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NOTFALLBLATT QUANTENMECHANIK
Tutorium aus Quantenmechanik
05. Juni 2010
Andreas Windisch
Dies ist eine NOTFALLKARTE. Sollte ein kranker oder verletzter Term im Hilbertraum angetroffen werden, so sind
hier diverse Techniken und Therapien zusammengefasst mit deren Hilfe der Term verarztet werden kann.
8q < 1L
cos( nπ x),
ψ n(x) = q 2L
: 1L
sin( nπ
2L x), n = 1, 3, 5, 7, . . .
Erste Hilfe
*
C Schrödingerbild
1. Ruhe bewahren!
Im Schrödingerbild hängen die Zustände von der Zeit ab, die Operatoren
2. Bewustseinskontrolle: Kann ich das
Problem erkennen
sind zeitunabhängig. Die Dynamik wird durch die Schrödin-
gergleichung beschrieben:
3. Verbandsmaterial: Was brauche ich
für die Verarztung
i d |ψ(t)〉 = Ĥ|ψ(t)〉,
dt
4. Ersthilfe leisten.
mit |ψ(t)〉 dem Zustand des Systemes im Schrödingerbild. Der Zustand
entwickelt sich mit dem unitären Zeitentwicklungsoperator:
*
|ψ(t)〉 = Û(t, t 0)|ψ(t 0 )〉,
A Baker-Campbell-Hausdorff-Formel
mit
e A e B = e A+B+ 2 1[A,B]
*
B Exemplarisch: Endlicher Potentialtopf:
Ansätze
Die folgende Abbildung zeigt eine Skizze des Potentials.
Û(t, t 0 ) = e −i(t−t 0 )Ĥ/ .
*
D Heisenbergbild
In diesem Bild ist die Zeitabhängigkeit der Zustände eingefroren.
Die dynamische Gleichung ist die Heisenberg’sche Bewegungsgleichung.
dÂH
dt
= 1
[ÂH, Ĥ].
i
Der zeitunabhängige Zustand entspricht dem Anfangszustand im
Schrödingerbild:
Hier kommutieren [H, P] = 0, dh. wir können die Lösungen nach symmetrischen
und antisymmetrischen Anteilen klassifizieren. Das Potential
|ψ(t)〉 H = U † (t)|ψ(t)〉 = |ψ(0)〉,
ist:
8
>< V 0 , x < −L
V (x) = 0, −L ≤ x ≤ L
dh.
>:
V 0 , x > L
|ψ(t)〉 H = e itĤ/ |ψ(t)〉.
Nun wird eine Gesamtwellenfunktion angesetzt, indem man alle unterschiedlichen
Bereiche betrachtet. Gebundene Lösungen: (0 < E < V 0 )
(Beachte: d|ψ〉 H /dt = 0). Für den Erwartungswert eines Operators Â
finden wir:
( d2
dx 2 − k2 1 )ψ I(x) = 0 (x < −L)
〈ψ(0)|eitĤ/ Âe −itĤ/ |ψ(0)〉 = 〈ψ(0)| Â H (t)|ψ(0)〉
( d2
dx 2 + k2 2 )ψ II(x) = 0 (−L ≤ x ≤ L)
= H 〈ψ|ÂH(t)|ψ〉 H
( d2
dx 2 − k2 1 )ψ III(x) = 0 (x > L)
mit k1 2 = 2m(V 0 − E)/ 2 und k2 2 = 2mE/2 . Die antisymmetrischen
und symmetrischen Wellenfunktionen sind dann:
*
8
E Wechselwirkungsbild (Diracbild)
>< Ae k 1 x , x < −L
ψ a(x) = C sin(k 2 x), −L ≤ x ≤ L
Dieses Bild eignet sich für Probleme mit explizit zeitabhängigem Hamiltonian.
Hier entwickeln sich der Zustandsvektor und der Ope-
>:
De −k 1 x , x > L
rator in der Zeit. Die Dynamik der Zustände genügt der folgenden
bzw.
8
Gleichung:
>< Ae k 1 x , x < −L
i d|ψ(t)〉 I
= ˆV I (t)|ψ(t)〉 I ,
ψ s(x) = B cos(k 2 x), −L ≤ x ≤ L
dt
>:
De −k 1 x , x > L
wobei Ĥ =
Die Kontinuitätsbedingung der Wellenfunktion und ihrer Ableitung
+ ˆV mit Ĥ0 zeitunabhängig und ˆV (zeitabhängiges)
Potential ist.
ist nun noch zu lösen (hier nicht durchgeführt). Ansatz für Streulösungen
I ist dann gegeben durch
(E > V 0 ):
8
>< Ae ik 1 x + Be −ik 1 x , x < −L
ˆV I (t) = e itĤ 0 / −itĤ ˆV e 0 / .
ψ(x) = Ce ik 2 x + De −ik 2 x , −L ≤ x ≤ L
>:
Ee ik 1 x ,
x > L
Die Bewegungsgleichung der Operatoren wird durch Ĥ0 bestimmt:
Ist der Potentialtopf unendlich tief, so muss die Wellenfunktion am
Rand verschwinden. Die Quantisierungsbedingung eingesetzt in die entsprechende
Wellenfunktion ist dann: (V 0 → ∞)
dt
dÂI(t)
= 1
[ÂI(t), Ĥ0].
i
- BITTE WENDEN! -
*

NOTFALLBLATT QUANTENMECHANIK
Tutorium aus Quantenmechanik
05. Juni 2010
Andreas Windisch
Dies ist eine NOTFALLKARTE. Sollte ein kranker oder verletzter Term im Hilbertraum angetroffen werden, so sind
hier diverse Techniken und Therapien zusammengefasst mit deren Hilfe der Term verarztet werden kann.
F Exemplarisch: Potentialstufe:
Ansätze
Die folgende Abbildung zeigt den Potentialverlauf, Inzidenz erfolgt von
links.
Der Term mit der Konstante D divergiert für x → ∞, D ist also 0. Die
vollständige Wellenfunktion ist daher:
ψ(x, t) =
(
Ae
i(k 1 x−ωt) + Be
−i(k 1 x+ωt) , x < 0
Ce −k′ 2 x e −iωt , x ≥ 0
Der Potentialsprung erfolgt bei x = 0:
V (x) =
(
0, x < 0
V 0 , x ≥ 0.
E > V 0 :
Wir haben zwei Fälle zu unterscheiden. Sei zunächst E > V 0 , dh. der
Einfall erfolgt über der Potentialschwelle. Für x < 0 sind die Teilchen
frei, bei x = 0 erfahren sie ein repulsives Potential welches konstant
anhält. Wir setzen in den beiden Bereichen an:
( d2
dx 2 + k2 1 )ψ I(x) = 0
( d2
dx 2 + k2 2 )ψ II(x) = 0,
Nun wollen wir, wie vorhin, die reflektierten und transmittierten Anteile
erfassen. Nachdem die transmittierte Wellenfunktion ψ trans(x) =
Ce −k′ 2 x rein reell ist, folgt aus der Gleichung für die Stromdichte, dass
dieselbe Null sein muss. Der Reflexionskoeffizient R muss daher 1 sein.
Diese Ergebnisse werden in der Tat erhalten, wenn man die Koeffizienten
explizit berechnet.
*
G Kontinuitätsgleichung
Kurze Motivation zur Kontinuitätsgleichung. Man findet, dass die
Wahrscheinlichkeitsdichte 〈ψ|ψ〉 sich nicht mit der Zeit verändert, dh.
ihre Ableitung nach t verschwindet. Anders ausgedrückt, ist |ψ(t)〉 einmal
normiert, so bleibt es normiert. Wir haben eine Erhaltung der
Wahrscheinlichkeit. Mit Hilfe der zeitabhängigen Schrödingergleichung
kann man folgendes finden:
i
sowie
2m (ψ⃗ ∇ψ ∗ − ψ ∗ ⃗ ∇ψ) = j(⃗r, t),
Wahrscheinlichkeitsstromdichte,
mit k 2 1 = 2mE/2 und k 2 2 = 2m(E −V 0)/ 2 . In diese Gleichungen geht
man mit einem Ebene-Wellen-Ansatz:
ψ ∗ (⃗r, t)ψ(⃗r, t) = ρ(⃗r, t),
Wahrscheinlichkeitsdichte
ψ I (x) = Ae ik 1 x + Be −ik 1 x , (x < 0)
ψ II (x) = Ce ik 2 x + De −ik 2 x , (x > 0).
Das Vorzeichen im Exponenten gibt Aufschluss über die Propagationsrichtung
der Welle (pos/neg x). Bei x = 0 kann nun Transmission bzw.
Reflexion erfolgen. Mit der Annahme der Inzidenz ausschließlich von
links entfällt der Term der mit der Konstante D kommt, ferner betrachten
wir nun die vollständigen Wellenfunktionen für Einfall (Konstante
A), Reflexion (Konstante B) sowie Transmission (Konstante C).
ψ(x, t) =
(
Ae i(k 1 x−ωt) + Be −i(k 1 x+ωt) , (x < 0)
Ce i(k 2 x−ωt) . (x ≥ 0)
und
∂ρ(⃗r, t)
+ ∇ ⃗ ·⃗j = 0, Kontinuitätsgleichung.
∂t
Mit diesen Definitionen kann man nun etwa den reflektierten Strom für
ein Streuproblem an einer Potentialschwelle berechnen.
*
H Linearer Operator
Ist die Linearität eines Operators zu prüfen muss der Operator auf folgende
Eigenschaft untersucht werden: Wenn
Wir interessieren uns für den Reflexions- bzw. Transmissionskoeffizienten.
Diese sind gegeben durch:
Â(aψ + bφ) = aÂψ + bÂφ,
a, b ∈,
reflektierte Stromdichte
R = |
einfallende Stromdichte | = | J ref
|,
J ein
T = | Jtrans
J ein
|.
Die entsprechenden Stromdichten erhalten wir aus dem Strom-Term aus
der Kontinuitätsgleichung:
J ein = i
2m (ψ ein(x) dψ∗ ein (x)
dx
− ψein ∗ (x) dψ ein(x)
),
dx
analog erhalten wir die Stromdichten für die transmittierte und reflektierte
Welle. Werfen wir nun einen kurzen Blick auf den zweiten Fall.
E < V 0 :
Hier ändert sich die Wellenfunktion im Bereich I nicht, allerdings bekommen
wir im Bereich II:
gilt, so ist der Operator linear.
I Hermite’scher Operator
Ist zu prüfen ob ein Operator hermite’sch ist, so betrachtet man:
Z
*
Z
f ∗ (x)[Âg(x)]d3 x = [† f(x)] ∗ g(x)d 3 x,
mit f, g quadratintegrablen, skalaren Funktionen. Gilt nun für den Operator
 = † , so ist der Operator hermite’sch und es gilt:
Z
Z
f ∗ (x)[Âg(x)]d3 x = [Âf(x)]∗ g(x)d 3 x.
( d2
dx 2 − k′ 2
2 )ψII (x) = 0 (x ≥ 0),
Wir müssen also prüfen, ob diese letzte Relation für einen gegebenen
Operator hält oder nicht.
mit k ′ 2 2 = 2m(V 0 − E)/ 2 . Die Lösung für diese Gleichung ist:
ψ 2 (x) = Ce −k′ 2 x + De k′ 2 x (x ≥ 0).
*
- BITTE WENDEN! -