Tutorium Mechanik WS10 - Website von Andreas Windisch.

Karl-Franzens-Universität Graz
Institut für Physik
Tutorium Mechanik WS10
M. Hopfer, R.C. Schardmüller, R.-A. Tripolt, J. Usanovic, A. Windisch
5. Übungsblatt
Schicht Dicke [km] mittlere Dichte [
Kruste 30 2.5
Oberer Mantel 720 3.9
Unterer Mantel 2171 5.0
Äußerer Kern 2259 11.0
Innerer Kern 1221 13.0
g
cm
] 3
Tabelle 1: Ungefähre Schichtdicken und -dichten, die Daten sind gemittelt, von
http://pubs.usgs.gov/gip/interior/
Aufgabe 33 (1 Punkt):
Zu rechnen bis: 11./12.01.2011
Zeigen Sie, dass die Kraft F(x, y, z) = (y 3 , 3xy 2 + 2y cos (z), −y 2 sin (z)) eine konservative
Kraft ist und bestimmen Sie das entsprechende Potential.
Dieses Beispiel stammt aus dem Buch “Mathematische Methoden in der Physik” von Lang&Pucker
(Kapitel 7).
Aufgabe 34 (1 Punkt):
Zu rechnen bis: 11./12.01.2011
Stellen Sie sich vor Prof. Lidenbrock, Protagonist im Roman Reise zum Mittelpunkt
der Erde von Jules Verne (1864), hätte auf seiner Reise die Dichten der verschiedenen
Erdschichten bestimmt und die Werte in Tabelle 1 gefunden. Berechnen Sie zunächst
die Gesamtmasse der Erde anhand der in der Tabelle ausgewiesenen Daten und vergleichen
Sie mit den in der Literatur gefundenen Werten. Nehmen Sie hernach an, die
Erde sei eine Vollkugel mit einer mittleren Dichte. Versuchen Sie das in Abbildung 2
skizzierte Ergebnis zu bestätigen. Gehen Sie dabei davon aus, dass die Gravitationsfeldstärke
einer homogenen Kugelschale mit vernachlässigbarer Dicke im Außenraum
so ist, als wäre die Masse der Kugelschale in einem Punkt konzentriert. Im Innenraum
der Kugelschale ist die Gravitationsfeldstärke Null. Verwenden Sie diese Informationen
um auf die Vollkugel zu schließen. Der Schalenaufbau der Erde ist in Abbildung 1
dargestellt. Die unterschiedlichen Schalen weisen die in Tabelle 1 gezeigten Werte auf.
Achten Sie auf die Einheiten der verwendeten Daten!
Abbildung 1: Schalenaufbau der Erde, von http://de.wikipedia.org
g
Abbildung 2: Qualitativer Verlauf der Gravitationsfeldstärke einer Vollkugel mit homogener
Dichte
r

Aufgabe 35 (1 Punkt):
Zu rechnen bis: 11./12.01.2011
Lösen Sie folgende Aufgaben:
(a) Berechnen Sie die Umlaufzeit des Saturnmondes Mimas, dessen mittlerer Bahnradius
1.86 × 10 8 m beträgt.
(b) Berechnen Sie den mittleren Bahnradius des Mondes Titan, der den Saturn in
einer Zeit von 1.38 × 10 6 s umkreist.
Die Saturnmasse beträgt M S = 5.69 × 10 26 kg.
Aufgabe 36 (1 Punkt):
Zu rechnen bis: 11./12.01.2011
Im Apogäum (erdfernster Punkt der Umlaufbahn) ist der Erdmond 406 395 km und
im Perigäum (erdnächster Punkt der Umlaufbahn) 357 643 km von der Erde entfernt.
Seine Umlaufzeit beträgt T = 27.3 d.
Welche Geschwindigkeit hat der Mond im Perigäum und welche im Apogäum?
Überlegen Sie sich, welche Symmetrien bei diesem Problem vorliegen und rechnen Sie
mit den sich daraus ergebenden Erhaltungsgrößen, um zur Lösung zu gelangen. Bei der
Masse m könnte es sich zum Beispiel um eine kleine Kugel in einer stark gekrümmten
Schale im Schwerefeld der Erde handeln. Je nach Start-Drehimpuls bewegt sie sich
auf unterschiedlichen Bahnen, wobei nur eine bestimmte Bahn bei dieser Aufgabe von
Interesse ist.
HINWEIS: L = mrv = mr 2 ω = mr 2 ˙ϕ (vgl. Skriptum Knoll, S. 80f)
Aufgabe 39 (1 Punkt):
Zu rechnen bis: 14.01.2011
Das Methanmolekül (CH4) besteht aus 4 Wasserstoffatomen, die in den Eckpunkten
eines Tetraeders mit der Seitenlänge 0.18nm angeordnet sind, und einem Kohlenstoffatom
im Mittelpunkt des Tetraeders. Berechnen Sie das Trägheitsmoment
Aufgabe 37 (1 Punkt):
Zu rechnen bis: 14.01.2011
Der Asteroid Ikarus hat eine Exzentrizität von e = 0.83 und eine Umlaufzeit von
T = 1.1a (Jahren). Die Exzentrizität e, Entfernung zum Perihel r p und große Halbachse
a sind wie folgt verknüpft:
r p = a(1 − e)
Berechnen Sie die große Halbachse der Bahn von Ikarus und geben Sie die Entfernung
des Asteroiden von der Sonne im Perihel und im Aphel an.
Aufgabe 38 (2 Punkte):
Zu rechnen bis: 14.01.2011
Eine Masse m bewegt sich in einem Zentralkraftfeld F(r) = −A r 4 e r mit einem zugehörigen
Drehimpuls L. L und A seien positive Konstanten, e r ist der Einheitsvektor
in radialer Richtung. Das Potential im Ursprung sei Null: U(0) = 0.
(a) Für welche kinetische Energie bewegt sich das Teilchen auf einer Kreisbahn?
(b) Wie groß ist der Radius dieser Kreisbahn?
Abbildung 3: Methanmolekül, von http://en.wikipedia.org
des Moleküls bezüglich der z-Achse, gegeben durch den Mittelpunkt des Kohlenstoffatoms
und den Mittelpunkt eines Wasserstoffatoms. (Masse des Wasserstoffatoms
M H = 1.67 × 10 −27 kg)
Optional: Schreiben Sie den Trägheitstensor (bezüglich der z-Achse) für das Molekül
an (für die nicht berechneten Komponenten können Sternchen eingetragen werden).

Aufgabe 40 (1 Punkt):
Zu rechnen bis: 14.01.2011
Lösen Sie folgende Aufgaben:
(a) Berechnen Sie das Trägheitsmoment eines aufgestellten Hohlzylinders mit der
Höhe h, dem Innenradius R 1 und dem Außenradius R 2 bezüglich der z-Achse
(Haupt-Symmetrieachse).
(b) Berechnen Sie mit dem Steinerschen Satz das Trägheitsmoment des selben
Körpers, allerdings ist die Haupt-Symmetrieachse nun um R 1 /2 aus der Mitte
gerückt.
Aufgabe 41 (1 Punkt):
Zu rechnen bis: 14.01.2011
Berechnen Sie die kinetische Rotationsenergie der Erde bezüglich ihrer Drehachse und
vergleichen Sie diesen Wert mit der kinetischen Energie aufgrund der Bahnbewegung
der Erde (des Massenmittelpunktes) um die Sonne.
Nehmen Sie an, dass die Erde eine gleichförmige Kugel mit einer Masse von
M E = 6 × 10 24 kg und einem Radius von R E = 6.4 × 10 6 m ist. Der Radius der als
kreisförmig angenommenen Erdbahn beträgt R B = 1.5 × 10 11 m.