Gymnasium Münchenstein Maturitätsprüfung 2007

Gymnasium Münchenstein Maturitätsprüfung 2007
Klassen 4FI, 4LZ, 4MS, 4Sa
Mathematik (4 Stunden)
Hilfsmittel: Taschenrechner TI-83/TI-83+/TI-84+, Formelsammlung (wird zur Verfügung gestellt).
Bestimmungen:
1. Die Gedankengänge, die zur Lösung einer Aufgabe führen, müssen deutlich erkennbar sein. Jeder Lösungsschritt
muss dokumentiert sein.
2. Zur Verwendung von TR-Programmen: Wenn sich eine Gleichung exakt lösen lässt oder ein Integral sich
exakt mit Hilfe einer Stammfunktion bestimmen lässt, so ist die Lösung auf diese Weise „klassisch“ zu ermitteln.
Die TR-Funktion SOLVE, so wie alle über das CALC-Menu abrufbaren Funktionen dürfen dann nur
zur Kontrolle verwendet werden. Die Lösungen einer quadratischen Gleichung und das Vektorprodukt zweier
Vektoren dürfen (mit Hinweis auf die Verwendung) mit Hilfe von Taschenrechnerprogrammen berechnet
werden. Die Benutzung weiterer nicht fest im TR gespeicherter Programme ist grundsätzlich nur zur Kontrolle
erlaubt.
3. Benutzen Sie für jede der sechs Aufgaben ein Blatt. Auf jedem Blatt müssen der Name und
die Klasse angegeben werden.
Aufgabe 1: Prisma
(13 Punkte)
Von einem geraden dreiseitigen Prisma ABCA*B*C* (Grundfläche ABC parallel zur Deckfläche
A*B*C*, Seitenkanten AA*, BB*, CC* senkrecht dazu) ist folgendes bekannt:
(i)
Die Eckpunkte A(0|6|0), B(3|8|0), C(0|9|3)
(ii) Das gesamte Prisma liegt im 1. Oktanten des Koordinatensystems, d.h. alle seine
Punkte haben nicht-negative x-, y- und z-Koordinaten.
(iii) Genau einer der drei Punkte A*, B*, C* liegt in der x-z-Ebene und hat demzufolge
die y-Koordinate y = 0.
a) Berechnen Sie die Innenwinkel α, β, γ des Dreiecks ABC.
b) Stellen Sie eine (möglichst einfache) Koordinatengleichung für die Ebene E der Punkte
A, B, C auf.
c) Berechnen Sie den spitzen Winkel zwischen der Ebene E und der x-y-Ebene.
d) Entscheiden Sie (zum Beispiel mit Hilfe eines Schrägbildes), welcher der drei Eckpunkte
A*, B*, C* in der x-z-Ebene (Seitenrissebene) liegt.
e) Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte A*, B*, C*.
f) Berechnen Sie das Volumen des Prismas.
Hinweis:
Fahren Sie mit den Teilaufgaben e und f bitte auch dann fort, falls Sie die Teilaufgabe d nicht
mit Sicherheit lösen konnten. Ignorieren Sie in diesem Fall die obige Bedingung (ii), dass
das Prisma ganz im 1. Oktanten liegen soll.

Aufgabe 2: Geschwindigkeit
(9 Punkte)
Die Geschwindigkeit eines Autos ist im Zeitintervall I = {t ∈ R | 0 ≤ t ≤ 15} gegeben durch die
Funktion
t in Sekunden, v in m/s.
v(t) = 0.02 t 3 – 0.31 t 2 + t +30
a) Zu welchem Zeitpunkt t im Intervall I ist die Geschwindigkeit am grössten bzw. am
kleinsten? Wie gross sind diese beiden Extremwerte?
b) Welchen Weg legt das Auto in den ersten 10 Sekunden zurück?
c) In welchem Zeitpunkt t im Intervall I nimmt die Geschwindigkeit am stärksten ab?
d) Die Funktion v soll nun abgeändert werden:
v(t) = 0.02t 3 – 0.31 t 2 + ct + 30
Für welchen Wert von c > 0 beginnt die Geschwindigkeit des Autos nach 4 Sekunden
abzunehmen?
Aufgabe 3: Vase
(8 Punkte)
20 cm
10 cm
30 cm x
20 cm
Die Mantellinie der oben skizzierten Vase ist ein Parabelbogen (quadratische Funktion).
a) Berechnen Sie das Volumen der Vase.
b) Es werden 3 Liter Wasser in die Vase eingefüllt. Wie hoch steht dieses Wasser?
Aufgabe 4: Wahrscheinlichkeit
(10 Punkte)
25% der Schülerschaft unserer Schule besuchen die FMS-Abteilung. Der Anteil der Schülerinnen
beträgt 76% an der FMS-Abteilung und 56% an der Matur-Abteilung. Während eines
Schuljahres wird unter der Schülerschaft in jeder der 40 Schulwochen ein Kinoticket verlost.
Mehrfachgewinne einzelner Schülerinnen und Schüler sind möglich.
a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten vier Tickets von Schülerinnen und
Schülern der Matur-Abteilung gewonnen werden?
b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 5 und höchstens 15 der 40 verlosten
Tickets von Schülerinnen und Schülern der FMS-Abteilung gewonnen werden?
c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als die Hälfte der Tickets von Schülerinnen
gewonnen werden?
d) In einer der Ziehungen gewinnt ein Schüler. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass
dieser Schüler die FMS-Abteilung besucht?
e) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass in den ersten 6 Ziehungen nie zweimal hintereinander
die Tickets in dieselbe Abteilung gehen?

Aufgabe 5: Pyramide
(10 Punkte)
Aus einem Quadrat mit dem Flächeninhalt 18 dm 2
(gestrichelt) wird das Netz für eine quadratische
Pyramide geschnitten, deren Grundkanten die
Länge 2x besitzen.
a) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide für
x = 1.
b) Welche Werte kann x annehmen?
c) Für welchen Wert von x entsteht eine Pyramide
mit maximalem Volumen? Wie gross ist dieses
Volumen?
2x
Aufgabe 6: Drei unabhängige Kurzaufgaben (9 Punkte)
a) Berechnen Sie den Inhalt der grau eingefärbten Fläche!
M
r = 1
B
A
α = 30°
y
b) t sei Tangente an den Graphen von
1
f : x a f(x) = . Berechnen Sie den Flächeninhalt
des grau eingefärbten rechtwinkli-
2 − x
gen Dreiecks.
Q
f
t
R
P
x
sin(x)
c) f(x) = .
1−
cos(x)
Zeigen Sie Schritt für Schritt: 1
f'(x) =
cos(x) − 1
. Die Ableitungsregeln
aus der Formelsammlung dürfen verwendet werden.
20.10.2007 Ruedi Marti, Markus Pfiffner, André Studer, Hans Sutter, Michael Weiss, Christoph Zwahlen