiker der Antike.

In den folgenden Übungen erfahren Sie unter anderem, wie man Konstruktionen animiert.
7) Leiter
a) Eine Leiter ist an eine Wand gelehnt und wird bewegt. Erzeugen Sie eine horizontale, etwa 15 cm
lange Strecke. Konstruieren Sie das Lot im linken Endpunkt. Setzen Sie einen Punkt C auf die Strecke
AB, der als Kreismittelpunkt eines Kreises mit 7 cm Radius dient ("Kreis mit Mittelpunkt und Radius").
Vergrössern Sie den Radius auf 16 cm, damit die Figur wie abgebildet aussieht. Dazu Kreis
auswählen � Eigenschaften � Definition, Zahl ändern.
Konstruieren Sie die Leiter (Strecke) und ihren Mittelpunkt .
b) Auf was für einer Bahn bewegt sich der Mittelpunkt M wohl, wenn C bewegt wird?
Sie können die Bahn sichtbar machen, wenn Sie für M "Spur ein" aktivieren. Mit Befehl (Apfel) + F
können Sie "auffrischen", d. h., die Spur löschen.
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c) Sie können den Punkt C animieren, indem Sie ihn auswählen und die "+"-Taste oder "-"-Taste
drücken, resp. gedrückt halten. Die Schrittweite lässt sich bei "Eigenschaften" von C einstellen
(Schrittweite).
Welchen Radius hat der entstehende Kreis? Weshalb?
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d) Beweisen Sie formal, dass M einen Kreisbogen beschreibt. Führen Sie dazu Koordinaten ein, z. B.
M(x / y), Ursprung in A(0 / 0), C(c / 0) und D(0 / d). Verwenden Sie Pythagoras.
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e) Erzeugen Sie eine schöne Figur, indem Sie für die Strecke CD ebenfalls die Spur einschalten. Es
entsteht eine sogenannte Hüllkurve 4 . Was für eine Kurve scheint es zu sein? Kann man das mit
GeoGebra überprüfen?
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4 Eine Hüllkurve ist eine Kurve, die jede Kurve einer Kurvenschar in einem Punkt berührt. Diese Punkte müssen eine Kurve bilden.
Eine Kurvenschar aus Ursprungsgeraden oder aus parallelen Geraden z. B. hat keine Hüllkurve.

8) Simpsongerade
a) Erzeugen Sie einen Kreis und schreiben Sie ihm ein Dreieck ABC ein (Konstruieren Sie die
Dreiecksseiten als Geraden). Erzeugen Sie einen weiteren Punkt P auf dem Kreis. Fällen Sie die Lote
von P auf alle Dreiecksseiten. Bezeichnen Sie die Lotfusspunkte mit Fa, Fb und Fc.
b) Bewegen Sie die Punkte A, B, C und P. Welche gegenseitige Lage scheinen die drei Lotfusspunkte zu
haben?
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c) Um Ihre Vermutung aus b) besser sichtbar zu machen, konstruieren Sie eine Gerade durch zwei der
drei Lotfusspunkte; der dritte scheint ebenfalls auf dieser Gerade zu liegen. Dies kann man auch
beweisen. Diese Gerade heisst Simpson-gerade. Sie wurde 1799 vom schottischen Mathematiker
William Simpson (1768 - 1843) entdeckt.
9) Torus
a) Erzeugen Sie mit dem Werkzeug "Kegelschnitt" fünf Punkte die etwa auf einem deformierten Kreis
liegen. Es entsteht eine Ellipse 5 . Erzeugen Sie einen weiteren Punkt auf der Ellipse, den sie als
Mittelpunkt für einen Kreis mit Radius 2 wählen.
b) Aktivieren Sie den kreis und wählen Sie "Spur ein". Aktivieren Sie den Mittelpunkt und animieren Sie
ihn mit der "+"-Taste. Die entstehende Figur kann als Bild eine räumlichen Objektes aufgefasst
werden. Wie würden Sie diesen Körper beschreiben?
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c) Das räumliche Objekt nennet man Torus. Nun noch eine Spielerei: Erzeugen Sie einen Punkt auf dem
Kreis der eine Spur hinterlässt (Spur aus für den Kreis). Nun animieren Sie sowohl diesen Kreispunkt,
als auch den Mittelpunkt. Interessant wird es, wenn der Kreispunkt schneller läuft (grössere
schrittweite) als der Mittelpunkt. Die Spur lässt sich als Raumkurve (auf dem Torus) sehen.
5 Liegen die fünf Punkte beliebig, so kann ausser einer Ellipse eine Parabel oder eine Hyperbel entstehen. Diese drei Kurven nennt
man die Kegelschnitte. Sie entstehen, wenn man einen (Doppel-)Kegel mit einer Ebene schneidet.

10) Schieberegler
Der Mond dreht um die Erde und diese um die Sonne. Wir stellen die Situation vereinfacht dar und
wählen eigene Werte für die Grössenverhältnisse.
a) Erzeugen sie einen "Kreis mit Mittelpunkt und Radius", wählen Sie Radius 5. Setzen Sie einen
Kreispunkt, am besten "im Osten“. Wählen Sie "Schieberegler" und klicken sie an eine leere Stelle.
Eine Dialogbox öffnet sich. Klicken Sie auf "Winkel" mit der Bezeichnung α, klicken Sie auf
"Übernehmen". Der Schieberegler für α erscheint.
Wählen Sie "Winkel mit fester Grösse " und klicken Sie auf den Kreispunkt dann auf den Mittelpunkt.
Eine Dialogbox erscheint, die eine Zahl oder eine Variable erwartet. Wählen Sie α. Nun erscheint ein
Kreispunkt, nennen Sie ihn Z. Mit dem Schieberegler kann man ihn auf dem Kreis bewegen. Man
kann ihn auch animieren: Mit einem Rechtsklick auf den Schieberegler oder im Algebrafenster auf α
öffnet sich das Kontextmenu. Dort aktivieren Sie "Animation ein". Unter "Eigenschaften" lässt sich die
Art der Animation einstellen. Experimentieren Sie mit den verschiedenen Einstellungen, z. B.
Zunehmend/Abnehmend/Wechselnd und mit Geschwindigkeit und Schrittweite.
Die Animation lässt sich stoppen und starten mit den Symbolen im Graphikfenster unten links.
b) Erzeugen Sie auf die gleiche Art um Z einen
kleineren Kreis und einen weiteren
Schieberegler für den Winkel β. P ist der
abhängige Punkt auf diesem kleinen Kreis.
Schalten Sie für P die Spur ein. Animieren Sie
nun α und β.
Experimentieren Sie mit unterschiedlichen
Geschwindigkeiten und Richtungen.
Wissen Sie, ob Erdbahn und Mondbahn
gleichen Drehsinn haben?
11) Calypso
An der Herbstmesse findet man viele Bahnen, die unsern Körper durch die Lüfte schleudern oder
sonst wie eigentümlichen Bewegungen aussetzen. Die Calypso ist einfach aufgebaut, aber die
Bewegungen sind interessant. Auf einer schiefen, drehbaren Scheibe sind vier drehbare Kreuze
montiert an deren Enden die Sitzgelegenheiten Montiert sind.
Erzeugen Sie ein dynamisches Modell dieser Bahn und stellen Sie die Kurve dar (Spur 6 ), die eine
Person durchläuft. Unten ist nur eines von vier Drehkreuzen eingezeichnet.
6 Die eingestellten Geschwindigkeiten sind 2 und 2.8 bei einer Schrittweite von 1°.

12) Stangenkonstruktion
a) "Bauen" Sie eine Stangenkonstruktion, bei der eine Kurbel k um einen Achsenpunkt M dreht und
dadurch einen im Kurbelpunkt P angebrachten Stab mit fester (aber wählbarer) Länge d durch den
Punkt S schleift. Erzeugen Sie den Kreis, P, k und S, dann einen Schieberegler d (Bereich von 0 bis
20). Nun wählen Sie "Strahl durch zwei Punkte", nämlich P und S. Erzeugen Sie Q als Schnittpunkt
des Kreises[P, d] und des Strahls. Erzeugen Sie die Strecke PQ und lassen sie die Hilfsobjekte
verschwinden.
b) Erzeugen Sie die Spur von Q und animieren Sie P (am einfachsten mit der + -Taste).Variieren Sie die
Stablänge d, den Kreisradius und die Position des Punktes S. Was für Kurven entstehen? Skizzieren
unten Sie einige! Gibt es eine, bei welcher Q eine fast gerade Strecke durchläuft?
c) Nun lernen Sie ein sensationelles Werkzeug kennen! Wählen Sie "Ortslinie" und Klicken Sie auf Q,
dann auf P. Die geduldig erzeugte Spur entsteht. Und nun der Hammer: Variieren Sie jetzt nochmals
die Stablänge d, den Kreisradius und die Position des Punktes S. So macht es richtig Spass!
Sehr wahrscheinlich finden Sie jetzt auch etwas schneller die Position, bei der Q tatsächlich eine fast
gerade Strecke (senkrecht zu MS) durchläuft.
d) Noch ein Werkzeug: Wählen Sie "Kontrollkästchen …" und klicken sie an eine leere Stelle. Eine
Dialogbox öffnet sich. Wählen Sie eine sinnvolle Beschriftung und suchen Sie das Objekt
Ortslinie[Q, P] in der Liste. Jetzt können Sie die Ortslinie beliebig ein- und ausschalten.

13) Peaucellier
Mit der Entwicklung der Dampfkraft und vieler komplexer Maschinen richtete sich im Verlaufe der
industriellen Revolution das Interesse der Techniker verstärkt auf die Übertragung kreisförmiger
Bewegung in geradlinige Bewegung. Im Jahre 1864 veröffentlichte der französische General Charles-
Nicolas Peaucellier eine Lösung, die exakt ist (im Unterschied etwa zu der in Aufgabe 12).
Der sogenannte Inversor 7 besteht aus einer Kurbel der Länge r, vier kurzen Stäben der Länge s und
zwei langen Stäben der Länge d. Alle Punkte sind Gelenke. A und B sind im Abstand r fixiert. Wird P
bewegt, so beschreibt Q eine Gerade!
a) Konstruieren Sie den Mechanismus wie unten dargestellt 8 . Beginnen Sie mit den drei Schiebereglern.
b) Schalten Sie Spur ein für Q und animieren Sie P (mit der + - Taste). Q bewegt sich auf einer exakten
Geraden!
P darf nicht beliebige Positionen auf dem Kreis annehmen oder anders gesagt, der Winkel α = BAP
darf aus mechanischen Gründen gewisse Werte nicht annehmen. Wählen Sie r = 3, s = 5 und d = 8
und bestimmen Sie experimentell und durch Überlegung den unmöglichen Winkelbereich.
Er beträgt: ……………………………
(Bei dieser Einstellung sehen Sie auch das Problem der mechanischen Umsetzung: Die Belastung in
der Gelenken kann sehr hoch sein.)
c) Untersuchen Sie die Bahn von Q, wenn sich P nicht auf einem Kreis bewegt, sondern auf einer
Geraden.
Speichern Sie dazu das Dokument unter neuem Namen: 13c PeaucelierVorname und löschen Sie
alles, ausser den Schiebereglern für s und d. Konstruieren Sie selbständig alles Weitere. Sie werden
am Ende auch den Namen "Inversor" verstehen…
Die Bahn von Q ist dann ……………………………………
7
Der Name Inversor kommt daher, dass die zugrunde liegende geometrische Idee von der "Inversion am Kreis" herrührt. Die "Inversion
am Kreis" ist eine Abbildung des Kreisinnern auf das Kreisäussere.
8
Die Strecken sind im Bild angeschrieben mit s und d. Das können Sie weglassen, denn es ist etwas umständlich: Da s und d schon
die Variablen für die Schieberegler sind kann man die Strecken nicht gleich anschreiben. Versucht man trotzdem die kurze Strecke in s
umzubenennen, so ändert Geogebra alte s automatisch in s1 um. Man muss also ein Textfenster öffnen und "s" hineinschreiben und den
Text von Hand platzieren. Schreibt man nur s, so wird der aktuelle Wert von s angezeigt.

14 ) Trigonometrische Funktionen
In der Natur und im Alltag finden wir viele Prozesse, die sich in regelmässigen Abständen
wiederholen: Herzschlag, Temperaturschwankungen während eines Tages, Drehen eines Rades,
Schwingen eines Pendels, etc. Periodisch ablaufende Prozesse lassen sich graphisch darstellen mit
Hilfe trigonometrischer Funktionen.
a) Erstellen Sie einen Kreis mit Zentrum A(0/0) und Radius 1 (Einheitskreis) und einen Strahl auf der x-
Achse von A nach B(7/0). Erzeugen Sie den Punkt C als Schnitt von Kreis und Strahl. Erzeugen Sie
einen Schieberegler für einen Winkel α, tragen Sie den Winkel α von C aus auf dem Kreis ab (Winkel
mit fester Grösse). Es erscheint automatisch ein Punkt C' auf dem Kreis. Erzeugen Sie den
Kreisbogen zwischen C und C' (Kreisbogen mit Mittelpunkt zwischen zwei Punkten). Tragen Sie die
Bogenlänge von A aus auf dem Strahl ab (Strecke mit fester Länge von Punkt aus). Färben Sie den
Bogen und diese Strecke mit der gleichen Farbe. Konstruieren Sie nun eine Parallele zur x-Achse
durch den Streckenendpunkt D und eine Parallele zur x-Achse durch C'. Der Schnittpunkt E hat nun
die gleiche y-Koordinate wie C' (Per Definition ist dies der Sinuswert des Winkles α). Schalten Sie für
E die Spur ein und animieren Sie a. Es entsteht eine Sinuskurve.
Sichern Sie das Dokument unter dem Namen "14aTrigoVorname".
Zur Kontrolle können Sie in der Eingabezeile den Befehl y = sin(x) eingeben. Geogebra zeichnet die
Sinuskurve. Wenn Sie alles richtig gemacht haben decken sich die Spur und die Kurve.
b) Der Cosinuswert des Winkles α ist per Definition die x-Koordinate von C'. Überlegen Sie sich, wie Sie
die entsprechende Cosinuskurve konstruieren können. Tipp: Es genügt, einige Geraden zu
konstruieren, insbesondere die erste Winkelhalbierende. Die Hilfslinien sind unten ausgeblendet.
Sichern Sie das erweiterte Dokument unter dem Namen "14bTrigoVorname".
c) Studieren Sie die Illustration auf der Titelseite Ihrer Formelsammlung und versuchen Sie, die
Tangenskurve zu erzeugen. Sichern Sie das erweiterte Dokument unter dem Namen
"14cTrigoVorname".

15) Werkzeuge erstellen: Zielscheibe, Pentagramm
Geogebra liefert zwar sehr viele vordefinierte Werkzeuge, aber manchmal möchte man etwas ganz
Spezielles. Auch das ist möglich mit "Neues Werkzeug erstellen". Bevor man aber das Werkzeug
erstellen kann, muss eine Konstruktion vorhanden sein. Die unabhängigen Objekte können als
Eingabeobjekte verwendet werden, die abhängigen als Ausgabeobjekte.
a) Zuerst eine kleine Vorübung. Wir erstellen ein neues Werkzeug "Zielscheibe", das nach der Wahl von
zwei Punkten, eine kleine Zielscheibe erzeugt.
Erzeugen Sie einen "Kreis mit Mittelpunkt durch Punkt". Erzeugen Sie den Mittelpunkt zwischen den
zwei Punkten und zwischen diesen nochmals die Mittelpunkte, dann ergänzen sie die "Zielscheibe"
mit den drei inneren Kreisen. Blenden Sie Überflüssiges aus.
Wählen Sie nun "Neues Werkzeug erstellen". Als Ausgabeobjekte wählen Sie die vier Kreise, als
Eingabeobjekte die zwei Punkte. Als Name für das Werkzeug wählen Sie "Zielscheibe" und als
Hilfetext: "Zentrum und Randpunkt". Klicken Sie auf "Fertigstellen". Achten Sie bei selbsterstellten
Werkzeugen auf einen selbsterklärenden Namen und beim Hilfetext auf Eindeutigkeit.
Nun erscheint das Werkzeug in der Werkzeugleiste. Wenn Sie das Werkzeug auswählen und zwei
Punkte anklicken, so entsteht die ganze Zielscheibe!
b) Wir erstellen ein neues Werkzeug "Pentagramm", das nach der Wahl von zwei Punkten (einer
Diagonalen), ein Pentagramm erzeugt
Die Diagonalen im Pentagon (regelmässiges Fünfeck) schneiden sich gegenseitig im goldenen
Schnitt. Dieser Satz erlaubt uns die Konstruktion eines Pentagramms.
Wie man eine Strecke im goldenen Schnitt teilt, entnehmen Sie folgender Konstruktion: S teilt AB im
goldenen Schnitt (M ist Mittelpunkt von AB).
Führen Sie diese Konstruktion aus und ergänzen Sie sie zu einem Pentagramm (fünfzackiger Stern,
resp. die Diagonalen im Pentagon). Hinweis: Die Lage von A und B im fertigen Pentagramm sehen Sie
in der Figur unten.
Erstellen Sie nun das Werkzeug "Pentagramm" indem Sie A und B als Eingabeobjekte wählen und die
fünf Strecken als Ausgabeobjekte. Formulieren Sie einen sinnvollen Hilfetext.

c) Mit diesem Werkzeug sollte es nun einfach sein, folgende Figur zu erzeugen. Beachten Sie: Wenn Sie
z. B. zwischen P und Q ein Pentagramm einfügen, so liegt seine Spitze R genau in einem
Kreuzungspunkt zweier Diagonalen des grösseren Pentagramms.
!
Nun noch ein paar Aufgaben, die nur mit Blatt und Stift gelöst werden:
d) Eine Strecke ist im goldenen Schnitt geteilt, wenn der lange Teil zum kurzen sich gleich verhält, wie
die ganze Strecke zum langen Teil.
Das Verhältnis Majorant (langer Teil) zu Minorant (kurzer Teil) wird mit Φ (Phi) bezeichnet und beträgt:
1+ 5
Φ = .
2
Zeigen Sie durch eine entsprechende Rechnung, wie man diese Zahl findet.
Hinweis: Wenn Sie als Einheit den längeren Teil wählen und die ganze Strecke mit x bezeichnen, so
ergibt sich x = ……………
e) Zeigen Sie durch eine entsprechende Rechnung, dass die Konstruktion in b) richtig ist.
f) Vergleichen Sie die Flächeninhalte des kleinsten und des grössten Pentagramms in der Figur von c).
Berechnen Sie den Anteil, des kleinsten am grössten (exakt und als gerundete Prozentzahl).