Chaos in Quantensystemen - Website von Andreas Windisch.
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Karl-Franzens Universität Graz<br />
Institut für Physik<br />
<strong>Chaos</strong> <strong>in</strong> <strong>Quantensystemen</strong><br />
Erstellt im Rahmen der Lehrveranstaltung Theoretische Festkörperphysik<br />
(W. Poetz)<br />
<strong>von</strong><br />
<strong>Andreas</strong> W<strong>in</strong>disch<br />
Graz, am 25. Februar 2010
Inhaltsverzeichnis<br />
1 <strong>Chaos</strong> 2<br />
1.1 Flipper-Automat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2<br />
1.1.1 Was ist <strong>Chaos</strong>? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<br />
1.1.2 Symbolische Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
1.1.3 Aufteilung mit periodischen Orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
1.1.4 Escape Rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
1.2 Weitere Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10<br />
1.2.1 Logistisches Wachstum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10<br />
1.2.2 N-Körperproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br />
2 <strong>Chaos</strong> <strong>in</strong> der Quantenmechanik 15<br />
2.1 Gibt es ’Quantenchaos’? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
2.2 Mikrowellen Billiards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22<br />
Appendices 28<br />
A 3-Scheiben Flipper - das Programm 28<br />
A.1 Kurze Erläuterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28<br />
A.2 Der Sourcecode <strong>von</strong> flipper.f90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31<br />
B Feigenbaumdiagramm - das Programm 35<br />
B.1 Kurze Erläuterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35<br />
B.2 Der Sourcecode <strong>von</strong> feigenbaum.f90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36<br />
1
1 <strong>Chaos</strong><br />
Für diesen E<strong>in</strong>fürungsteil wurde zunächst [2] verwendet. Das Studium <strong>von</strong> chaotischen, dynamischen<br />
Systemen ist ke<strong>in</strong>e neue Diszipl<strong>in</strong>, sondern blickt auf e<strong>in</strong>e 200-jährige Zeit der Erforschung<br />
zurück. In dieser Zeit wurden viele Beiträge geleistet. Die Entwicklung folgte dabei nicht e<strong>in</strong>en<br />
e<strong>in</strong>zeigen Weg, vielmehr f<strong>in</strong>det man e<strong>in</strong>e verwobene Struktur vor.<br />
Betrachtet man <strong>in</strong>tegrable Systeme der klassischen Mechanik oder der Quantenmechanik, also etwa<br />
das Keplerproblem oder den harmonischen Oszillator, so mag man annehmen dass man stets<br />
e<strong>in</strong>fache Lösungen zu e<strong>in</strong>fachen Gleichung vorf<strong>in</strong>det. Der erste E<strong>in</strong>druck bei Betrachtung nicht<strong>in</strong>tegrabler<br />
Systeme mag nun se<strong>in</strong>, dass alle analytischen Methoden versagen und nur statistische<br />
oder numerische Anwendungen zur Lösungsf<strong>in</strong>dung herangezogen werden können. Vielmehr besitzen<br />
wir aber bereits e<strong>in</strong>e prädiktive Theorie <strong>von</strong> determ<strong>in</strong>istischem <strong>Chaos</strong>, welche <strong>von</strong> der Qualität<br />
jener e<strong>in</strong>er pertubativen Expansion für be<strong>in</strong>ahe <strong>in</strong>tegrable Systeme entspricht [2].<br />
Im traditionellen Zugang werden <strong>in</strong>tegrable Bewegungen als 0-te Ordnung Approximationen e<strong>in</strong>es<br />
physikalischen Systemes angesehen, schwache Nichtl<strong>in</strong>earitäten werden pertubativ h<strong>in</strong>zugenommen.<br />
Für stark nichtl<strong>in</strong>eare, nicht<strong>in</strong>tegrable Systeme versagt dieser Zugang allerd<strong>in</strong>gs völlig. Die<br />
reiche Struktur des Phasenraumes wird im Falle der <strong>in</strong>tegrablen Approximationen nicht vorgefunden.<br />
Versteckt <strong>in</strong> dem sche<strong>in</strong>baren <strong>Chaos</strong> verbirgt sich jedoch e<strong>in</strong> starres Skelett, e<strong>in</strong> Baum <strong>von</strong><br />
cycles (periodische Orbits) <strong>von</strong> steigender Länge und selbstähnlicher Struktur [2].<br />
Was aber ist nun <strong>Chaos</strong>? Um e<strong>in</strong> Verständnis dafür zu entwickeln warum und wie <strong>in</strong>stabile cycles<br />
zustandekommen betrachten wir e<strong>in</strong>en Flipper-Automaten.<br />
1.1 Flipper-Automat<br />
Dieser Abschnitt mit dem Flipper-Automaten wurde aus [2] übernommen und übersetzt. Für jeden<br />
der schon e<strong>in</strong>mal e<strong>in</strong>e Partie Pool oder Snooker gespielt hat wird es ke<strong>in</strong>e Überraschung se<strong>in</strong>, dass<br />
e<strong>in</strong>e determ<strong>in</strong>istische Dynamik auf chaotisches Verhalten führt. Ähnlich verhält es sich mit e<strong>in</strong>em<br />
Flipperautomaten, weshalb wir unsere Betrachtung an diesem Beispiel festmachen wollen. Wir<br />
besitzen e<strong>in</strong> <strong>in</strong>tuitives Gefühl dafür wie sich der Ball verhält wenn er auf der Oberfläche des Automaten<br />
rollt. Bereits mit e<strong>in</strong>facher Geometrie ist man so <strong>in</strong> der Lage die Trajektorie des Balles zu<br />
beschreiben. Des Physikers Flipper ist e<strong>in</strong> auf das wesentliche reduziertes Gerät: Drei äquidistant<br />
angeordnete, abstossende Scheiben <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er Ebene (Abbildung 1). Der Flipper ist ideal, also frei<br />
Abbildung 1: Des Physikers Flipper<br />
<strong>von</strong> Reibung. Punktartige Flipperbälle werden aus verschiedenen W<strong>in</strong>keln mit unterschiedlichen<br />
Ausgangspositionen auf die Scheiben geschossen. Sie werden zwischen den Scheiben h<strong>in</strong> und her<br />
gestossen und verlassen dann den Bereich der Scheiben wieder. Zu Beg<strong>in</strong>n des 18 Jahrhunderts<br />
war Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) der Me<strong>in</strong>ung, man könne das Verhalten e<strong>in</strong>es deter-<br />
2
m<strong>in</strong>istischen Systemes weit <strong>in</strong> der Zukunft vorhersagen, wenn man nur die Anfangsbed<strong>in</strong>gungen<br />
kenne. Er schrieb [6]:<br />
Von dem Verhängnisse<br />
Daß alles durch e<strong>in</strong> festgestelltes Verhängniß herfürgebracht werde, ist eben so gewiß,<br />
als daß drey mal drey neun ist. Denn das Verhängniß besteht dar<strong>in</strong>, daß alles an e<strong>in</strong>ander<br />
hänget wie e<strong>in</strong>e Kette, und eben so unfehlbar geschehen wird, ehe es geschehen,<br />
als unfehlbar es geschehen ist, wenn es geschehen.<br />
Die alten Poeten, als Homerus und andere, haben es die güldene Kette genennet, so<br />
Jupiter vom Himmel herab hängen lasse, so sich nicht zerreißen lässet, man hänge<br />
daran, was man wolle. Und diese Kette besteht <strong>in</strong> den Verfolg der Ursachen und der<br />
Wirkungen.<br />
Nemlichen jede Ursach hat ihre gewisse Würkung, die <strong>von</strong> ihr zuwege bracht würde,<br />
wenn sie alle<strong>in</strong> wäre; weilen sie aber nicht alle<strong>in</strong>, so entstehet aus der Zusammenwirkung<br />
e<strong>in</strong> gewisser ohnfelbarer Effect oder Auswurf nach dem Maaß der Kräfte, und das<br />
ist wahr, wenn nicht nur zwey oder 10, oder 1000, sondern gar ohnendlich viele D<strong>in</strong>ge<br />
zusammen würken, wie dann wahrjaftig <strong>in</strong> der Welt geschicht.<br />
Die Mathematik oder Meßkunst kann solche D<strong>in</strong>ge gar schön erläutern, denn alles ist<br />
<strong>in</strong> der Natur mit Zahl, Maaß und Gewicht oder Kraft gleichsam abgezirkelt. Wenn<br />
zum Exempel e<strong>in</strong>e Kugel auf e<strong>in</strong>e andere Kugel <strong>in</strong> freier Luft trift, und man weiß ihre<br />
Größe und ihre L<strong>in</strong>ie und Lauf vor dem Zusammentreffen, so kann man vorhersagen<br />
und ausrechnen, wie sie <strong>von</strong> e<strong>in</strong>ander prallen, und was sie vor e<strong>in</strong>en Lauf nach dem<br />
Anstoß nehmen werden. Welches gar schöne Regeln hat; so auch zutreffen, man nehme<br />
gleich der Kugeln so viele als man wolle, oder man nehme gleich andere Figuren, als<br />
Kugeln.<br />
Hieraus sieht man nun, das alles mathematisch, das ist, ohnfehlbar zugehe <strong>in</strong> der ganzen<br />
weiten Welt, so gar, daß wenn e<strong>in</strong>er e<strong>in</strong>e gnugsame Insicht <strong>in</strong> die <strong>in</strong>nern Theile<br />
der D<strong>in</strong>ge haben könnte, und dabey Gedächtniß und Verstand gnug hätte, umb alle<br />
Umbstände vorzunehmen und <strong>in</strong> Rechnung zu br<strong>in</strong>gen, würde er e<strong>in</strong> Prophet seyn, und<br />
<strong>in</strong> dem Gegenwärtigen das Zukünftige sehen, gleichsam als <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em Spiegel.<br />
Leibniz zeichnete hier e<strong>in</strong> Bild welches <strong>von</strong> eben jener Gestalt ist, als wir es hier als Paradigma für<br />
<strong>Chaos</strong> heranziehen wollen. Hier irrt Leibniz <strong>in</strong> tiefer und subtiler Weise: Der Zustand e<strong>in</strong>es physikalischen<br />
Systemes kann niemals mit unendlicher Präzision angegeben werden, so hat e<strong>in</strong>e e<strong>in</strong>zelne<br />
Trajektorie ke<strong>in</strong>e Bedeutung, allenfalls e<strong>in</strong>e Verteilung <strong>von</strong> Trajektorien macht physikalisch S<strong>in</strong>n.<br />
1.1.1 Was ist <strong>Chaos</strong>?<br />
E<strong>in</strong> determ<strong>in</strong>istisches System ist e<strong>in</strong> System dessen Momentanzustand zur Gänze durch die Anfangsbed<strong>in</strong>gungen<br />
bestimmt ist, ganz im Gegensatz zu e<strong>in</strong>em stochastischen System, für welches<br />
die Anfangsbed<strong>in</strong>gungen den Momentanzustand lediglich zu e<strong>in</strong>em Teil beschreiben, etwa wegen<br />
Rauschen oder anderen externe Umständen die sich unserer Kontrolle entziehen. Für e<strong>in</strong> stochastisches<br />
System spiegelt der Momentanzustand die Anfangsbed<strong>in</strong>gungen und e<strong>in</strong>e Realisierung des<br />
Rauschens wider.<br />
E<strong>in</strong> determ<strong>in</strong>istisches System mit h<strong>in</strong>reichend komplexer Dynamik kann uns veranlassen es fälschlicherweise<br />
als e<strong>in</strong> stochastisches System zu betrachten. Das Entwirren der Determ<strong>in</strong>istik <strong>von</strong> der<br />
Stochastik ist die Hauptaufgabe <strong>in</strong> vielen experimentellen Situationen, <strong>von</strong> der Aktienbörse bis<br />
zum Herzschlag. Was aber ist nun <strong>Chaos</strong>? Zwei Flipperkugeltrajektorien die sehr nahe ane<strong>in</strong>ander<br />
beg<strong>in</strong>nen entfernen sich exponentiell über die Zeit. Nach e<strong>in</strong>er endlichen (<strong>in</strong> der Praxis recht ger<strong>in</strong>gen)<br />
Anzahl an Rückprallprozessen erreicht die Trennung δ�x(t) den Wert L, der charakteristischen<br />
l<strong>in</strong>earen Ausdehnung des Systemes. Die <strong>in</strong> Abbildung 2 gezeigte Skizze wurde <strong>in</strong> Anlehnung an<br />
die <strong>in</strong> [2] gezeigte Graphik erstellt. Nach e<strong>in</strong>er numerischen Simulation (Sourcecode siehe Anhang)<br />
kann dieses Verhalten nun auch belegt werden, soweit e<strong>in</strong>e numerische Rechunung als Legitimation<br />
herangezogen werden kann. Während Abbildung 2 nur e<strong>in</strong>en skizzierten, qualitativen Verlauf<br />
3
Abbildung 2: Skizze: Sensibilität auf Anfangsbed<strong>in</strong>gungen, [2]<br />
angibt zeigen die Abbildungen 3 und 4 tatsächlich gerechnete Trajektorien zu (leicht) unterschiedlichen<br />
Anfangswerten. Die Eigenschaft der Sensitivität auf Anfangsbed<strong>in</strong>gungen kann wie folgt<br />
geschrieben werden:<br />
|δ�x(t)| ≈ e λt |δ�x(0)| (1.1)<br />
mit λ Ljapunov-Exponent, welcher die mittlere Rate der Separation der Trajektorien des Systemes<br />
beschreibt. Für e<strong>in</strong>e endliche Genauigkeit des Anfangszustandes δx ist die Dynamik nur bis zu<br />
e<strong>in</strong>er endlichen Ljapunov-Zeit T ≈ − 1<br />
λ ln |δx|/L bestimmbar, trotz der Determ<strong>in</strong>istik und der <strong>von</strong><br />
Leibniz beschriebenen E<strong>in</strong>fachheit der Gesetzmäßigkeit der Bewegung.<br />
E<strong>in</strong> positiver Ljapunov-Exponent alle<strong>in</strong>e führt nicht auf <strong>Chaos</strong>. Man könnte etwa e<strong>in</strong> E<strong>in</strong>- oder<br />
Zweischeibenflipperspiel spielen. Die Trajektorien würden ause<strong>in</strong>anderlaufen und sich nie wieder<br />
begegnen, was das Spiel wohl auch eher langweilig gestaltete. Man benötigt also auch mischen, also<br />
den Umstand dass die Trajektorien wieder und wieder zusammenkommen. Während lokal nahe<br />
Trajektorien ause<strong>in</strong>anderlaufen ist die <strong>in</strong>teressante Dynamik auf e<strong>in</strong>en global endlichen Bereich<br />
des Phasenraumes beschränkt, weshalb es notwendigerweise zu e<strong>in</strong>er Mischung der Trajektorien<br />
kommen muss. Diese können sich <strong>in</strong> der Tat beliebig oft beliebig nahe kommen. In unserem Beispiel<br />
gibt es 2n topologisch unterschiedliche n-bounce Trajektorien die <strong>von</strong> e<strong>in</strong>er gegebenen Scheibe<br />
ausgehen. Allgeme<strong>in</strong>er kann man sagen, dass die Anzahl unterschiedlicher Trajektorien durch<br />
N(n) ≈ e hn<br />
geschrieben werden kann, wobei die topologische Entropie h, <strong>in</strong> unserem Beispiel h = ln 2, der<br />
Wachstumsrate der Anzahl <strong>von</strong> topologisch unterschiedlichen Trajektorien entspricht.<br />
Die Bezeichnung <strong>Chaos</strong> ist irreführend, da determ<strong>in</strong>istische Dynamik ke<strong>in</strong> <strong>Chaos</strong> im eigentlichen<br />
S<strong>in</strong>ne zeigt. Alles geht mathematisch <strong>von</strong> Statten, dh. im S<strong>in</strong>ne <strong>von</strong> Leibniz unfehlbar. Wenn wir<br />
also <strong>von</strong> <strong>Chaos</strong> sprechen, dann me<strong>in</strong>en wir, dass das System zwar unter determ<strong>in</strong>istischen Gesetzen<br />
evolviert, der Ausgang aber höchst sensitiv auf kle<strong>in</strong>e Unschärfen der Anfangsbed<strong>in</strong>gungen<br />
ist. Wenn e<strong>in</strong> determ<strong>in</strong>istisches System lokal <strong>in</strong>stabil ist (positiver Ljapunov-Exponent) und global<br />
mischt (positive Entropie), so sagt man das System ist chaotisch. Obwohl mathematisch korrekt,<br />
s<strong>in</strong>d die Def<strong>in</strong>itionen <strong>von</strong> <strong>Chaos</strong> als positiver Ljapunov-Abstand + positive Entropie <strong>in</strong> der Praxis<br />
unbrauchbar, da e<strong>in</strong>e Messung dieser Quantitäten nur asysmptotisch möglich, und somit außer<br />
Reichweite für <strong>in</strong> der Natur beobachtete Systeme ist.<br />
E<strong>in</strong> mächtigerer Zugang ist dabei jener <strong>von</strong> Po<strong>in</strong>caré: Es handelt sich um e<strong>in</strong> Wechselspiel aus<br />
lokaler Instabilität (<strong>in</strong>stabile periodische Orbits) und globaler Mischung (Verflechtung der stabilen<br />
und <strong>in</strong>stabilen Mannigfaltigkeiten). In e<strong>in</strong>em chaotischen System wird jede offene Kugel <strong>von</strong><br />
Anfangsbed<strong>in</strong>gungen, ungeachtet wie kle<strong>in</strong> sie auch sei, <strong>in</strong> endlicher Zeit mit jedem anderen end-<br />
4<br />
(1.2)
y-pos<br />
2<br />
1.5<br />
1<br />
0.5<br />
0<br />
-0.5<br />
2D - P<strong>in</strong>ball Game<br />
Trajectories for diff. <strong>in</strong>itial conditions<br />
2313231<br />
Phi = 1.2168 rad<br />
Phi = 1.2158 rad<br />
1 2<br />
-1<br />
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2<br />
x-pos<br />
Abbildung 3: Sensibilität auf Anfangsbed<strong>in</strong>gungen: Unterschiedlicher Startw<strong>in</strong>kel<br />
y-pos<br />
2<br />
1.5<br />
1<br />
0.5<br />
0<br />
-0.5<br />
21231232<br />
2D - P<strong>in</strong>ball Game<br />
Trajectories for diff. <strong>in</strong>itial conditions<br />
r=a/2, phi=PI/4<br />
r=a/2-0.001, phi=PI/4<br />
3<br />
1 2<br />
2313<br />
-1<br />
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2<br />
x-pos<br />
3<br />
2123132<br />
Abbildung 4: Sensibilität auf Anfangsbed<strong>in</strong>gungen: Unterschiedliche Anfangsorte<br />
lichen Bereich überlappen und sich so über den gesamten asymptotisch zugänglichen Phasenraum<br />
erstrecken. Der Fokus dieser Theorie geht vom Versuch präziser Vorhersagen für e<strong>in</strong>zelne Trajektorien<br />
(was Unmöglich ist) bis h<strong>in</strong> zur Beschreibung der Geometrie des Raumes der möglichen<br />
Ausgänge.<br />
5
Die Analyse e<strong>in</strong>es potentiell chaotischen Systemes erfolgt <strong>in</strong> drei Schritten:<br />
1. Diagnose: Zuerst muss die <strong>in</strong>tr<strong>in</strong>sische Dimension des Systems - die m<strong>in</strong>imale Anzahl der<br />
Freiheitsgrade die notwendig ist um die Dynamik des Systems zu bestimmen - festgestellt<br />
werden. Ist das System sehr turbulent, dh. die Beschreibung der Dynamik auf großen Zeitskalen<br />
erfordert e<strong>in</strong>en Raum <strong>von</strong> hoher <strong>in</strong>tr<strong>in</strong>sischer Dimension, dann s<strong>in</strong>d wir nicht imstande<br />
e<strong>in</strong>e Beschreibung zu liefern. Wir können lediglich die vorrübergehende Ordnung zwischen<br />
regulären Bewegungen und e<strong>in</strong>igen chaotischen Freiheitsgraden beschreiben. Dennoch ist dies<br />
e<strong>in</strong> leistungsfähiges Konzept: Selbst e<strong>in</strong> unendlichdimensionales System wie etwa e<strong>in</strong>e brennende<br />
Flammenfront kann nur wenige chaotische Freiheitsgrade besitzen. In dieser Ordnung<br />
ist die chaotische Dynamik auf e<strong>in</strong>en Raum <strong>von</strong> niedriger Dimension beschränkt, die Anzahl<br />
der relevanten Parameter ist ger<strong>in</strong>g. Wir gehen nun zum nächsten Schritt.<br />
2. Zählen und Klassifizieren: Wir zählen und klassifizieren alle möglichen, topologisch verschiedenen<br />
Trajektorien des Systemes <strong>in</strong> e<strong>in</strong> hierarchisches System, dessen sukzessiven Ebenen<br />
erhöhte Präzision erfordern. Ist dies gelungen, so kann man mit Schritt 3 fortfahren.<br />
3. Gewichte: Die Gewichte der unterschiedlichen Systemteile müssen untersucht werden.<br />
1.1.2 Symbolische Dynamik<br />
Mit dem Flipperspiel haben wir Glück. Es handelt sich um das niedrigdimensionale System der<br />
freien Bewegung <strong>in</strong> der Ebene. Die Bewegung e<strong>in</strong>es Punktteilchens ist so geartet, dass nach e<strong>in</strong>er<br />
Kollision mit e<strong>in</strong>er Scheibe entweder e<strong>in</strong>e andere Scheibe erreicht, oder das System verlassen wird.<br />
Wenn wir nun jede Scheibe mit e<strong>in</strong>er Nummer - etwa 1, 2 und 3 - versehen, so können wir jeder<br />
Trajektorie e<strong>in</strong>e Ablauffolge, also e<strong>in</strong>e Sequenz die die Abfolge der besuchten Scheiben angibt,<br />
zuordnen. In unserer Beispielskizze Abbildung 2 f<strong>in</strong>den wir die Ablauffolgen - englisch it<strong>in</strong>erary<br />
genannt - 2313 und 23132321 vor. Diese Folgen s<strong>in</strong>d endlich für Trajektorien für welche das<br />
Teilchen vom Unendlichen kommt und nach e<strong>in</strong>er endlichen Anzahl <strong>von</strong> Streuvorgängen entkommt,<br />
unendlich für geschlossene Trajektorien und unendlich wiederholend für e<strong>in</strong>en periodischen Orbit.<br />
E<strong>in</strong> solches ’labeln’, also zuordnen <strong>von</strong> Nummern, ist die e<strong>in</strong>fachste Form der sogenannten Symbolischen<br />
Dynamik. Nachdem das Teilchen niemals zweimal h<strong>in</strong>tere<strong>in</strong>ander an derselben Scheibe<br />
streuen kann müssen zwei aufeunanderfolgende Ziffern <strong>in</strong> der Abfolge stets unterschiedlich se<strong>in</strong>.<br />
Dies ist e<strong>in</strong>e Regel des sogenannten prun<strong>in</strong>g. Unter prun<strong>in</strong>g versteht man das E<strong>in</strong>schränken der<br />
Folge auf erlaubte Subfolgen, dh. bestimmte Abfolgen <strong>von</strong> Symbolen werden durch Regeln ausgeschlossen.<br />
Das Auff<strong>in</strong>den solcher Regeln ist im Allgeme<strong>in</strong>en e<strong>in</strong> sehr schwieriges Unterfangen, aber<br />
für unser Beispiel haben wir Glück: Hier gibt es ke<strong>in</strong>e weiteren Regeln.<br />
Die Wahl der Symbole ist <strong>in</strong> ke<strong>in</strong>er Weise e<strong>in</strong>deutig. Zum Beispiel kann man nach jedem Streuvorgang<br />
entweder zur vorherigen Scheibe zurückkehren oder zur nächsten voranschreiten. Deshalb<br />
kann das Alphabet aus drei Symbolen durch e<strong>in</strong> b<strong>in</strong>äres Alphabet ersetzt werden: {0, 1}, siehe<br />
Abbildung 3. E<strong>in</strong>e gute Wahl des Alphabetes be<strong>in</strong>haltet wichtige Eigenschaften der Dynamik, wie<br />
etwa deren Symmetrien. Angenommen man wolle e<strong>in</strong>en ’guten’ Durchgang Flipper spielen, dh.<br />
die Kugel soll so oft wie möglich Streuprozesse an den Scheiben erfahren. Was wäre hier die beste<br />
Strategie? Der E<strong>in</strong>fachste Zugang wäre zu versuchen, die Kugel durch genaues Zielen zwischen<br />
zwei Scheiben streuen zu lassen. Bewegt sich die Kugel gerade auf der Verb<strong>in</strong>dungsl<strong>in</strong>ie zwischen<br />
den Mittelpunkten der Scheiben, so verläßt sie diese L<strong>in</strong>ie nicht mehr. Das Spiel wäre im selben<br />
S<strong>in</strong>ne gut, wenn es denn gelänge die Kugel zwischen drei Scheiben zu halten, bzw. auf jedem periodischen<br />
Orbit. Das Problem aber ist, dass jeder dieser Orbits <strong>in</strong>stabil ist, dh. man müsste sehr<br />
genau zielen um e<strong>in</strong>e Weile an der periodischen Bahn zu verweilen. Instabile periodische Orbits<br />
spielen also die zentrale Rolle wenn man daran <strong>in</strong>teressiert ist e<strong>in</strong>e gute Partie zu spielen. Sie<br />
formen das Skelett auf dem Trajektorien für lange Zeit festgehalten werden.<br />
1.1.3 Aufteilung mit periodischen Orbits<br />
E<strong>in</strong>e Trajektorie ist periodisch, wenn sie zu ihrem Anfangsort und Impuls zurückkehrt. Wir nennen<br />
die Menge der periodischen Punkte die zu e<strong>in</strong>em gegebenen periodischen Orbit gehören e<strong>in</strong>en Zy-<br />
6
Abbildung 5: Skizze: B<strong>in</strong>äres Alphabet für 3-Scheiben-Flipper-Trajektorien, [2]<br />
klus (cycle). Diese qualitativen Verläufe <strong>von</strong> 3-Scheiben Zyklen wurden ebenfalls <strong>in</strong> Anlehnung an<br />
die <strong>in</strong> [2] gezeigten Bilder erstellt. Dabei f<strong>in</strong>den wir für die dargestellten Fälle: Im Bild (a) werden<br />
die Zyklen 12123 und 13132 durch e<strong>in</strong>e Rotation um die z-Achse <strong>in</strong>e<strong>in</strong>ander transformiert (σ23).<br />
Dieser Zyklus ist 6-fach entartet unter der C3v Symmetrie, der Symmetriegruppe des gleichseitigen<br />
Dreieckes. Im Falle (b) f<strong>in</strong>den wir für 123 und 132, wie auch <strong>in</strong> (c) 1213, 1232 und 1323, Entartung<br />
unter C3v vor. Der Fall (d) s<strong>in</strong>d die Fälle 121212313 und 121212323 nicht im S<strong>in</strong>ne der C3v Symmetrie<br />
entartet, sondern unter Zeitumkehr. Die beiden e<strong>in</strong>fachsten Fälle <strong>von</strong> periodischen Orbits<br />
konnten mittels Modell nachgerechnet werden: Bei der Modellrechnung zeigte sich, dass die periodischen<br />
Zyklen e<strong>in</strong>e gute Messbarkeit der numerischen Stabilität des Algorithmus darstellt. Man<br />
kann beobachten wann, also etwa nach wievielen Streuungen der Prozess abweicht. Tatsächlich<br />
hat sich hier gezeigt, dass der entwickelte Algorithmus sehr <strong>in</strong>stabil ist, dh. bereits nach wenigen<br />
Zyklen weicht die Trajektorie erheblich ab. Dies ist zum e<strong>in</strong>en e<strong>in</strong> wünschenswerter Effekt, belegt<br />
er doch den chaotischen Charakter des Systemes, zum anderen natürlich unerwünscht. E<strong>in</strong>e kurze<br />
Analyse des vorliegenden Algorithmus, der im Pr<strong>in</strong>zip iterativ <strong>in</strong> kle<strong>in</strong>en Schritten <strong>von</strong> e<strong>in</strong>em<br />
Streupunkt zum nächsten wandert, zeigt, dass e<strong>in</strong>e erhebliche Verbesserung erzielt würde, wenn<br />
<strong>von</strong> jedem Streupunkt aus der nächste Streupunkt <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em Schritt berechnet würde. Da hier aber<br />
ohneh<strong>in</strong> nur wenige Streuungen <strong>von</strong> Bedeutung s<strong>in</strong>d und auch numerische Geschw<strong>in</strong>digkeit ke<strong>in</strong>e<br />
große Rolle spielt wurde die Adaption aus Zeitgründen unterlassen.<br />
In unserem Flipperbeispiel betrachten wir Projektionen <strong>von</strong> 4-dimensionalen Phasenraum-Trajektorien<br />
<strong>in</strong> den 2-dimensionalen Unterraum, den Ortsraum. Die Trajektorien können sich nicht schneiden,<br />
denn das würde deren determ<strong>in</strong>istische E<strong>in</strong>deutigkeit verletzen. Sehrwohl aber können sich die<br />
Projektionen auf Unterräumen schneiden. E<strong>in</strong> besseres Bild der Dynamik wird durch Phasenraum-<br />
Po<strong>in</strong>caré-Schnitte erhalten.<br />
Die Position der Kugel wird durch e<strong>in</strong> Zahlenpaar beschrieben (Koord<strong>in</strong>aten <strong>in</strong> der Ebene), die<br />
Geschw<strong>in</strong>digkeiten durch e<strong>in</strong> weiteres Paar (Komponenten der Geschw<strong>in</strong>digkeit). Dies ist e<strong>in</strong>e<br />
vollständige Beschreibung im Leibniz’schen S<strong>in</strong>ne.<br />
Nehmen wir nun an die Kugel wäre gerade <strong>von</strong> Scheibe 1 abgeprallt. In Abhängigkeit <strong>von</strong> Position<br />
und W<strong>in</strong>kel kann sie nun entweder zur Scheibe 2, oder zur Scheibe 3 voranschreiten. Während<br />
die Kugel unterwegs zum nächsten Streupunkt ist, ist ihre Bewegung unverändert. So kann man<br />
anstelle der 4-dimensionalen Beschreibung e<strong>in</strong>e zweidimensionale Abbildung f e<strong>in</strong>führen, die die<br />
Koord<strong>in</strong>aten der Kugel <strong>von</strong> e<strong>in</strong>er Scheibe zur nächsten abbildet.<br />
Wir wollen dies noch etwas e<strong>in</strong>gehender betrachten: Die Trajektorie ist nach dem E<strong>in</strong>schlag durch<br />
die Koord<strong>in</strong>aten qi (Bogenlängenposition des i-ten Abprallens) und durch pi = s<strong>in</strong> θi, der Impulskomponente<br />
parallel zur Wand, bestimmt. Siehe dazu auch Abbildung 8. So e<strong>in</strong> Abschnitt <strong>in</strong><br />
der Bewegung heißt Po<strong>in</strong>caré-Schnitt. In Termen der Po<strong>in</strong>caré-Schnitte ist die Dynamik auf e<strong>in</strong>e<br />
Abbildung f : (pi, qi) ↦→ (pi+1, qi+1) vom Rand e<strong>in</strong>er Scheibe zum Rand der nächsten Scheibe. Wir<br />
markieren nun <strong>in</strong> den Po<strong>in</strong>caré-Schnitten jene Anfangsbed<strong>in</strong>gungen welche nicht mit e<strong>in</strong>em Abprallen<br />
bereits entkommen. Wir f<strong>in</strong>den zwei Streifen <strong>von</strong> Überlebenden, nachdem es ja auch zwei<br />
7
Abbildung 6: Skizze: Qualitativer Verlauf <strong>von</strong> e<strong>in</strong>igen 3-Scheiben Zyklen, [2]<br />
Scheiben gibt die <strong>von</strong> e<strong>in</strong>er dritten aus erreicht werden können. Wir bezeichnen die zwei Streifen<br />
mit M0 und M1. E<strong>in</strong>gebettet <strong>in</strong> die beiden Streifen f<strong>in</strong>den wir vier Streifen M00, M10, M01, M11<br />
<strong>von</strong> Anfangsbed<strong>in</strong>gungen welche zweimaliges Abprallen überleben, usf. Im Falle (a) <strong>von</strong> Abbildung<br />
9 sehen wir, dass die Kugel entweder e<strong>in</strong>e Disk trifft oder aber entkommt. Im Falle (b), wenn zwei<br />
Disks h<strong>in</strong>tere<strong>in</strong>ander getroffen werden sollen, ist e<strong>in</strong> viel genaueres Zielen notwendig. Sollen mehr<br />
und mehr Scheiben h<strong>in</strong>tere<strong>in</strong>ander getroffen werden, so ist stets e<strong>in</strong> kle<strong>in</strong>erer Streifen die Folge.<br />
Gesetzt dem Falle die Disks s<strong>in</strong>d h<strong>in</strong>reichend weit ause<strong>in</strong>ander, nach n Abprallprozessen s<strong>in</strong>d die<br />
überlebenden Streifen <strong>in</strong> 2 n unterschiedliche Streifen geteilt: Der i-te Streifen besteht aus allen<br />
Punkten mit der Abfolge i = s1s2s3 . . . sn, s ∈ {0, 1}. Hier zeigt sich auch das Skelett aus <strong>in</strong>stabilen<br />
Zyklen, welches bereits E<strong>in</strong>gangs erwähnt wurde: Jeder Streifen be<strong>in</strong>haltet e<strong>in</strong>e periodische<br />
Struktur s1s2s3 . . . sn, deren Basisblock unendlich oft wiederholt wird. Die periodischen Punkte<br />
s<strong>in</strong>d dabei e<strong>in</strong> Skelett im S<strong>in</strong>ne dessen, dass, je weiter wir sehen, die Streifen zwar schmäler und<br />
schmäler werden, die periodischen Punkte jedoch <strong>in</strong>variant bleiben.<br />
Wir sehen nun auch warum es sich bezahlt macht diese symbolische Dynamik e<strong>in</strong>zuführen: Sie<br />
stattet uns mit e<strong>in</strong>em Plan des chaotischen Phasenraumes aus. Für jede gültige, unendlich lange<br />
Abfolge gibt es e<strong>in</strong>e e<strong>in</strong>deutige Trajektorie, und e<strong>in</strong>e e<strong>in</strong>deutige Abfolge benennt jede geschlossene<br />
Trajektorie. Etwa ist die e<strong>in</strong>zige Trajektorie die durch 12 dargestellt wird der 2-fache Abprallpro-<br />
8
y-pos<br />
2<br />
1.5<br />
1<br />
0.5<br />
0<br />
-0.5<br />
2D - P<strong>in</strong>ball Game<br />
Periodic trajectory, one cycle evolved<br />
3213<br />
1 2<br />
-1<br />
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2<br />
x-pos<br />
3<br />
y-pos<br />
2<br />
1.5<br />
1<br />
0.5<br />
0<br />
-0.5<br />
Abbildung 7: Periodische Orbits<br />
2D - P<strong>in</strong>ball Game<br />
periodic trajectory, one cycle evolved<br />
32313<br />
1 2<br />
-1<br />
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2<br />
x-pos<br />
zess entlang der L<strong>in</strong>ie die die Mittelpunkte der Scheiben 1 und 2 verb<strong>in</strong>det. Jede andere Trajektorie<br />
die mit 12 . . . beg<strong>in</strong>nt trifft entweder die dritte Disk oder entkommt früher oder später.<br />
1.1.4 Escape Rate<br />
Was ist e<strong>in</strong>e gute physikalische Größe für das Flipper-Spiel? Die escape rate ist e<strong>in</strong>e solche wichtige,<br />
messbare Größe. E<strong>in</strong> Beispiel für so e<strong>in</strong>e Messung wäre etwa e<strong>in</strong> <strong>in</strong>stabiler Molekül- oder<br />
Atomzustand der durch e<strong>in</strong> klassisches Potential mit der Möglichkeit <strong>in</strong> verschiedene Richtungen<br />
zu entkommen, ausgestattet ist. In e<strong>in</strong>em Experiment werden viele Projektile <strong>in</strong> so e<strong>in</strong> nichtbegrenzendes<br />
Potential <strong>in</strong>jeziert und die mittlere escape rate wird gemessen. Das numerische Experiment<br />
könnte etwa so aussehen, dass man die Kugel <strong>in</strong> e<strong>in</strong>e zufällige Richtung zwischen die<br />
Disks <strong>in</strong>jeziert und fragt wie oft sie abprallt bevor sie den Bereich zwischen den Disks verläßt. Für<br />
den Theoretiker besteht e<strong>in</strong> gutes Spiel daraus, die asysmptotische Lebenszeit (escape rate) der<br />
Kugel exakt vorherzusagen. Dazu benutzt man die Theorie der periodischen Orbits.<br />
Nach jedem Abprallen dünnen die Anfangsbed<strong>in</strong>gungen aus und liefern zweimal so viele dünne<br />
Streifen wie aus dem vorherigen Prozess resultiert s<strong>in</strong>d. Der gesamte Bereich der zu e<strong>in</strong>er gegebenen<br />
Zeit verbleibt ist die Summe der Flächen dieser Streifen, so dass der Anteil der Überlebenden<br />
nach n-maligem Abprallen proportional zu<br />
ˆΓ1 = |M0| + |M1|, ˆ Γ2 = |M00| + |M10| + |M01| + |M11|, (1.3)<br />
ˆΓn =<br />
(n)<br />
�<br />
|Mi|<br />
i<br />
ist, mit i das Label des i-ten Streifens. Da nach jedem Abprallprozess der selbe Anteil an Trajektorien<br />
verloren wird, erwartet man e<strong>in</strong>en exponentiellen Abfall mit n und Grenzverhalten:<br />
ˆΓn+1/ ˆ Γn = e −γn → e −γ . (1.4)<br />
Die Größe γ nennt man die escape rate. Dies beschließt auch unsere Betrachtung dieses Beispieles,<br />
mehr dazu siehe [2].<br />
9<br />
3
Abbildung 8: Skizze: 3-Scheiben Flipper mit Koord<strong>in</strong>aten und Po<strong>in</strong>caré-Schnitten, [2]<br />
1.2 Weitere Beispiele<br />
1.2.1 Logistisches Wachstum<br />
Der erste Teil hiezu wurde aus [1] übernommen, hernach e<strong>in</strong>e kurze numerische Berechnung durchgeführt.<br />
Wir wollen e<strong>in</strong>e biologische Population betrachten, deren Zahl Nn+1 <strong>in</strong> der (n + 1)-ten<br />
Generation proportional zur Zahl Nn <strong>in</strong> der n-ten Generation sei:<br />
Nn+1 = a · Nn, (1.5)<br />
mit a Vermehrungsfaktor. Durch Futtermangel <strong>in</strong> der n-ten Generation möge der Vermehrungsfaktor<br />
a reduziert werden auf a(1 − bNn), da ja die Futterreduktion proportional zur Zahl Nn der<br />
Futterverbraucher ist. So folgt:<br />
Nn+1 = a · Nn(1 − bNn). (1.6)<br />
E<strong>in</strong> stationärer Zustand (Fixpunkt) der Bevölkerung wird erreicht für<br />
Nn+1 = Nn = Nst ⇒ b =<br />
a − 1<br />
. (1.7)<br />
a · Nst<br />
Für a < 1 wird Nn+1 < Nn, dh. die Bevölkerung stirbt aus, selbst für b = 0, also wenn ke<strong>in</strong><br />
Futtermangel vorliegt, während für a > 1 und b = 0 die Bevölkerung wächst. Mit der Normierung<br />
x = b · N ≤ 1 geht (1.6) <strong>in</strong> die Verhulst-Gleichung über:<br />
xn+1 = axn(1 − xn) = axn − ax 2 n. (1.8)<br />
Mit der angegebenen Normierung (x ≤ 1) werden die möglichen Werte für den Parameter a auf das<br />
Intervall a ∈ [0, 4] beschränkt. Die Lösung dieser Gleichung für die verschiedenen Generationen n<br />
und ihre Abhängigkeit <strong>von</strong> dem Kontrollparameter a kann graphisch verdeutlicht werden. Dazu<br />
zeichnet man die Parabel y = ax − ax 2 und die Gerade y = x auf: Wir betrachten Abbildung<br />
10: Zu jedem Wert xn < 1 f<strong>in</strong>det man den durch (1.8) bestimmten Wert xn+1 als Ord<strong>in</strong>atenwert<br />
auf der Parabel. Gehen wir <strong>von</strong> diesem Punkt (xn, yn = xn+1) <strong>in</strong> waagerechter Richtung bis zur<br />
Geraden y = x, so gibt uns der Schnittpunkt den neuen Startwert xn+1, <strong>von</strong> dem aus wieder<br />
durch e<strong>in</strong>e Senkrechte der Schnittpunkt (xn+1, yn+1 = xn+2) bestimmt wird, usf. Auf diese Weise<br />
erhält man die Folge xn, n = 0, 1, . . . als Stufenl<strong>in</strong>ie, startend <strong>von</strong> e<strong>in</strong>em beliebigen Anfangspunkt<br />
x0. Im Falle der Abbildung 10 sieht man nun, dass der Wert rasch gegen den Fixpunkt<br />
10
Abbildung 9: Skizze: Bereiche <strong>von</strong> Trajektorien für e<strong>in</strong>maliges und zweimaliges Abprallen, [2]<br />
0.5<br />
0.4<br />
0.3<br />
0.2<br />
0.1<br />
y<br />
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0<br />
Abbildung 10: Logistische Abbildung, a = 2 mit stabilem Fixpunkt xf = 0.5, x0 = 0.1, [1]<br />
xf = 0.5 konvergiert. Ganz anders verhält es sich für die <strong>in</strong> Abbildung 11 dargestellte Situation:<br />
Der Startwert x0 ist derselbe, jedoch ist nun a = 3.5. Hier oszilliert die Folge xn zwischen vier<br />
Grenzwerten <strong>von</strong> Teilfolgen. Es stellt sich heraus, dass für a > 3.57 das Verhalten der Folge ganz<br />
wesentlich vom Kontrollparameter a abhängt, während der Wert der Glieder xn für für große n<br />
nicht vom gewählten Anfangswert x1 abhänt, solange a < 3.57 ist. Trägt man die Grenzwerte<br />
der logistischen Gleichung (1.8) als Funktion des Parameters a auf, so erhält man das sogenannte<br />
Feigenbaum-Diagramm. Aus dem Feigenbaumdiagramm können folgende Eigenschaften abgelesen<br />
werden:<br />
1. Für a ≤ 1 konvergiert die Folge gegen Null, und zwar umso langsamer, je näher a gegen 1<br />
strebt. Der stabile Fixpunkt des Systemes ist xf = 0. Aus der <strong>in</strong> Abbildung 12 gezeigten<br />
Rechnung ist dies aufgrund des zugunsten e<strong>in</strong>er besseren Auflösung gewählten Bereiches <strong>von</strong><br />
a zwar nicht ersichtlich, natürlich leistet das Programm jedoch auch die Berechnung <strong>von</strong><br />
a = 0 an.<br />
2. Für 1 < a < 3 ergibt sich e<strong>in</strong> stabiler Konvergenzpunkt (Fixpunkt) limn→∞ = xF < 1 und<br />
�= 0.<br />
3. Für 3 < a < a∞ oszillieren die Werte xn zwischen 2 k Werten h<strong>in</strong> und her, wobei a∞ ≈ 3.57<br />
ist. Die Punkte im Diagramm, an welchen sich k um 1 erhöht nennt man Bifurkationspunkte.<br />
Am ersten Bifurkationspunkt <strong>in</strong> Abbildung 12 spaltet die Kurve xf = 1 − 1/a, welche die<br />
stabilen Fixpunkte xf als Funktion <strong>von</strong> a bis a = 3 angibt, <strong>in</strong> zwei Kurven auf, welche die<br />
11<br />
x
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
y<br />
x<br />
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0<br />
Abbildung 11: Logistische Abbildung, a = 3.5 <strong>in</strong> oszillierendem Bereich, x0 = 0.1, [1]<br />
x<br />
1<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
0<br />
Bifurcation Diagram for the Logistic Map<br />
x(n+1)=a*x(n)*(1-x(n))<br />
2.75 3 3.25 3.5 3.75 4<br />
Parameter a<br />
Abbildung 12: Feigenbaumdiagramm, erstellt mit e<strong>in</strong>em FORTRAN95-Programm, Sourcecode siehe<br />
Anhang<br />
Grenzwerte xf(a) angeben, zwischen denen die Werte xn oszillieren. Diese beiden Kurven<br />
spalten dann am nächsten Bifurkationspunkt a2 jeweils wieder <strong>in</strong> zwei Kurven auf, usf. Das<br />
System hat also für die Werte ak ≤ a ≤ ak+1 zwischen den Bifurkationspunkten ak und ak+1<br />
2 k Attraktoren xi = limn→∞ xq·n+i, mit q = 2 k und i = 0, . . .,2 k −1. Mit wachsendem Wert<br />
<strong>von</strong> a wird das Intervall zwischen zwei aufe<strong>in</strong>ander folgenden Bifurkationen immer kle<strong>in</strong>er.<br />
Die Werte ak für die Bifurkationspunkte k-ter Ordnung folgen e<strong>in</strong>er geometrischen Reihe<br />
Für den Abstand ∆k = ak − ak−1 ergibt sich dann:<br />
ak = a∞ − c · δ −k , k >> 1. (1.9)<br />
∆k = c · δ −k (δ − 1). (1.10)<br />
Die Feigenbaumkonstante δ wird damit zu δ = limk→∞ ∆k/∆k+1. Sie ergibt sich numerisch<br />
zu δ ≈ 4.669201660910 . ... Die Folge der Bifurkationspunkte konvergiert gegen e<strong>in</strong>en Grenzwert<br />
a∞ = limk→∞ ak = 3.5699456 . . . . Der Ljapunov-Exponent λ ist im Bereich 3 < a < a∞<br />
immer negativ, außer an den Bifurkationspunkten, an denen λ immer Null ist.<br />
12
4. Im Wertebereich a∞ < a < 4 treten ’chaotische’ Bereiche auf, <strong>in</strong> denen die Werte der<br />
Fixpunkte xf statistisch streuen und der Wert des Ljapunov-Exponenten λ ist größer Null.<br />
Zwischen diesen Bereichen liegen periodische ’Fenster’, <strong>in</strong> denen stabile Fixpunkte auftreten,<br />
zwischen denen die Folge xn oszilliert. Der Ljapunov-Exponent ist <strong>in</strong> diesen Fenstern negativ.<br />
Der chaotische Bereich verdrängt mit steigendem Wert <strong>von</strong> a die Fenster zunehmend.<br />
5. In den chaotischen Bereichen liefern rationale Startwerte Fixpunkte, irrationale Startwerte<br />
ergeben ke<strong>in</strong>e Konvergenz. Für a = 4 läßt sich die Gleichung<br />
exakt durch die Funktion<br />
lösen, mit x0 Startwert.<br />
1.2.2 N-Körperproblem<br />
xn+1 = 4xn(1 − xn) (1.11)<br />
xn = s<strong>in</strong> 2 (2 n πx0) (1.12)<br />
Zusammenfassend wollen wir festhalten, dass <strong>Chaos</strong> als Folge <strong>von</strong> nichtl<strong>in</strong>earer Dynamik herrührt.<br />
Der Begriff <strong>Chaos</strong> darf nicht im eigentlichen S<strong>in</strong>ne verstanden werden, sondern bedeutet Sensibilität<br />
auf Anfangsbed<strong>in</strong>gungen. Diese Sensibilität haben wir anhand des Beispieles e<strong>in</strong>es Flipperautomaten<br />
diskutiert. Als wichtige Größe haben wir ferner den Ljapunov-Exponenten, sowie die<br />
escape rate kennengelernt. Wir haben auch gesehen, dass man chaotischen Systemen mit symbolischer<br />
Dynamik zu Leibe rücken kann. Außerdem haben wir das Konzept der Poicaré-Schnitte<br />
kennengelernt. Es ermöglicht e<strong>in</strong>e leistungsfähige Beschreibung der Dynamik im Phasenraum.<br />
Hernach haben wir e<strong>in</strong> weiteres System diskutiert, jenes des logistischen Wachstums. Wir f<strong>in</strong>den<br />
dort wichtige Begriffe vor, etwa die Bifurkation, den Attraktor oder den Fixpunkt. Weitere<br />
wichtige Systeme wären etwa das N-Körperproblem. E<strong>in</strong> ausführlicher Artikel zu diesem Thema<br />
ist unter [7] zu f<strong>in</strong>den, der Vollständigkeit halber wollen wir e<strong>in</strong>en kurzen Blick darauf werfen.<br />
Wieder war es Po<strong>in</strong>caré der dem chaotischen Charakter unseres Planetensystems auf die Schliche<br />
kam. Mit modernen Computersystemen können immer bessere Simulationen <strong>von</strong> Planetensystemen<br />
vorgenommen werden. Es zeigt sich, dass solche Systeme immer nur e<strong>in</strong>e bestimmte Anzahl<br />
an Planeten aufnehmen können um e<strong>in</strong>e stabile Dynamik zu zeigen. Die Simulationen ergaben,<br />
dass Systeme <strong>in</strong> der Regel bis an die Grenze ihrer Kapazität aufgefüllt s<strong>in</strong>d. G<strong>in</strong>g Laplace noch<br />
da<strong>von</strong> aus dass die Planetenbewegungen stabil wie die Bewegung e<strong>in</strong>es Uhrwerkes erfolgen, so fand<br />
der Astronom Daniel Kirkwood im Jahr 1866 den ersten Beleg für Instabilitäten im Sonnensystem.<br />
Er untersuchte den Asteroidengürtel zwischen Mars und Jupiter. Er fand Lücken <strong>in</strong> den Zeiten<br />
der Umlaufdauer um die Sonne. Ke<strong>in</strong>es der Objekte besaß e<strong>in</strong>e Umlaufdauer <strong>von</strong> 3.9 Jahren, was<br />
e<strong>in</strong>em Drittel der Umlaufdauer <strong>von</strong> Jupiter entspricht. Der Grund hierfür ist folgender: Wären die<br />
Umlaufzeiten e<strong>in</strong> ganzzahliges Vielfaches <strong>von</strong>e<strong>in</strong>ander, so näherten sich die beiden Körper stets<br />
an der selben Stelle nach stets drei Umläufen des e<strong>in</strong>en und e<strong>in</strong>em Umlauf des anderen Körpers<br />
ane<strong>in</strong>ander an. Dort erführe der Körper aufgrund des massereichen Jupiters stets e<strong>in</strong>en Impuls.<br />
Dies führt mit der Zeit auf e<strong>in</strong>en sogennanten Resonanzeffekt der mittleren Bahnkurve, <strong>in</strong> diesem<br />
Falle e<strong>in</strong>e 3 : 1 Resonanz. Es gibt weitere Lücken die durch 5 : 2 bzw. 7 : 3 Resonanz entstehen.<br />
Die Bahnexzentrität könnte aufgrund der Resonanzen so weit anwachsen, dass der Asteroid <strong>in</strong> die<br />
Sonne stürzte. Es kann vorkommen dass e<strong>in</strong> Asteroid <strong>in</strong> e<strong>in</strong>e solche Kikwoodlücke gestossen und<br />
dann aus dem Gürtel geschleudert wird.<br />
Mit Computersimulationen werden heute Ensteheungsmodelle des Planetensystems gerechnet.<br />
Man geht da<strong>von</strong> aus, dass sich das Sonnensystem durch die Kondensation und Ansammlung <strong>von</strong><br />
Staub und Gas <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er abgeplatteten Scheibe um e<strong>in</strong>en jungen Stern bildete. Die staubkorngroßen<br />
Partikel verb<strong>in</strong>den sich zu e<strong>in</strong>er Vielzahl <strong>von</strong> Asteroiden und Kometen mit wenigen Kilometern<br />
Durchmesser, den Planetesimalen. Diese Objekte stoßen zusammen und bilden so Hunderte <strong>von</strong><br />
mond- bis marsgroßen Embryos, die ihre Bahnen <strong>in</strong>mitten der verbleibenden Planetesimalen ziehen.<br />
Ohne weiter auf die folgenden Prozesse e<strong>in</strong>zugehen wollen wir nun e<strong>in</strong>en Blick auf die Sensibilität<br />
der Anfangsbed<strong>in</strong>gungen werfen. In Computermodellen können solche Entstehungsprozesse<br />
13
<strong>in</strong>zwischen simuliert und gerechnet werden, wobei manche <strong>von</strong> ihnen auf Systeme führen die dem<br />
unseren ähnlich s<strong>in</strong>d. Wenn zu Beg<strong>in</strong>n e<strong>in</strong>er solchen Rechnung nur e<strong>in</strong> e<strong>in</strong>ziger <strong>von</strong> hundert Embryos<br />
um e<strong>in</strong>en Meter verschoben wird kann dies darüber Entscheiden, ob am Ende drei oder fünf<br />
terrestrische Planeten entstehen!<br />
Dieser Sensitivität auf Anfangsbed<strong>in</strong>gungen kann man auch leicht zum Opfer fallen wenn man<br />
etwa e<strong>in</strong> Dreikörperproblem der Art Sonne-Erde-Mond simulieren möchte: Es erweist sich als ke<strong>in</strong><br />
leichtes Unterfangen geeignete Anfangsbed<strong>in</strong>gungen zu f<strong>in</strong>den um die drei Körper <strong>in</strong> e<strong>in</strong>e Stabile,<br />
dem Sonnensystem ähnliche Bahn zu zw<strong>in</strong>gen.<br />
14
2 <strong>Chaos</strong> <strong>in</strong> der Quantenmechanik<br />
2.1 Gibt es ’Quantenchaos’?<br />
Dieser Abschnitt wurde auf Basis <strong>von</strong> [8] ausgearbeitet. Die zentrale Frage hier ist zunächst: Gibt<br />
es Quantenchaos? Wie verstehen wir <strong>Chaos</strong> im quantenmechanischen S<strong>in</strong>n? Dem soll hier auf den<br />
Grund gegangen werden. Die Quantenmechanik kann nicht nur klassisch <strong>in</strong>tegrable Systeme wie<br />
das Wasserstoffatom bedienen, sondern auch klassisch nicht<strong>in</strong>tegrable Systeme wie etwa das Heliumatom.<br />
Man kann nun unsere erste Frage betrachten: Gibt es Quantenchaos? Die Schröd<strong>in</strong>ger-<br />
Gleichung ist e<strong>in</strong>e l<strong>in</strong>eare Gleichung, die ke<strong>in</strong>en Raum für <strong>Chaos</strong> läßt. Andererseits gibt es das<br />
Korrespondenzpr<strong>in</strong>zip, dh. wenn die Wellenlängen groß im Vergleich zur de Broglie Wellenlänge<br />
s<strong>in</strong>d dann geht das System <strong>in</strong> Richtung klassische Mechanik. Im Jahre 1989 gab es sogar e<strong>in</strong>e Debatte<br />
im Zuge e<strong>in</strong>er Summer School, zu der sich die Akteure dieses Gebietes e<strong>in</strong>gefunden hatten,<br />
darüber, ob der Term Quantenchaos überhaupt verwendet werden sollte. E<strong>in</strong> Vorschlag etwa war<br />
quantum chaology, der sich aber nicht durchsetzte.<br />
Heute versteht man unter dem Begriff Quantenchaos alle Probleme die mit dem quantenmechanischen<br />
Verhalten klassischer chaotischer Systeme zu tun haben. Für Billiardexperimente muss<br />
e<strong>in</strong> weiterer Aspekt berücksichtigt werden: die meisten Experimente nutzen die Äquivalenz der<br />
Helmholtz-Gleichung mit der stationären Schröd<strong>in</strong>ger-Gleichung. Deshalb bemüht man hier auch<br />
oft den Begriff wave chaos.<br />
Das Problem der Def<strong>in</strong>ition <strong>von</strong> Quantenchaos rührt daher, dass der Begriff der Trajektorie unter<br />
dem Aspekt der Quantenmechanik jegliche Signifikanz e<strong>in</strong>büßt. Erst <strong>in</strong> semiklassichen Modellen<br />
treten Trajektorien auf. Zur Illustration wollen wir e<strong>in</strong> klassisches System mit N dynamischen Variablen<br />
x1, . . . , xN betrachten, die unter dem E<strong>in</strong>fluss e<strong>in</strong>er Wechselwirkung stehen. Üblicherweise<br />
nehmen die xn alle Komponenten <strong>von</strong> Orten und Impulsen an. Die Anzahl der dynamischen Variablen<br />
ist dann N = 6M für e<strong>in</strong> 3-dimensionales M-Teilchensystem. Sei �x(0) = [x1(0), . . . , xN(0)]<br />
der Vektor der dynamischen Variablen zur Zeit t = 0. Zu e<strong>in</strong>er späteren Zeit t notieren wir �x(t)<br />
als e<strong>in</strong>e Funktion der Anfangsbed<strong>in</strong>gungen und der Zeit als<br />
Wenn wir nun die Anfangsbed<strong>in</strong>gung <strong>in</strong>f<strong>in</strong>itesimal ändern, also<br />
dann entwickeln sich die dynamischen Variablen zur Zeit t wie<br />
�x(t) = � F[�x(0), t]. (2.1)<br />
�x1(0) = �x(0) + � ξ(0), (2.2)<br />
�x1(t) = � F[�x(0) + � ξ(0), t]. (2.3)<br />
Der Abstand � ξ(t) = �xn(t) −�x(t) zwischen den beiden Trajektorien folgt aus den Gleichungen (2.1)<br />
und (2.3) <strong>in</strong> l<strong>in</strong>earer Näherung als<br />
�ξ(t) = ( � ξ(0) � ∇) � F[�x(0), t], (2.4)<br />
und � ∇ ist der Gradient <strong>von</strong> � F bzgl. den Anfangswerten. In Komponentenschreibweise wird dann<br />
(2.4) zu<br />
ξn(t) = � ∂Fn<br />
ξm(0).<br />
∂xm<br />
(2.5)<br />
m<br />
Die Eigenwerte der Matrix M = (∂Fn/∂xm) bestimmen die Stabilitätseigenschaften der Trajektorie.<br />
S<strong>in</strong>d die Beträge aller Eigenwerte kle<strong>in</strong>er als 1, dann ist die Trajektorie stabil und alle Abweichungen<br />
<strong>von</strong> der Trajektorie gehen rasch gegen Null. Ist der Betrag m<strong>in</strong>destens e<strong>in</strong>es Eigenwertes<br />
größer als 1 so entfernen sich die Trajektorien exponentiell <strong>von</strong>e<strong>in</strong>ander, selbst für <strong>in</strong>f<strong>in</strong>itesimale<br />
Abweichungen der Anfangsbed<strong>in</strong>gungen � ξ(0). Nun ist <strong>in</strong> der Quantenmechanik diese Def<strong>in</strong>ition<br />
<strong>von</strong> <strong>Chaos</strong> obsolet, da die Unschärferelation<br />
∆x∆p ≥ 1<br />
� (2.6)<br />
2<br />
15
e<strong>in</strong>er präzisen Determ<strong>in</strong>ierung der Anfangsbed<strong>in</strong>gungen im Wege steht. Dies kann anhand des Beispieles<br />
der Propagation e<strong>in</strong>es punktartigen Teilchens <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er Box mit unendlich hohen Wänden<br />
illustriert werden. Solche Systeme nennt man Billiards. Die quantenmechanische Behandlung erfolgt<br />
<strong>in</strong> zwei Schritten: Zunächst muss die Schröd<strong>in</strong>ger-Gleichung<br />
− �2<br />
∆ψ = i�∂ψ<br />
2m ∂t<br />
unter der Annahme <strong>von</strong> Dirichlet Randbed<strong>in</strong>gungen<br />
�<br />
�<br />
ψ�<br />
= 0 (2.8)<br />
� S<br />
gelöst werden, wobei S den Rand der Box bezeichnet. Stationäre Lösungen der Gleichung werden<br />
durch Separieren der Zeitabhängigkeit erhalten:<br />
E<strong>in</strong>setzen <strong>in</strong> Gleichung (2.7) liefert<br />
wobei ωn und kn über die Dispersionsrelation<br />
(2.7)<br />
ψn(x, t) = ψn(x)e −iωnt . (2.9)<br />
(∆ + k 2 n )ψn(x) = 0, (2.10)<br />
ωn = �<br />
2m k2 n<br />
(2.11)<br />
mite<strong>in</strong>ander verknüpft s<strong>in</strong>d. Die Gleichung (2.10) wird ebenfalls erhalten wenn man <strong>von</strong> e<strong>in</strong>er<br />
Wellengleichung<br />
(∆ − 1<br />
c2 ∂2 )ψ = 0, (2.12)<br />
∂t2 mit c der Wellengeschw<strong>in</strong>digkeit, ausgeht und den Separationsansatz wie <strong>in</strong> (2.9) vornimmt. Im<br />
Gegensatz zur quadratischen Dispersionsrelation (2.11) im quantenmechanischen Falle haben wir<br />
nun e<strong>in</strong>e l<strong>in</strong>eare Dispersionsrelation<br />
ωn = ckn<br />
(2.13)<br />
zwischen ωn und kn. Eben dieser Zusammenhang zwischen der stationären Schröd<strong>in</strong>ger-Gleichung<br />
und der stationären Wellengleichung, die man auch Helmholtz-Gleichung nennt, wird <strong>in</strong> vielen Billiardexperimenten<br />
dazu benutzt, um quantenchaotische Systeme unter der Verwendung <strong>von</strong> ’wellenanalogen’<br />
Systemen zu studieren. Sobald die stationären Lösungen der Schröd<strong>in</strong>ger-Gleichung<br />
bekannt s<strong>in</strong>d kann e<strong>in</strong> Wellenpaket durch Superposition <strong>von</strong> Eigenfunktionen konstruiert werden:<br />
ψ(x, t) = �<br />
anψn(x)e −iωnt . (2.14)<br />
n<br />
Für e<strong>in</strong> Gauß’sches Wellenpaket, welches <strong>von</strong> Breite ∆k und um k zentriert ist, s<strong>in</strong>d die Koeffizienten<br />
an gegeben durch<br />
an = a exp[− 1<br />
2 (kn − k<br />
∆k )2 ], (2.15)<br />
wobei a so gewählt ist, dass die Gesamtwahrsche<strong>in</strong>lichkeit das Teilchen im Paket zu f<strong>in</strong>den auf<br />
1 normiert ist. S<strong>in</strong>d die an zur Zeit t = 0 bekannt, etwa durch Messung des Impulses mit e<strong>in</strong>er<br />
Unschärfe ∆p = �∆k, so kann die quantenmechanische Evolvierung des Paketes für jede beliebige<br />
spätere Zeit beliebig genau berechnet werden. Um e<strong>in</strong> Wellenpaket e<strong>in</strong>er bestimmten Breite<br />
zu erzeugen reduziert sich die Summe <strong>in</strong> (2.14) auf e<strong>in</strong>e endliche Anzahl an Termen. Abgesehen<br />
<strong>von</strong> atypischen Ausnahmen ist die resultierende Funktion nicht periodisch, da die ωn im Allgeme<strong>in</strong>en<br />
nicht kommensurabel s<strong>in</strong>d, sondern quasiperiodisch (Vgl dazu: irrationale Rotationszahl:<br />
Der Torus wird immer dichter aufgefüllt). Das Wellenpaket wird sich so immer rekonstruieren.<br />
16
Das exponentielle Ause<strong>in</strong>anderlaufen benachbarter Trajektorien wie <strong>in</strong> der klassischen Dynamik<br />
ist komplett verschwunden. Die Welleneigenschaften der Materie bewirken ke<strong>in</strong> Aufweiten der<br />
Wahrsche<strong>in</strong>lichkeitsdichte.Während es Systeme gibt denen die klassische Wahrsche<strong>in</strong>lichkeitsdichte<br />
mit der Zeit immer mehr aufweitet, wie etwa bei e<strong>in</strong>em Random Walk Prozess, tendiert die<br />
Quantenmechanik dazu diese Aufweitung e<strong>in</strong>zufrieren und die Wellenpakete zu lokalisieren. Dies<br />
wurde <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er Vielzahl <strong>von</strong> Rechnungen, aber auch experimentell gezeigt. Um zu zeigen wie das<br />
konstruierte Wellenpaket <strong>in</strong> der Zeit evolviert betrachten wir das e<strong>in</strong>fachste Billiard, e<strong>in</strong> Teilchen<br />
<strong>in</strong> e<strong>in</strong>er e<strong>in</strong>dimensionalen Box mit unendlich hohen Wänden. Nimmt man die Wände bei x = 0<br />
und x = l an, so f<strong>in</strong>det man Eigenfunktionen des Systemes der Form<br />
�<br />
2<br />
ψn(x) =<br />
l s<strong>in</strong>knx, n = 1, 2, 3, . . . (2.16)<br />
mit<br />
E<strong>in</strong>setzen <strong>in</strong> Gleichung (2.14) liefert<br />
� ∞� 2<br />
ψ(x, t) = a<br />
l<br />
n=1<br />
kn = πn<br />
. (2.17)<br />
l<br />
exp[− 1<br />
2 (kn − k<br />
∆k )2 ] s<strong>in</strong> knxe −iωnt . (2.18)<br />
Diese Gleichung gilt sowohl für Teilchenpakete, als auch für gewöhnliche Wellen, vorausgesetzt<br />
die entsprechenden Dispersionsrelationen (2.11), bzw. (2.13) s<strong>in</strong>d erfüllt. Die Berechnung ist für<br />
Wellen e<strong>in</strong>facher. Deshalb betrachten wir den Fall ωn = ckn. Für Teilchenwellen folgt die Rechnung<br />
genau demselben Schema. Um die Rechnung weiter zu vere<strong>in</strong>fachen wollen wir annehmen, dass<br />
der mittlere Impuls groß gegen die Breite der Verteilung ist, dh. k >> ∆k. Dann kann die Summe<br />
auf −∞ bis +∞ erweitert und die Poisson-Summenrelation angewandt werden:<br />
mit<br />
∞�<br />
n=−∞<br />
f(n) =<br />
∞�<br />
n=−∞<br />
g(n), (2.19)<br />
� ∞<br />
g(n) = f(n)e 2π<strong>in</strong>m dn (2.20)<br />
der Fouriertransformierten f(n). Die Anwendung auf (2.18) liefert dann<br />
� ∞� 2<br />
ψ(x, t) = a<br />
l<br />
m=−∞<br />
� ∞<br />
l<br />
π −∞<br />
−∞<br />
exp[− 1 − k<br />
(k<br />
2 ∆k )2 ] s<strong>in</strong> kxe i(2lm−ct)k dk, (2.21)<br />
wobei für die Integrationsvariable n mit k = nπ/l substituiert wurde. Das Gauß’sche Integral kann<br />
mit der bekannten Relation<br />
� ∞<br />
−∞<br />
exp[−(ak 2 + 2bk + c)]dk =<br />
�<br />
π<br />
a exp(b2 − c) (2.22)<br />
a<br />
gelöst werden, die auch für komplexe Werte <strong>von</strong> a, b, c gilt, sofern ℜe(a) > 0 ist. Das Ergebnis ist<br />
mit<br />
und<br />
ψ(x, t) =<br />
∞�<br />
m=−∞<br />
[φ(x − ctm) − φ(l − x − ctm+1)], (2.23)<br />
tm = t − m 2l<br />
c<br />
(2.24)<br />
�<br />
l 1<br />
φ(x) = 2a ∆k exp[ikx −<br />
π 2 (x∆k)2 ]. (2.25)<br />
17
Die Gleichung (2.23) erlaubt nun e<strong>in</strong>e Interpretation. Sie beschreibt die Propagation e<strong>in</strong>es Gauß’schen<br />
Paketes mit ∆x = 1/∆k und Geschw<strong>in</strong>digkeit c, welches zwischen den Wänden h<strong>in</strong> und her läuft<br />
und bei jeder Reflexion das Vorzeichen wechselt. Für die Propagation <strong>von</strong> Teilchenwellen f<strong>in</strong>det<br />
man qualitativ dieselbe Situation vor, allerd<strong>in</strong>gs kommt nun die quadratische Dispersionsrelation<br />
(2.11) zum Tragen, was zu e<strong>in</strong>er Aufweitung des Pulses mit der Zeit führt, die für e<strong>in</strong>en Puls der<br />
Breite ∆x(t) durch<br />
∆x(t) = 1<br />
(2.26)<br />
∆k [1 + (�(∆k)2 t<br />
m )2 ] 1/4<br />
gegeben ist. Für t = 0 erhält man die quantenmechanische Unschärferelation ∆x∆k = 1.<br />
Wir haben durch die Poisson-Summenrelation zwei unterschiedliche Ausdrücke für Ψ(x, t) erhalten.<br />
In Term (2.18) haben wir ψ(x, t) durch e<strong>in</strong>e Summe über die Eigenfunktionen des Systemes<br />
ausgedrückt, <strong>in</strong> (2.23) als e<strong>in</strong>en Puls der mit e<strong>in</strong>er Geschw<strong>in</strong>dihkeit c zwischen den Wänden h<strong>in</strong><br />
und her propagiert. Diese Gegensätzlichkeit, also das quantenmechanische Spektrum auf der e<strong>in</strong>en,<br />
die klassischen Trajektorien auf der anderen Seite, ist der Hauptbestandteil der semiklassischen<br />
Theorie, <strong>in</strong>sbesondere jener der Gutzwiller Spur-Formel. In dem speziellen Beispiel, welches hier<br />
präsentiert wurde, funktioniert die angewandte Prozedur besonders gut, da die Menge der Eigenwerte<br />
{kn} äquidistant war, was zu e<strong>in</strong>er perfekten Pulsrekonstruktion nach jeder Reflexion führt.<br />
Im Allgeme<strong>in</strong>en würde der Puls nach wenigen Reflexionen zerstört, aber Pulsrekonstruktionen<br />
wären noch möglich. Die Korrespondenz zwischen klassischer und Quantenmechanik soll anhand<br />
zweier Beispiele verdeutlicht werden.<br />
Abbildung 13 zeigt die Propagation e<strong>in</strong>es Mikrowellenpulses <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er Kavität <strong>in</strong> Form e<strong>in</strong>es Vier-<br />
Abbildung 13: Propagation e<strong>in</strong>es Mikrowellenpulses <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er Mikrowellenkavität <strong>in</strong> Form e<strong>in</strong>es<br />
Viertelstadions, aus [4]<br />
telstadions. E<strong>in</strong>e kreisförmige Welle wird <strong>von</strong> e<strong>in</strong>er Antenne aus emittiert und propagiert durch<br />
das Billiard, bis sie an der Wand reflektiert wird, wobei e<strong>in</strong> Vorzeichenwechsel, dh. e<strong>in</strong> Phasenshift<br />
<strong>von</strong> π, erfolgt. Dies ist <strong>in</strong> der Abbildung 13 (d) für die obere und untere Wand ersichtlich. Nach<br />
18
e<strong>in</strong>igen weiteren Reflexionen ist die Pulsamplitude mehr oder weniger gleich verteilt. Nach e<strong>in</strong>iger<br />
Zeit ersche<strong>in</strong>t die Amplitude jedoch plötzlich wieder, siehe dazu 13 (f). Die gleiche Situation wird<br />
auch <strong>in</strong> der dreidimensionalen Darstellung deutlich, wie sie <strong>in</strong> Abbildung 14 zu sehen ist.<br />
Sie zeigt Momentaufnahmen die zu der Abbildung 13 (a) und (f) gehören. Die Rekonstruktion<br />
Abbildung 14: Dreidimensionale Ansicht der Pulspropagation aus Abbildung 13 (a) und (f), aus [4]<br />
hat nichts mit der Quantenmechanik zu tun sondern resultiert aus den fokussierenden Eigenschaften<br />
der kreisförmigen Grenze. Alle klassischen Pfade die <strong>von</strong> diesem Teil des Stadions reflektiert<br />
werden später simultan im Bildpunkt der Antennenposition nach der Reflexion am kreisartigen<br />
Spiegel fokussiert. Die Pulsrekonstruktion zeigt, dass Welleneigenschaften und klassische Trajektorien<br />
nur ’zwei Seiten derselben Münze’ darstellen.<br />
Das zweite Beispiel stammt vom gestossenen Rotator. Er zählt zu den am besten studierten chaotischen<br />
Systemen, sowohl klassisch als auch quantenmechanisch. Der Hamiltonian ist gegeben durch<br />
H (t) = L2<br />
2I<br />
+ k cosΘ� δ(t − nT). (2.27)<br />
Der erste Term beschreibt die Rotation e<strong>in</strong>es Pendels mit Drehimpuls L und Trägheitsmoment<br />
I. Der zweite Term beschreibt periodische Stöße (kicks) mit e<strong>in</strong>er Periode T durch e<strong>in</strong> gepulstes,<br />
gravitatives Potential der Stärke k = mgh (e<strong>in</strong>e solche Situation ist experimentell schwer<br />
herzustellen und zeigt so den Unterschied zwischen Theorie und Experiment auf). Der gestossene<br />
Rotator gehört zu den Hamilton’schen Systemen, dh. Kräfte und Impuls s<strong>in</strong>d <strong>in</strong>variant. Die<br />
Bewegungsgleichungen folgen aus den kanonischen Gleichungen<br />
und mit dem Hamilton (2.27) ist<br />
n<br />
˙Θ = ∂H<br />
∂L , L ˙<br />
∂H<br />
= − , (2.28)<br />
∂Θ<br />
�<br />
˙Θ = L, L ˙ = k s<strong>in</strong> Θ δ(t − n), (2.29)<br />
19<br />
n
I und T wurden auf 1 normiert. L ändert sich unstetig und die Bewegungsgleichungen def<strong>in</strong>ieren<br />
e<strong>in</strong>e Abbildung für die dynamischen Variablen Θ und L. Seien Θn und Ln die Werte der Variablen<br />
unmittelbar vor dem n+1 Kick. Unmittelbar nach dem Kick nimmt Ln den Wert Ln +s<strong>in</strong> Θn an,<br />
wobei Θn nicht geändert wird. Zwischen den Kicks bleibt L konstant, aber Θ steigt l<strong>in</strong>ear mit der<br />
Zeit t. Unmittelbar vor dem nächsten Kick nehmen die dynamischen Variablen die Werte<br />
Θn+1 = Θn + Ln+1<br />
̷Ln+1 = Ln + k s<strong>in</strong> Θn<br />
(2.30)<br />
(2.31)<br />
an. Dies nennt man Chirikov’s Standard Map. E<strong>in</strong>e solche Abbildung ist e<strong>in</strong>e gebietserhaltende<br />
Abbildung für zwei kanonische, dynamische Variablen. Dabei ist k e<strong>in</strong> dimensionsloser Parameter,<br />
der den Grad des <strong>Chaos</strong> bee<strong>in</strong>flusst. Mit dem Mathematica Notebook <strong>von</strong> [11] konnten folgende,<br />
<strong>in</strong>teressante Plots produziert werden: Die Standard Map eignet sich besonders gut um den Über-<br />
0.2<br />
0.9716<br />
0 Π 2Π 0 Π 2Π<br />
2Π<br />
2Π 2Π<br />
2Π<br />
Π<br />
Π<br />
0<br />
0 0<br />
0<br />
0 Π 2Π 0 Π 2Π<br />
0<br />
5<br />
Π 2Π<br />
2Π<br />
2Π<br />
Π<br />
0<br />
0<br />
0 Π 2Π<br />
Abbildung 15: Po<strong>in</strong>caré-Schnitte für die Standard Map für unterschiedliche Kick-Stärken, generiert<br />
mit dem Mathematica-Notebook <strong>von</strong> [11]<br />
gang e<strong>in</strong>es Hamilton’schen Systems vom regulären zum chaotischen Verhalten zu untersuchen. Die<br />
Abbildung 15 zeigt Po<strong>in</strong>caré-Schnitte für unterschiedliche Werte <strong>von</strong> k. Jeder Punkt entspricht<br />
e<strong>in</strong>em Paar (Θ, L) unmittelbar nach dem Kick. Für e<strong>in</strong>en Wert <strong>von</strong> k = 0.2 verhält sich der Rotator<br />
regulär für die meisten Anfangswerte <strong>von</strong> Θ und L. Die Bewegung im Phasenraum erfolgt auf<br />
den sogenannten <strong>in</strong>varianten Tori, wo L nur ger<strong>in</strong>g variiert, während Θ alle Werte <strong>von</strong> 0 bis 2π<br />
mit etwa gleicher Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit annimmt (erstes Bild). Mit steigendem k brechen mehr und<br />
Π<br />
20<br />
Π<br />
Π
mehr Tori auf, bis schließlich beim kritischen Wert <strong>von</strong> k = 0.9716 . . . der letzte <strong>in</strong>variante Torus<br />
zerstört wird (zweites Bild). Es gibt noch immer reguläre Bereiche im Phasenraum. Für k ≥ 5 ist<br />
dann bereits be<strong>in</strong>ahe der gesamte Phasenraum chaotisch.<br />
Beim kritischen Wert k = kC wird die Bewegung im Phasenraum diffus. Bei gee<strong>in</strong>gneter Wahl<br />
der Anfangsbed<strong>in</strong>gungen kann der Rotator den nun voll zugägigen Phasenraum besuchen. Die<br />
verbleibenden Tori stellen unüberw<strong>in</strong>dliche Barrieren dar. Auch die Cantori Ketten (cha<strong>in</strong>s of<br />
cantori), die im zweiten Bild für Werte <strong>von</strong> 1 ≤ L ≤ 2.5 und 3.5 ≤ L ≤ 5 zu sehen s<strong>in</strong>d, stellen<br />
dynamische Barrieren dar. Die Cantori s<strong>in</strong>d die Überreste der zerstörten Tori. Überschreitet die<br />
Kopplungsstärke e<strong>in</strong>en kritischen Wert, so zerfällt der Torus <strong>in</strong> e<strong>in</strong>e Kette <strong>von</strong> Subtori, die nach<br />
weiterem Erhöhen der Kopplung <strong>in</strong> Sub-Subtori aufbrechen, usf. Ist der Rotator <strong>in</strong> der fraktalen<br />
Struktur der Cantori gefangen, so bleibt er dort für e<strong>in</strong>e sehr lange Zeit, bis er eventuell entkommt.<br />
Nachdem der Hamiltonian (2.27) zeitabhängig ist, ist es nicht möglich die Zeitabhängigkeit der<br />
Schröd<strong>in</strong>ger-Gleichung abzuseparieren. Die Energie ist nicht erhalten. In ’gekickten’ Systemen wird<br />
die Zeitentwicklung des quantenmechanischen Zustandsvektors durch<br />
ψn = F n ψ0<br />
(2.32)<br />
erhalten, mit ψ0, ψn den Zustandsvektoren am Anfang und nach dem n-ten Kick. F heißt der<br />
Floquet-Operator. Für den gekickten Rotator ist er gegeben durch<br />
F = exp(− i<br />
k cosΘ)exp(iT<br />
� �<br />
L2 ), (2.33)<br />
2I<br />
wobei L nun als der quantenmechanische Operator −i� ∂<br />
∂Θ <strong>in</strong>terpretiert wird. Die Matrixelemente<br />
für F können mit der Eigenbasis <strong>von</strong> L gefunden werden. Dann reduziert sich die Berechnung der<br />
Zeitentwicklung auf e<strong>in</strong>e Matrixmultiplikation. Auf diese Weise konnten Geisel et al. die quantenmechanische<br />
Evolvierung der Drehimpulsverteilung exakt an der kritischen Grenze k = kC<br />
berechnen. Sie begannen mit e<strong>in</strong>em Drehimpulseigenzustand L = 3.2�. Die aus [9] entnommenen<br />
Plots <strong>in</strong> Abbildung 16 zeigen die asymptotische Verteilung der Drehimpulse. Wir f<strong>in</strong>den ke<strong>in</strong>e<br />
Abbildung 16: Asymptotische Drehimpulsverteilung für den gekickten Rotator mit k = kC =<br />
0.9716 . . ., l<strong>in</strong>ear (a) und logarithmisch (b) skaliert, aus [9]<br />
Gauß’sche Verteilung wie man für e<strong>in</strong>en solchen diffusen Prozess erwarten könnte, sondern drei<br />
21
scharfe Grenzen, sowohl auf der hohen als auch auf der niedrigen Drehimpulsseite. Die erste Grenze<br />
wird für jene L Werte gefunden für die gerade der letzte Torus aufbricht, siehe Bild 2 <strong>in</strong> Abbildung<br />
15 für k = kC. Obwohl <strong>in</strong> der Quantenmechanik ke<strong>in</strong>e undurchdr<strong>in</strong>gbaren Barrieren so nicht<br />
existieren, da ja die Unschärferelation gilt, ist der E<strong>in</strong>fluss der klassischen Grenze denoch auch <strong>in</strong><br />
der quantenmechanischen Verteilung des Drehimpulses zu erkennen. Die nächsten beiden Grenzen<br />
s<strong>in</strong>d sogar noch überraschender: sie gehören zu zwei aufe<strong>in</strong>anderfolgenden Cantori-Ketten.<br />
In der Quantenmechanik ist deren Rolle als Barriere noch bee<strong>in</strong>druckender als <strong>in</strong> der klassischen<br />
Mechanik. Beide Beispiele haben uns gezeigt, dass es e<strong>in</strong>e starke Verb<strong>in</strong>dung zwischen klassischer<br />
Dynamik und Wellenmechanik, bzw. Quantenmechanik gibt. Man sucht deshalb nach Spuren <strong>von</strong><br />
klassischem <strong>Chaos</strong> im korrespondierenden quantenmechanischen System.<br />
2.2 Mikrowellen Billiards<br />
Wir wollen nun e<strong>in</strong>en tieferen Blick auf Mikrowellenbilliards werfen. Ausgangspunkt s<strong>in</strong>d die<br />
Maxwell-Gleichungen<br />
�∇ × � E = − ∂ � B<br />
,<br />
∂t<br />
(2.34)<br />
�∇ × � H = ∂ � D<br />
,<br />
∂t<br />
(2.35)<br />
�∇ � D = 0, (2.36)<br />
�∇ � B = 0, (2.37)<br />
wobei <strong>in</strong> Vakuum das Displacement D und die Induktion B mit E und H über<br />
�D = ǫ0 � E, (2.38)<br />
�B = µ0 � H (2.39)<br />
verknüpft s<strong>in</strong>d. ǫ0 und µ0 s<strong>in</strong>d die dielektrische Konstante, sowie die Permeabilität des Vakuums.<br />
Mit periodischer Zeitabhängigkeit für das elektromagnetische Feld erhalten wir die Helmholtz-<br />
Gleichungen für � E und � B (siehe dazu [5]):<br />
(∆ + k 2 ) � E = 0, (2.40)<br />
(∆ + k 2 ) � B = 0, (2.41)<br />
wobei k = ω/c die Wellenzahl und ω die Kreisfrequenz ist. Zusätzlich müssen Randbed<strong>in</strong>gungen<br />
erfüllt werden:<br />
ˆn × � E = 0, ˆn � B = 0, (2.42)<br />
wobei ˆn der E<strong>in</strong>heitsvektor normal auf die Fläche ist. In vielen Experimenten werden Resonatoren<br />
mit zyl<strong>in</strong>drischer Geometrie verwendet. Mit der z-Achse parallel zur Zyl<strong>in</strong>derachse nehmen die<br />
Gleichungen für die Randbed<strong>in</strong>gungen (2.42) e<strong>in</strong>e e<strong>in</strong>fache Form<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� = 0, ∇⊥BZ�<br />
= 0, (2.43)<br />
EZ�<br />
S<br />
auf der Zyl<strong>in</strong>deroberfläche an, wobei ∇⊥ die ’normale’ Ableitung bedeutet. Für EZ folgt dies<br />
unmittelbar aus Gleichung (2.42), für BZ aus Gleichung (2.42) und der zweiten Maxwell-Gleichung.<br />
Die folgende Rechnung ist nicht ausgeführt, siehe dazu etwa [5], Kapitel 8. Wir betrachten hier nur<br />
die Ergebnisse: Es gibt zwei Möglichkeiten die Randbed<strong>in</strong>gungen (2.43) zu erfüllen. Für sogenannte<br />
transversal magnetische Moden (TM) f<strong>in</strong>den wir<br />
� S<br />
EZ(x, y, z) = E(x, y)cos( nπz<br />
),<br />
d<br />
n = 0, 1, 2, . . . (2.44)<br />
BZ(x, y, z) = 0, (2.45)<br />
22
wobei E(x, y) der zweidimensionalen Helmoltz-Gleichung<br />
mit Dirichlet Randbed<strong>in</strong>gung<br />
[∆ + k 2 − ( nπ<br />
d )2 ]E = 0, (2.46)<br />
�<br />
�<br />
E(x, y) �<br />
� S<br />
= 0 (2.47)<br />
an der Zyl<strong>in</strong>deroberfläche, genügt. Die x und y Komponenten <strong>von</strong> � E und � B können aus E(x, y)<br />
berechnet werden, s<strong>in</strong>d hier aber nicht relevant. Für die transveral elektrischen Moden (TE) f<strong>in</strong>den<br />
wir<br />
EZ(x, y, z) = 0, (2.48)<br />
BZ(x, y, z) = B(x, y)s<strong>in</strong>( nπz<br />
),<br />
d<br />
n = 1, 2, 3, . . ., (2.49)<br />
wobei B(x, y) nun der zweidimensionalen Helmholtz-Gleichung<br />
mit Neumann Randbed<strong>in</strong>gungen<br />
[∆ + k 2 − ( nπ<br />
d )2 ]B = 0, (2.50)<br />
�<br />
�<br />
∇⊥B(x, y) �<br />
� S<br />
= 0. (2.51)<br />
Für Frequenzen ν < c/2d korrespondiernd zu Wellenzahlen k < π/d s<strong>in</strong>d nur TM Moden mit<br />
n = 0 möglich, und Gleichung (2.46) reduziert sich auf<br />
(∆ + k 2 )E = 0. (2.52)<br />
Im Folgenden betrachten wir Billiards dieser Art als zweidimensional. Es gibt e<strong>in</strong>e vollständige<br />
Äquivalenz zur zweidimensionalen Schröd<strong>in</strong>ger-Gleichung für e<strong>in</strong> Teilchen <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er Box mit unendlich<br />
hohen Wänden, <strong>in</strong>klusive der Randbed<strong>in</strong>gungen. In dieser Analogie entspricht E(x, y) der<br />
Wellenfunktion und k 2 der Eigenenergie. Um die Eigenmoden zu messen werden Mikrowellen über<br />
e<strong>in</strong>e Antenne <strong>in</strong> den Resonator emittiert. Diese Antenne besteht üblicherweise aus e<strong>in</strong>em Draht<br />
mit e<strong>in</strong>em Durchmesser <strong>von</strong> etwa 0.1mm, die durch e<strong>in</strong> Loch <strong>in</strong> den Resonator e<strong>in</strong>geführt ist.<br />
Die reflektierten Mikrowellen werden mittels e<strong>in</strong>er Messbrücke (microwave bridge, Impendanzmessung)<br />
vermessen, es s<strong>in</strong>d aber auch Transmissionsmessungen zwischen mehreren Antennen möglich.<br />
Schon <strong>in</strong> den 1950ern wurde die Äquivalenz zwischen Mikrowellen und Schallwellen benutzt um<br />
etwa Raumakustik zu vermessen. Die ersten Mikrowellenexperimente die quantenchaotische Fragestellungen<br />
behandelten fanden jedoch nicht vor 1990 statt, vgl. [3]. Man studierte die Eigenmoden<br />
e<strong>in</strong>es Resonators <strong>von</strong> Viertelstadion-Form durch Messung der reflektierten Mikrowellenleistung.<br />
Abbildung 17 zeigt e<strong>in</strong>en Teil des Reflexionsspektrums. Jedes M<strong>in</strong>imum <strong>in</strong> der reflektierten Mikrowellenleistung<br />
entspricht e<strong>in</strong>er Eigenmode. Es gibt gute Gründe Systeme ohne Symmetrien<br />
zu studieren. Das vollständige Stadion besitzt zwei Spiegelsymmetrien, woraus e<strong>in</strong>e Superposition<br />
<strong>von</strong> vier unterschiedlichen Spektren entsteht, die zu unterschiedlichen Paritätsklassen gehören.<br />
Dies würde die Analyse der Daten <strong>in</strong> Termen der Random Matrix Theory unnötig verkomplizieren.<br />
Konfrontiert mit e<strong>in</strong>em chaotisch anmutenden Spektrum, wie <strong>in</strong> Abbildung 17 gezeigt, könnte man<br />
sich fragen, ob denn überhaupt relevante Information im Spektrum zu f<strong>in</strong>den ist. Wir wollen e<strong>in</strong>en<br />
kurzen, qualitativen Blick darauf werfen wie man so e<strong>in</strong> Problem angeht. Bereits <strong>in</strong> den 1960ern<br />
hatte man mit ähnlichen Problemen zu tun als man Spektren komplexer Kerne studierte. Es stellte<br />
sich als nützlich heraus die Verteilungsfunktionen P(s) der Abstände benachbarter Eigenenergien<br />
sn = En − En−1 zu plotten. In Abbildung 18 betrachten wir Verteilungen für unterschiedliche<br />
Mikrowellenbilliards. Der mittlere Abstand 〈s〉 muss dabei auf 1 normiert se<strong>in</strong>. Das erste Bild <strong>in</strong><br />
Abbildung 18 zeigt P(s) für e<strong>in</strong> rechteckiges Billiard. Die entsprechende klassische Dynamik ist<br />
<strong>in</strong>tegrabel. In diesem Falle wird e<strong>in</strong>e Poisson-Verteilung<br />
P(s) = exp(−s) (2.53)<br />
23
Abbildung 17: Teil e<strong>in</strong>es Mikrowellen Reflexionsspektrums e<strong>in</strong>er Kavität <strong>in</strong> Form e<strong>in</strong>es Viertelstadion<br />
(b = 20cm, l = 36cm) und e<strong>in</strong>er Höhe h = 0.8cm. Jedes M<strong>in</strong>imum <strong>in</strong> der reflektierten<br />
Mikrowellenleistung entspricht e<strong>in</strong>er Eigenfrequenz, [3]<br />
für die Verteilung des Nächste-Nachbarn-Abstandes erwartet. Das Experiment folgt der theoretischen<br />
Kurve, allerd<strong>in</strong>gs gibt es e<strong>in</strong>ige signifikante Abweichungen. Die experimentell gewonnene<br />
Verteilung zeigt e<strong>in</strong> ausgeprägtes Loch für kle<strong>in</strong>e Werte <strong>von</strong> s, wobei hier aber e<strong>in</strong> Maximum erwartet<br />
wird, wie uns Gleichung (2.53) sagt. Der Grund für diese Diskrepanz liegt <strong>in</strong> der endlichen<br />
Breite der Resonanzkurven. Wenn zwei Resonanzen durch e<strong>in</strong>en Abstand der kle<strong>in</strong>er als die experimentelle<br />
L<strong>in</strong>ienbreite ist, getrennt s<strong>in</strong>d, so werden sie als e<strong>in</strong>e Resonanz registriert. Weitere<br />
Abweichungen f<strong>in</strong>den wir für größere Abstände.<br />
Aufgrund der Existenz der Antenne wird das System pseudo<strong>in</strong>tegrabel. Abbildung 18 (b) zeigt<br />
P(s) für dasselbe Rechteck wie (a), aber nun für e<strong>in</strong>en höheren Frequenzbereich. Es gibt ke<strong>in</strong>e<br />
Ähnlichkeit mit der Poisson-Verteilung (2.53) mehr. Die durchgezogene L<strong>in</strong>ie folgt aus e<strong>in</strong>er<br />
Rechenmethode, die den E<strong>in</strong>fluss der Antenne explizit berücksichtigt, [12]. Nahezu perfekte Übere<strong>in</strong>stimmung<br />
mit dem Experiment f<strong>in</strong>det man für P(s) für das Viertelstadion-Billiard, dessen<br />
Spektrum wir bereits <strong>in</strong> Abbildung 17 betrachtet haben. Die durchgezogene L<strong>in</strong>ie entspricht der<br />
Wigner-Verteilung<br />
P(s) = π<br />
s exp(−π<br />
2 4 s2 ). (2.54)<br />
Diese Verteilung ist <strong>in</strong> Spektren chaotischer Systeme quasi omnipresent.<br />
Wir wollen nun die Breiten der Resonanzen diskutieren. Die Randbed<strong>in</strong>gungen (2.43) gelten für<br />
ideal leitende Wände. Tatsächlich aber f<strong>in</strong>den wir endliche Leitfähigkeit der Wände. Die Mikrowellen<br />
treten teilweise <strong>in</strong> die Wände e<strong>in</strong>. Die E<strong>in</strong>dr<strong>in</strong>gtiefe (sk<strong>in</strong> depth) ist gegeben durch<br />
δ = � 2µ0ωσ, (2.55)<br />
(siehe [5], Kapitel 7), wobei σ die Leitfähigkeit der Wand ist. Für e<strong>in</strong>en guten Leiter wie etwa<br />
Mess<strong>in</strong>g (brass) mit σ = 2 ×107Ω−1m −1 und e<strong>in</strong>er Mikrowellenfrequenz ν = ω<br />
2π <strong>von</strong> 10GHz f<strong>in</strong>det<br />
man E<strong>in</strong>dr<strong>in</strong>gtiefen <strong>von</strong> etwa 1µm.<br />
Die Dissipation der Mikrowellen <strong>in</strong> der Wand führt auf e<strong>in</strong>e exponentielle Dämpfung der elektromagnetischen<br />
Energie im Resonator,<br />
und e<strong>in</strong>er entsprechenden Dämpfung der elektrischen Felder,<br />
W(t) = W0 exp(−t/τ), (2.56)<br />
�E(t) = � E0 exp(−t/2τ)cos(ω0t). (2.57)<br />
E<strong>in</strong>e analoge Relation gilt für � B. Die spektrale Verteilung der Energie, das sogennante power<br />
spectrum, ist gegeben durch<br />
S(ω) = | Ê(ω)|2 , (2.58)<br />
24
Abbildung 18: Nächste-Nachbarn-Abstand Histogramme, gewonnen aus rechteckigen Mikrowellenresonatoren<br />
mit Seitenlängen a = 16.5 . . .51.0cm, b = 20cm, <strong>in</strong> den zwei Frequenzbereichen<br />
5 − 10GHz (a), und 15 − 18GHz (b), sowie für das Viertelstadion-Billiard aus Abbildung 17<br />
(c), [12], [3]<br />
mit Ê(ω) der Fouriertransformierten <strong>von</strong> � E(t),<br />
Ê(ω) = 1<br />
� ∞<br />
√ E(t)e<br />
2π<br />
iωt dt. (2.59)<br />
Man f<strong>in</strong>det schließlich<br />
S(ω) ≈<br />
−∞<br />
1<br />
(ω − ω0) 2 + ( 1 . (2.60)<br />
2τ<br />
)2<br />
Der Energieverlust <strong>in</strong> den Wänden führt auf e<strong>in</strong>e Lorentz-Verbreiterte Resonanz mit e<strong>in</strong>er FWHM<br />
(full width at half maximum) <strong>von</strong><br />
∆ω = 1<br />
. (2.61)<br />
τ<br />
Die Resonatorgüte (resonator quality) Q = ω0/∆ω ist mit der Zerfallzeit τ verknüpft:<br />
τ = Q<br />
. (2.62)<br />
25<br />
ω0
Typische Güten für normal leitende Kavitäten s<strong>in</strong>d etwa 10 3 bis 10 4 . Um die Güte zu berechnen<br />
muss man die endliche Leitfähigkeit der Wände mit e<strong>in</strong>beziehen. Man erhält<br />
Q = α V<br />
, (2.63)<br />
Sδ<br />
mit V Volumen und S Oberfläche des Resonators, und α e<strong>in</strong> dimensionsloser Faktor abhängig<br />
<strong>von</strong> der Resonatorgeometrie, siehe [5], Kapitel 8. Abgesehen <strong>von</strong> e<strong>in</strong>em konstanen Faktor ist die<br />
Güte des Resonantors durch das Verhältnis der im Resonator gespeicherten Energie zu der <strong>in</strong> den<br />
Wänden gespeicherten Energie gegeben.<br />
Die Güte limitiert die Gesamtzahl der Eigenfrequenzen die experimentell ermittelt werden können.<br />
Der E<strong>in</strong>fachheit halber wollen wir e<strong>in</strong>en rechteckigen Resonator mit Seitenlängen a, b und c<br />
betrachten. Die Wellenzahlen der entsprechenden Eigenfrequenzen s<strong>in</strong>d dann gegeben durch<br />
klmn =<br />
�<br />
( lπ<br />
a )2 + ( mπ<br />
b )2 + ( nπ<br />
c )2 l, m, n = 0, 1, 2, . . .. (2.64)<br />
Abgesehen <strong>von</strong> den Fällen <strong>in</strong> denen e<strong>in</strong>e der Quantenzahlen Null ist muss jede Resonanz zweimal<br />
gezählt werden, da es transversal elektrische (TE) und transversal magneteische (TM) Moden gibt.<br />
Die Anzahl der Resonanzen im Bereich 〈k, k + dk〉 ist dann gegeben durch<br />
ρ(k)dk = 2 �<br />
= 2 �<br />
k
Abbildung 19: Teil e<strong>in</strong>es Spektrums e<strong>in</strong>es Niob-Mikrowellenresonators der Form e<strong>in</strong>es Viertelstadions.<br />
Das Spektrum <strong>in</strong> der oberen Hälfte wurde bei Zimmertemperatur aufgenommen, jenes der<br />
unteren Hälfte bei Supraleitung. Im rechten oberen Eck sehen wir den verwendeten Resonator,<br />
sowie die Positionen der drei gekoppelten Antennen, [10]<br />
wobei Nmax die Maximalanzahl der auflösbaren Resonanzen ist. Für Güten der Größenordnung<br />
1000 ist die Anzahl der Größenordnung 1000 mit dem Experiment <strong>in</strong> Übere<strong>in</strong>stimmung.<br />
Die Experimente wurden <strong>von</strong> Richter und se<strong>in</strong>er Gruppe [10] auf supraleitende Kavitäten erweitert,<br />
wo Güten <strong>von</strong> 10 5 bis sogar 10 7 auftreten. Daraus resultieren außergewöhnlich scharfe Resonanzl<strong>in</strong>ien.<br />
Abbildung 19 zeigt e<strong>in</strong>en Teil des Spektrums e<strong>in</strong>es Stadion-Billiards. Nach Gleichung (2.70)<br />
sollte man <strong>in</strong> der Lage se<strong>in</strong> Millionen <strong>von</strong> Resonanzen zu f<strong>in</strong>den. Solche Messungen wurden jedoch<br />
nicht realisiert. Mit e<strong>in</strong>em Q <strong>von</strong> 10 6 und e<strong>in</strong>er Maximalfrequenz <strong>von</strong> 40GHz (dem aktuell<br />
verfügbaren Limit, [8] 1999), lernen wir aus Gleichung (2.69), dass e<strong>in</strong> Volumen <strong>von</strong> 10 4 cm 3 nötig<br />
wäre um alle auflösbaren Resonanzen <strong>in</strong> das technisch erreichbare Gebiet zu br<strong>in</strong>gen. Volum<strong>in</strong>a<br />
dieser Größe wurden bislang nicht untersucht, obwohl sie vermutlich nicht außer Reichweite liegen.<br />
Die extrem ger<strong>in</strong>ge Dämpfung erlaubt es nicht nur e<strong>in</strong> Spektrum mit beispielloser Auflösung aufzunehmen,<br />
es ist auch möglich den Zerfall <strong>von</strong> Resonanzen <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er zeitlichen Tiefe zu studieren,<br />
die anderen Methoden nicht zugänglich ist.<br />
Die Zahl der Untersuchungen <strong>von</strong> Spektren <strong>von</strong> Mikrowellen-Billiards s<strong>in</strong>d <strong>in</strong> den letzten Jahren<br />
( [8] 1999) beträchtlich angestiegen. Die Fragestellungen reichen <strong>von</strong> Random Matrix über<br />
Periodic Orbit Theory bis h<strong>in</strong> zu Streumatrix-Zugängen und Spectral Level Dynamics. Billiards<br />
mit Strahlteilung (ray-splitt<strong>in</strong>g) wurden ebenfalls untersucht <strong>in</strong>dem man die Mikrowellenkavitäten<br />
mit dielektrischen Materialien lud. Es wurden auch Experimente mit dreidimensionalen Billiards<br />
veröffentlicht, sowohl mit, als auch ohne Supraleitung. Hier geht die Äquivalenz zwischen Elektrodynamik<br />
und Quantenmechanik verloren. E<strong>in</strong>e Auftrennung <strong>in</strong> TE und TM Moden ist nicht<br />
mehr möglich. Dennoch unterscheiden sich die Spektren nicht Signifikant <strong>von</strong> jenen welche aus<br />
quasi-zweidimensionalen und quantenmechanischen Systemen gewonnen wurden.<br />
27
Appendices<br />
A 3-Scheiben Flipper - das Programm<br />
A.1 Kurze Erläuterung<br />
E<strong>in</strong>ige kurze Erläuterungen zu dem Programm des 3-Scheiben Flippers will ich nicht schuldig bleiben.<br />
Die Aufgabenstellung für sich betrachten wirkt harmlos und e<strong>in</strong>fach. Als Mensch hat man<br />
auch ke<strong>in</strong>e weitere Schwierigkeit den Verlauf e<strong>in</strong>er Trajektorie geometrisch zu konstruieren. E<strong>in</strong><br />
wenig anders verhält es sich, wenn man dem Computer beibr<strong>in</strong>gen will dieses Problem zu lösen.<br />
Folgende Geometrie wurde für die Berechnung angenommen: Die Parametera undRwerden e<strong>in</strong>mal<br />
Abbildung 20: Geometrie und Wahl des Koord<strong>in</strong>atensystemes<br />
e<strong>in</strong>gestellt und nicht mehr verändert. Genauso verhält es sich für die Anfangsbed<strong>in</strong>gungen. Man<br />
benötigt vier Anfangsbed<strong>in</strong>gungen, die <strong>in</strong> Polarkoord<strong>in</strong>aten ausgedrückt <strong>in</strong> drei Parametern zusammengefasst<br />
s<strong>in</strong>d, da die Geschw<strong>in</strong>digkeit v ebenfalls konstant gehalten wird: <strong>in</strong>itr1, <strong>in</strong>itp1<br />
und vphi. Das Programm arbeitet iterativ, dh. vom Anfangsort ausgehend macht es e<strong>in</strong>en Schritt<br />
<strong>in</strong> die durch den Geschw<strong>in</strong>digkeitsw<strong>in</strong>kel vphi vorgegebene Richtung. Dabei splitten sich die Geschw<strong>in</strong>digkeiten<br />
<strong>in</strong> x- und y-Richtung auf und liefern so zwei unabhängige Gleichungen. Hier<strong>in</strong><br />
liegt auch die Crux: Der gewählte Zugang ist sehr e<strong>in</strong>fach zu realisieren, da man nur die Gleichung<br />
h<strong>in</strong>schreiben muss. Es zeigt sich jedoch, dass aufgrund der vielen unnötigen Iterationen im<br />
’leeren Raum’ zwischen den Scheiben der Fehler enorm anwächst. Der naheliegendere und elegantere<br />
Zugang ist also, <strong>von</strong> jedem Streupunkt ausgehend den nächsten Streupunkt zu berechnen, usf.<br />
Dadurch ließe sich e<strong>in</strong> viel stabilerer Algorithmus h<strong>in</strong>schreiben, was allerd<strong>in</strong>gs aus Zeitgründen unterlassen<br />
wurde. Anhand <strong>von</strong> periodischen Orbits, deren Anfangsbed<strong>in</strong>gungen aus geometrischen<br />
Überlegungen ausgerechnet werden können, läßt sich die Stabilität des Algorithmus überprüfen.<br />
Nachdem der implementierte Algorithmus e<strong>in</strong>e ausreichende Anzahl <strong>von</strong> Streuprozessen relativ<br />
genau berechnet, reicht es für den Demonstrationszweck völlig aus. Außerdem weist der E<strong>in</strong>fluss<br />
des Fehlers selbst wieder auf den chaotischen Charakter des Systemes h<strong>in</strong>.<br />
Nachdem e<strong>in</strong> neuer Schritt berechnet wurde, wird geprüft ob e<strong>in</strong>e Scheibe <strong>in</strong> Reichweite ist. Es ist<br />
wichtig, möglichst genau an der Kreisoberfläche zu streuen. Um zu prüfen, ob e<strong>in</strong>e Streubed<strong>in</strong>gung<br />
vorliegt, werden e<strong>in</strong>fach die Koord<strong>in</strong>aten des Teilchens <strong>in</strong> die jeweiligen Kreisgleichungen e<strong>in</strong>gesetzt.<br />
Ist e<strong>in</strong>e der Gleichungen erfüllt, wobei wegen des Float-Charakters nicht nur der Rand der<br />
Kresscheibe sondern die gesamte Kreisscheibe als Bed<strong>in</strong>gung herangezogen (≤) wird, so wird der<br />
28
Streuprozess nur anerkannt, wenn die letzte Streuung an e<strong>in</strong>er anderen Scheibe (oder gar nicht)<br />
erfolgt ist. Nun muss der neue Streuw<strong>in</strong>kelvphi berechnet werden, der uns sagt <strong>in</strong> welche Richtung<br />
reflektiert wird. Aus geometrischen Überlegungen wurden folgende Fälle hergeleitet:<br />
φ ′ ⎧<br />
−π − 2ξ + φ φ > π, Prozess <strong>von</strong> RE nach LI<br />
⎪⎨<br />
−π + 2ξ + φ φ > π, Prozess <strong>von</strong> LI nach RE<br />
=<br />
(A.1)<br />
⎪⎩<br />
+π − 2ξ + φ φ < π, Prozess <strong>von</strong> RE nach LI<br />
+π + 2ξ + φ φ < π, Prozess <strong>von</strong> LI nach RE<br />
mit φ ′ der neue W<strong>in</strong>kel <strong>von</strong> v, φ der E<strong>in</strong>fallsw<strong>in</strong>kel und ξ der W<strong>in</strong>kel zwischen E<strong>in</strong>fallsrichtung<br />
und Lot (Verb<strong>in</strong>dung Streupunkt Kreismittelpunkt).<br />
In Abbildung 21 sehen wir e<strong>in</strong> Beispiel e<strong>in</strong>es solchen Streuprozesses, hier ist φ < π und der Prozess<br />
erfolgt <strong>von</strong> l<strong>in</strong>ks nach rechts. Die Richtung des Prozesses ist wie folgt festzustellen: Blickt man<br />
vom Streupunkt aus entlang des ’Lotes’ <strong>in</strong> Richtung des Kreismittelpunktes, so kann entschieden<br />
werden wann e<strong>in</strong> Prozess <strong>von</strong> l<strong>in</strong>ks nach rechts oder umgekehrt abläuft. Das Problem ist nun, e<strong>in</strong><br />
Abbildung 21: Beispiel für Geometrie e<strong>in</strong>es Streuprozesses <strong>von</strong> LI nach RE, φ < π<br />
Kriterium zu f<strong>in</strong>den wann e<strong>in</strong> Prozess <strong>von</strong> rechts nach l<strong>in</strong>ks verläuft und wann umgekehrt. Sie<br />
unterscheiden sich durch e<strong>in</strong> Vorzeichen, wie <strong>in</strong> der Gleichung mit Fallunterscheidung für φ ′ zu<br />
sehen ist. Um dies festzustellen betrachtet man die W<strong>in</strong>keldifferenz zwischen dem Lot und dem<br />
e<strong>in</strong>fallenden Teilchen ΦLOT − ΦTEILCHEN. Ist diese größer als π oder kle<strong>in</strong>er als Null, so handelt<br />
es sich um e<strong>in</strong>en Prozess <strong>von</strong> rechts nach l<strong>in</strong>ks, anderenfalls um e<strong>in</strong>en Prozess <strong>von</strong> l<strong>in</strong>ks nach<br />
rechts. Um die Entscheidung treffen zu können muss man den Lotw<strong>in</strong>kel berechnen, der aus dem<br />
arctan y<br />
x gewonnen wird, mit y und x die Komponenten des stets auf dem Kreismittelpunkt der<br />
aktuellen Streuscheibe weisenden Differenzenvektors <strong>von</strong> � LOT = � R − � S ist, mit � R Ortsvektor des<br />
Scheibenmittelpunktes und � S Ortsvektor jenes Ortes an dem die Streuung erfolgt.<br />
Da der arctan e<strong>in</strong>en Wertebereich <strong>von</strong> (− π π<br />
2 , 2 ) hat, der Lotw<strong>in</strong>kel aber alle Werte aus [0, 2π)<br />
annehmen kann, muss der entsprechende W<strong>in</strong>kel mit Hilfsmitteln bestimmt werden. Dazu wurde<br />
die Streuscheibe willkürlich <strong>in</strong> Quadranten e<strong>in</strong>geteilt (siehe Abbildung 22). Um den W<strong>in</strong>kel des<br />
Lotes zu bestimmen wurden folgende Relationen gefunden:<br />
⎧<br />
arctan<br />
⎪⎨<br />
φLOT =<br />
⎪⎩<br />
y<br />
x Quadrant I<br />
π + arctan y<br />
x Quadrant II<br />
π + arctan y<br />
(A.2)<br />
x Quadrant III<br />
Quadrant IV<br />
2π + arctan y<br />
x<br />
Damit können alle Streuprozesse berechnet werden.<br />
29
Technische Informationen:<br />
Abbildung 22: E<strong>in</strong>teilung der Quadranten<br />
• Compiler: gfortran, gcc version 4.3.2 (Debian 4.3.2-1.1)<br />
• OS: Debian GNU/L<strong>in</strong>ux, 2.6.30, x86 64<br />
• Editor: vi<br />
• Graphik: xmgrace, Grace-5.1.22<br />
• Dokumentation: L ATEX<br />
30
A.2 Der Sourcecode <strong>von</strong> flipper.f90<br />
MODULE functions<br />
IMPLICIT NONE<br />
CONTAINS<br />
FUNCTION lotw<strong>in</strong>kel (x , y , x1 , y1 , xx , yy) ! Berechnet W<strong>in</strong>kel des Lotes<br />
IMPLICIT NONE<br />
REAL(KIND=8), INTENT(IN) : : x , y , xx , yy , x1 , y1<br />
REAL(KIND=8), PARAMETER : : PI = 3.14159265358979323846264<br />
REAL(KIND=8) : : lotw<strong>in</strong>kel<br />
IF (( x1 < xx) .AND. (y1 < yy )) THEN ! I Quadrant , x0, y xx) .AND. (y1 > yy )) THEN ! I I I Quadrant , x>0, y>0<br />
lotw<strong>in</strong>kel = PI + ATAN(y/x)<br />
ELSE ! IV Quadrant , x0<br />
lotw<strong>in</strong>kel = 2∗PI + ATAN(y/x)<br />
END IF<br />
END FUNCTION lotw<strong>in</strong>kel<br />
END MODULE functions<br />
PROGRAM ma<strong>in</strong><br />
USE functions<br />
IMPLICIT NONE<br />
INTEGER, PARAMETER : : TIME = 7000 ! Zeitparameter<br />
REAL(KIND=8), PARAMETER : : PI = 3.14159265358979323846264<br />
REAL(KIND=8), PARAMETER : : v0=1e−7 ! const . Geschw<strong>in</strong>digkeit<br />
REAL(KIND=8), PARAMETER : : R = 0.5 ! Ausdehnung der Discs<br />
REAL(KIND=8), PARAMETER : : a = 1.25 ! Seitenlaenge g l e i c h s e i t . Dreieck<br />
REAL(KIND=8), PARAMETER : : r1 = 0. d0 ! r−pos erste Scheibe<br />
REAL(KIND=8), PARAMETER : : phi1 = 0. d0 ! phipos erste Scheibe<br />
REAL(KIND=8), PARAMETER : : r2 = a ! r−pos zweite Scheibe<br />
REAL(KIND=8), PARAMETER : : phi2 = 0. d0 ! phipos zweite Scheibe<br />
REAL(KIND=8), PARAMETER : : r3 = a ! r−pos d ritte Scheibe<br />
REAL(KIND=8), PARAMETER : : phi3=PI /3. d0 ! phipos d ritte Scheibe<br />
REAL(KIND=8) : : phi ! W<strong>in</strong>kel Phi ( ebene Polarkoord)<br />
REAL(KIND=8) : : x , y , x1 , y1 ! kart . Koord<strong>in</strong>aten<br />
REAL(KIND=8) : : vx1 , vy1 ! v−Komponenten<br />
REAL(KIND=8) : : vphi ! Richtung <strong>von</strong> v<br />
REAL(KIND=8) : : lotphi ! Richtung <strong>von</strong> Lot<br />
REAL(KIND=8) : : <strong>in</strong> i tr1 ! Startwert R<br />
REAL(KIND=8) : : <strong>in</strong>itp1 ! Startwert Phi<br />
REAL(KIND=8) : : xx1 , yy1 , xx2 , yy2 , xx3 , yy3 ! Positionen der Scheiben<br />
REAL(KIND=8) : : xl , yl ! Lotvektor<br />
INTEGER : : t ! Zeitparameter<br />
INTEGER : : lastst reu ! le t zte Streuung<br />
i n i t r 1 = R+0.01<br />
<strong>in</strong>itp1 = ATAN(2∗SIN(PI/3)−2∗R/a)<br />
!%<br />
vphi = ATAN(2∗SIN(PI/3)−2∗R/a)<br />
xx1 = r1 ∗COS( phi1 ) ! Position umrechnen erste Disc<br />
31
yy1 = r1 ∗SIN ( phi1 ) ! Position umrechnen<br />
xx2 = r2 ∗COS( phi2 ) ! Position umrechnen zweite Disc<br />
yy2 = r2 ∗SIN ( phi2 ) ! Position umrechnen<br />
xx3 = r3 ∗COS( phi3 ) ! Position umrechnen d ritte Disc<br />
yy3 = r3 ∗SIN ( phi3 ) ! Position umrechnen<br />
x1 = i n i t r1 ∗COS( <strong>in</strong>itp1 ) ! Startwert umrechnen<br />
y1 = i n i t r1 ∗SIN ( <strong>in</strong>itp1 ) ! Startwert umrechnen<br />
vx1 = v0∗COS( vphi ) ! Startwert umrechnen<br />
vy1 = v0∗SIN ( vphi ) ! Startwert umrechnen<br />
laststreu = 0 ! Jede Streuung moeglich<br />
PRINT ∗ , ”vphi :” ! Kontrollausgabe<br />
PRINT ∗ , vphi<br />
OPEN (UNIT=10, FILE=”trajectory . dat ” , ACTION=”write ”) ! Ausgabe vorbereiten<br />
100 FORMAT (F8.2 ,XXXXXXXXXX, F8 .2) ! Format angeben<br />
DO t=1, TIME ! Evolviere Zeit<br />
WRITE (10 , 100) x1 , y1 ! Ausgabe <strong>in</strong> Datei<br />
x1 = x1 + vx1 ∗ t ! Bewegungsgleichung<br />
y1 = y1 + vy1 ∗ t ! Bewegungsgleichung<br />
IF (SQRT(x1 ∗x1 + y1∗y1) PI) THEN<br />
IF ( ( lotphi − vphi < 0. d0) .OR. (( lotphi − vphi ) > PI) ) THEN ! Prozess <strong>von</strong> Re nach Li<br />
vphi = −PI + vphi − 2∗ACOS(( vx1 ∗ xl+vy1 ∗ yl )<br />
/(SQRT(vx1 ∗vx1+vy1 ∗vy1 )∗SQRT( xl ∗ xl+yl ∗ yl ))) ! W<strong>in</strong>kel berechnen<br />
ELSE<br />
vphi = −PI + vphi + 2∗ACOS(( vx1 ∗ xl+vy1 ∗ yl )<br />
/(SQRT(vx1 ∗vx1+vy1 ∗vy1 )∗SQRT( xl ∗ xl+yl ∗ yl ))) ! W<strong>in</strong>kel berechnen<br />
END IF<br />
ELSE<br />
IF ( ( lotphi − vphi < 0. d0) .OR. (( lotphi − vphi ) > PI) ) THEN ! Prozess <strong>von</strong> Re nach Li<br />
vphi = PI + vphi − 2∗ACOS(( vx1 ∗ xl+vy1 ∗ yl )<br />
/(SQRT(vx1 ∗vx1+vy1 ∗vy1 )∗SQRT( xl ∗ xl+yl ∗ yl ))) ! W<strong>in</strong>kel berechnen<br />
ELSE<br />
vphi = PI + vphi + 2∗ACOS(( vx1 ∗ xl+vy1 ∗ yl )<br />
/(SQRT(vx1 ∗vx1+vy1 ∗vy1 )∗SQRT( xl ∗ xl+yl ∗ yl ))) ! W<strong>in</strong>kel berechnen<br />
END IF<br />
END IF<br />
vphi = MOD( vphi , 2∗PI)<br />
vx1 = v0∗COS( vphi ) ! Startwert umrechnen<br />
vy1 = v0∗SIN ( vphi ) ! Startwert umrechnen<br />
PRINT ∗ , ”vphi neu :” ! Kontrollausgabe<br />
PRINT ∗ , vphi<br />
END IF<br />
ELSE IF (SQRT(( x1−xx2 ) ∗( x1−xx2)+y1 ∗y1)
PRINT ∗ , ”STREU2”<br />
laststreu = 2<br />
xl = xx2 − x1 ! Lot berechnen<br />
yl = yy2 − y1<br />
lotphi = lotw<strong>in</strong>kel ( xl , yl , x1 , y1 , xx2 , yy2 ) ! Lotw<strong>in</strong>kel berechnen<br />
PRINT ∗ , ” lotw<strong>in</strong>kel :”<br />
PRINT ∗ , lotphi<br />
IF ( vphi > PI) THEN<br />
IF ( ( lotphi − vphi < 0. d0) .OR. (( lotphi − vphi ) > PI) ) THEN ! Prozess <strong>von</strong> Re nach Li<br />
vphi = −PI + vphi − 2∗ACOS(( vx1 ∗ xl+vy1 ∗ yl )<br />
/(SQRT(vx1 ∗vx1+vy1 ∗vy1 )∗SQRT( xl ∗ xl+yl ∗ yl ))) ! W<strong>in</strong>kel berechnen<br />
ELSE<br />
vphi = −PI + vphi + 2∗ACOS(( vx1 ∗ xl+vy1 ∗ yl )<br />
/(SQRT(vx1 ∗vx1+vy1 ∗vy1 )∗SQRT( xl ∗ xl+yl ∗ yl ))) ! W<strong>in</strong>kel berechnen<br />
END IF<br />
ELSE<br />
IF ( ( lotphi − vphi < 0. d0) .OR. (( lotphi − vphi ) > PI) ) THEN ! Prozess <strong>von</strong> Re nach Li<br />
vphi = PI + vphi − 2∗ACOS(( vx1 ∗ xl+vy1 ∗ yl )<br />
/(SQRT(vx1 ∗vx1+vy1 ∗vy1 )∗SQRT( xl ∗ xl+yl ∗ yl ))) ! W<strong>in</strong>kel berechnen<br />
ELSE<br />
vphi = PI + vphi + 2∗ACOS(( vx1 ∗ xl+vy1 ∗ yl )<br />
/(SQRT(vx1 ∗vx1+vy1 ∗vy1 )∗SQRT( xl ∗ xl+yl ∗ yl ))) ! W<strong>in</strong>kel berechnen<br />
END IF<br />
END IF<br />
vphi = MOD( vphi , 2∗PI)<br />
vx1 = v0∗COS( vphi ) ! Startwert umrechnen<br />
vy1 = v0∗SIN ( vphi ) ! Startwert umrechnen<br />
PRINT ∗ , ”vphi neu :” ! Kontrollausgabe<br />
PRINT ∗ , vphi<br />
END IF<br />
ELSE IF (SQRT(( x1−xx3 ) ∗( x1−xx3)+(y1−yy3 ) ∗( y1−yy3 )) PI) THEN<br />
IF ( ( lotphi − vphi < 0. d0) .OR. (( lotphi − vphi ) > PI) ) THEN ! Prozess <strong>von</strong> Re nach Li<br />
vphi = −PI + vphi − 2∗ACOS(( vx1 ∗ xl+vy1 ∗ yl )<br />
/(SQRT(vx1 ∗vx1+vy1 ∗vy1 )∗SQRT( xl ∗ xl+yl ∗ yl ))) ! W<strong>in</strong>kel berechnen<br />
ELSE<br />
vphi = −PI + vphi + 2∗ACOS(( vx1 ∗ xl+vy1 ∗ yl )<br />
/(SQRT(vx1 ∗vx1+vy1 ∗vy1 )∗SQRT( xl ∗ xl+yl ∗ yl ))) ! W<strong>in</strong>kel berechnen<br />
END IF<br />
ELSE<br />
IF ( ( lotphi − vphi < 0) .OR. (( lotphi − vphi ) > PI) ) THEN ! Prozess <strong>von</strong> Re nach Li<br />
vphi = PI + vphi − 2∗ACOS(( vx1 ∗ xl+vy1 ∗ yl )<br />
/(SQRT(vx1 ∗vx1+vy1 ∗vy1 )∗SQRT( xl ∗ xl+yl ∗ yl ))) ! W<strong>in</strong>kel berechnen<br />
ELSE<br />
vphi = PI + vphi + 2∗ACOS(( vx1 ∗ xl+vy1 ∗ yl )<br />
/(SQRT(vx1 ∗vx1+vy1 ∗vy1 )∗SQRT( xl ∗ xl+yl ∗ yl ))) ! W<strong>in</strong>kel berechnen<br />
END IF<br />
END IF<br />
vphi = MOD( vphi , 2∗PI)<br />
vx1 = v0∗COS( vphi ) ! Startwert umrechnen<br />
vy1 = v0∗SIN ( vphi ) ! Startwert umrechnen<br />
33
PRINT ∗ , ”vphi neu :” ! Kontrollausgabe<br />
PRINT ∗ , vphi<br />
END IF<br />
END IF<br />
vphi = MOD( vphi , 2∗PI) ! Hole W<strong>in</strong>kel zurueck<br />
IF ( vphi < 0. d0) THEN<br />
vphi = vphi + 2∗PI ! Hole W<strong>in</strong>kel zurueck<br />
END IF<br />
END DO<br />
CLOSE (UNIT=10)<br />
END PROGRAM ma<strong>in</strong><br />
34
B Feigenbaumdiagramm - das Programm<br />
B.1 Kurze Erläuterung<br />
Das Programm zur Erstellung des Feigenbaum-Diagrammes ist denkbar e<strong>in</strong>fach. Hier wurde nur<br />
der relevante Bereich <strong>von</strong> kurz vor der ersten Bifurkation, die bei a= 3 erfolgt, bis a= 4 gerechnet.<br />
Ferner ist für x e<strong>in</strong> Startwert vorzugeben.<br />
In e<strong>in</strong>er for-Schleife (<strong>in</strong> FORTRAN DO Schleife) werden für jedes a 300 Folgeglieder aufsummiert.<br />
Dabei läuft a <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er äußeren Schleife, beg<strong>in</strong>nend bei 2.5. Mit jedem äußeren Druchlauf wird<br />
a um 0.005 erhöht, so dass nach 300 Durchläufen der Wert a= 4 erreicht wird. In der <strong>in</strong>neren<br />
Schleife werden alle Folgeglieder deren Lauf<strong>in</strong>dex größer ist als 199 zusammen mit dem aktuellen<br />
Parameter a auf File geschrieben. So können dann die Daten mit xmgrace, gnuplot, etc zum<br />
Diagramm prozessiert werden.<br />
Technische Informationen:<br />
• Compiler: gfortran, gcc version 4.3.2 (Debian 4.3.2-1.1)<br />
• OS: Debian GNU/L<strong>in</strong>ux, 2.6.30, x86 64<br />
• Editor: vi<br />
• Graphik: xmgrace, Grace-5.1.22<br />
• Dokumentation: L ATEX<br />
35
B.2 Der Sourcecode <strong>von</strong> feigenbaum.f90<br />
PROGRAM ma<strong>in</strong><br />
IMPLICIT NONE<br />
INTEGER, PARAMETER : : i t = 300 ! Parameter fuer Anzahl der aufsummieretn Folgeglieder<br />
REAL(KIND=8) : : a , x ! Parameter a , Werte fuer alt es und aktue lles x<br />
INTEGER : : i , j ! Schleifenparameter<br />
OPEN ( UNIT=10, FILE=”feigenbaum . dat ” , ACTION=”write ”) ! Ausgabe vorbereiten<br />
100 FORMAT (F8.5 , 10X, F8 .5) ! Formater anweisen<br />
x = 0.5 ! Setzen der Parameter<br />
a = 2.5 ! a s tartet bei 2.5 , da erst bei 3 die erste Bifurkation a u f t r i t t<br />
DO i =1, 300 ! a laeuft bis 4 , daher 300 0.005 er Schritte noetig<br />
a = a + 0.005 ! a erhoehen<br />
DO j =1, i t ! Folge aufsummieren<br />
x = a∗x − a∗x∗x ! Logistische Gleichung<br />
IF ( i t .GT. 199 ) THEN ! letzten 100 Glieder mitnehmen<br />
WRITE (10 , 100) x , a ! Ausgabe <strong>in</strong> Datei<br />
END IF<br />
END DO<br />
END DO<br />
END PROGRAM ma<strong>in</strong><br />
36
Abbildungsverzeichnis<br />
1 Des Physikers Flipper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2<br />
2 Skizze: Sensibilität auf Anfangsbed<strong>in</strong>gungen, [2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br />
3 Sensibilität auf Anfangsbed<strong>in</strong>gungen: Unterschiedlicher Startw<strong>in</strong>kel . . . . . . . . . 5<br />
4 Sensibilität auf Anfangsbed<strong>in</strong>gungen: Unterschiedliche Anfangsorte . . . . . . . . . 5<br />
5 Skizze: B<strong>in</strong>äres Alphabet für 3-Scheiben-Flipper-Trajektorien, [2] . . . . . . . . . . 7<br />
6 Skizze: Qualitativer Verlauf <strong>von</strong> e<strong>in</strong>igen 3-Scheiben Zyklen, [2] . . . . . . . . . . . . 8<br />
7 Periodische Orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
8 Skizze: 3-Scheiben Flipper mit Koord<strong>in</strong>aten und Po<strong>in</strong>caré-Schnitten, [2] . . . . . . 10<br />
9 Skizze: Bereiche <strong>von</strong> Trajektorien für e<strong>in</strong>maliges und zweimaliges Abprallen, [2] . . 11<br />
10 Logistische Abbildung, a = 2 mit stabilem Fixpunkt xf = 0.5, x0 = 0.1, [1] . . . . 11<br />
11 Logistische Abbildung, a = 3.5 <strong>in</strong> oszillierendem Bereich, x0 = 0.1, [1] . . . . . . . 12<br />
12 Feigenbaumdiagramm, erstellt mit e<strong>in</strong>em FORTRAN95-Programm, Sourcecode siehe<br />
Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />
13 Propagation e<strong>in</strong>es Mikrowellenpulses <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er Mikrowellenkavität <strong>in</strong> Form e<strong>in</strong>es Viertelstadions,<br />
aus [4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br />
14 Dreidimensionale Ansicht der Pulspropagation aus Abbildung 13 (a) und (f), aus [4] 19<br />
15 Po<strong>in</strong>caré-Schnitte für die Standard Map für unterschiedliche Kick-Stärken, generiert<br />
mit dem Mathematica-Notebook <strong>von</strong> [11] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20<br />
16 Asymptotische Drehimpulsverteilung für den gekickten Rotator mit k = kC =<br />
0.9716 . . ., l<strong>in</strong>ear (a) und logarithmisch (b) skaliert, aus [9] . . . . . . . . . . . . . . 21<br />
17 Teil e<strong>in</strong>es Mikrowellen Reflexionsspektrums e<strong>in</strong>er Kavität <strong>in</strong> Form e<strong>in</strong>es Viertelstadion<br />
(b = 20cm, l = 36cm) und e<strong>in</strong>er Höhe h = 0.8cm. Jedes M<strong>in</strong>imum <strong>in</strong> der<br />
reflektierten Mikrowellenleistung entspricht e<strong>in</strong>er Eigenfrequenz, [3] . . . . . . . . . 24<br />
18 Nächste-Nachbarn-Abstand Histogramme, gewonnen aus rechteckigen Mikrowellenresonatoren<br />
mit Seitenlängen a = 16.5 . . .51.0cm, b = 20cm, <strong>in</strong> den zwei Frequenzbereichen<br />
5−10GHz (a), und 15−18GHz (b), sowie für das Viertelstadion-Billiard<br />
aus Abbildung 17 (c), [12], [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25<br />
19 Teil e<strong>in</strong>es Spektrums e<strong>in</strong>es Niob-Mikrowellenresonators der Form e<strong>in</strong>es Viertelstadions.<br />
Das Spektrum <strong>in</strong> der oberen Hälfte wurde bei Zimmertemperatur aufgenommen,<br />
jenes der unteren Hälfte bei Supraleitung. Im rechten oberen Eck sehen wir<br />
den verwendeten Resonator, sowie die Positionen der drei gekoppelten Antennen, [10] 27<br />
20 Geometrie und Wahl des Koord<strong>in</strong>atensystemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28<br />
21 Beispiel für Geometrie e<strong>in</strong>es Streuprozesses <strong>von</strong> LI nach RE, φ < π . . . . . . . . . 29<br />
22 E<strong>in</strong>teilung der Quadranten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30<br />
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