5.9 Die Graßmann-Algebra

5.9. DIE GRASSMANN-ALGEBRA 239
5.9 Die Graßmann-Algebra
Wir betrachten in der Algebra
T0(V ) = K ⊕ V ⊕ V ⊗ V ⊕ . . .
der kovarianten Tensoren das Ideal I, das von den Tensoren v⊗v, v ∈ V , erzeugt
wird, also
I :=
u ⊗ ⊗ v ⊗ v ⊗ w ⊗
u ⊗ , w ⊗
∈ T0(V ), v ∈ V .
Ein Ideal in einer graduierten Algebra heißt homogenes Ideal, wenn es (als K-
Algebra) von homogenen Elementen erzeugt wird. Das gerade definierte Ideal I
in der Algebra der kontravarianten Tensoren ist ein solches Ideal. Ein weiteres
Beispiel bilden die Polynome mit lauter geraden Koeffizienten in K[x].
5.9.1 Hilfssatz Ist W = Wh H-graduiert, U ein homogener Unterraum
dann gilt:
• U =
h (U ∩ Wh), ist also ebenfalls H-graduiert.
• W/U =
h νU (Wh)
h Wh/Uh, mit Uh := U ∩ Wh.
Beweis:
i) Ist E ein Erzeugendensystem von U aus lauter homogenen Elementen = 0,
dann ist E = (E ∩ Wh), also
U =
U ∩ Wh =
(U ∩ Wh).
h
ii) Wir betrachten αh: Wh + U → Wh/Uh, wh + U ↦→ wh + Uh. Dafür gelten
offensichtlich die folgen Äquivalenzen:
wh + U = w ′ h + U ⇔ wh − w ′ h ∈ U ⇔ wh − w ′ h ∈ Uh ⇔ wh + Uh = w ′ h + Uh.
Liest man diese von links nach rechts, so erweist sich αh als wohldefiniert. Von
rechts nach links gelesen ergibt sich die Injektivität. Die Surjektivität ist trivial.
Es gilt demnach
νU (Wh) K Wh/Uh.
iii) Es bleibt also nur noch zu zeigen, daß die Summe νU (Wh) direkt ist. Ein
Ansatz 0 =
h∈ νU (wh) ergibt aber
0 = wh + U =⇒ wh ∈ U =⇒ wh ∈ Uh =⇒ νU (wh) = 0.
5.9.2 Satz Ist A = Ah eine H-graduierte K-Algebra, I ein homogenes Ideal,
dann hat A/I die H-Graduierung
A/I =
νI(Ah) K Ah/Ih, mit Ih := I ∩ Ah.
h
✷

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Beweis: Nach 5.9.1 gilt jedenfalls
A/I = νI(Ah) (als K-Vektorraum).
Ist jetzt xh ∈ νI(Ah), yh ′ ∈ νI(Ah ′), etwa
dann gilt:
xh = νI(ah), yh ′ = νI(bh ′),
xh · yh ′ = νI(ah · bh ′) = νI(ch+h ′) ∈ νI(Ah+h ′).
Die angegebene Zerlegung A/I = νI(Ah) ist also auch eine H−Graduierung
für die Ringstruktur A/I.
✷
5.9.3 Definition (Graßmann–Algebra) T0(V )/I ist, wie T0(V ), N−graduierte
K−Algebra, die sogenannte Graßmann-Algebra (oder auch: die äußere Algebra)
über V :
V := T0(V )/I =
νI(⊗nV ).
5.9.4 Satz Der Unterraum νI(V n
0 ) von V ist isomorph zu n V . Wir können
also schreiben:
V
n∈N
Beweis: Wir betrachten die Abbildungen
n∈N
n V =
n∈N
n V .
µn: n
× V → νI( n
⊗ V ), (v0, . . . , vn−1) ↦→ νI(v ⊗ ).
i) µn ∈ Mn(× n V, νI( n
⊗ V ), Sn, ɛ): Aus der Definition von I folgt
also gilt
µn(v0, . . . , vi−1, vi + vi+1, vi + vi+1, vi+2, . . . , vn−1) = 0,
µn(v0, . . . , vn−1) = −µn(v0, . . . , vi−1, vi+1, vi, vi+2, . . . , vn−1),
und das wiederum impliziert
µ(v0, . . . , vn−1) = ɛ(π)µn(v π(0), . . . , v π(n−1)).
ii) Nach i) kann µn über n V faktorisiert werden:
n
× V ✲ P n
V
ɛ Sn
❅
❅
µn❅
❅
❅❅❘
νI(⊗n ∃1ϕn
❄
V )
•

5.9. DIE GRASSMANN-ALGEBRA 241
es bleibt zu zeigen, daß ϕn Isomorphismus ist. Nach dem Abbildungssatz genügt
— wegen der Surjektivität von P ɛ — der Nachweis der Gleichheit der Kerne.
Sn
ii) Wir zeigen deshalb, daß I ∩ n
⊗ V = Kern(P ɛ Sn ):
a) Kern(P ɛ n
) ⊆ I ∩ ⊗ V : Weil P Sn ɛ Projektionsoperator ist, gilt
Sn
Kern(P ɛ Sn ) = Bild(id − P ɛ Sn ) = K〈(id − P ɛ Sn )v⊗ | vi ∈ V 〉
und beachten, daß
denn
(id − P ɛ Sn )v⊗ = 1
n!
π
(v ⊗ − ɛ(π)v ⊗ π ) ∈ I ∩ n
⊗ V ,
νI(v ⊗ − ɛ(π)v ⊗ π ) = µn(v0, . . . , vn−1) − ɛ(π)µn(v π(0), . . . , v π(n−1)) = i) 0.
b) Die Umkehrung I ∩ n
⊗ V ⊆ Kern(P ɛ Sn ) ist trivial, da jedes u⊗ ⊗ v ⊗ v ⊗ w ⊗
aus n
⊗ V im Kern von P ɛ Sn liegt.
✷
Die Graßmann-Algebra ist also direkte Summe der Symmetrieklassen n V, und
diese wiederum haben, wie wir bereits seit langer Zeit wissen, als Basen die
Mengen
{b ∆ ϕ | ϕ streng monoton wachsend }.
Streng monoton wachsende Abbildungen von n nach m gibt es aber nur für
n ≤ m. Wir schließen daraus, mit Hilfe der Dimensionsformel
n
dimK( V ) =
m
,
n
daß folgendes richtig ist, weil 2 m = (1 + 1) m =
n≤m
5.9.5 Folgerung
• V = n n≤m V ,
• dimK( V ) = 2 dimK(V ) .
m
n :
✷
Wir benutzen im folgenden auch für die Multiplikation in V das Symbol ∧
anstelle von ·, schreiben also z.B. v ∧ ∧ w ∧ anstelle von v ∧ · w ∧ .

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5.9.6 Anwendungen
i) v ∧ v = 0.
ii) Man kann auch die Cramersche Regel mit diesen Mitteln herleiten: Ist Ax = b
ein vorgegebenes lineares Gleichungssystem mit regulärer Koeffizientenmatrix
A ∈ K n×n und Spaltenvektoren ak, dann setzt man
vt := a0 ∧ . . . ∧ at−1 ∧ at+1 ∧ . . . ∧ an−1, t ∈ n.
Statt Ax = b können wir auch schreiben
xkak = b.
k
um daraus xk zu ermitteln, multiplizieren wir (in V ) mit vt. Es ergibt sich
dabei einerseits
vt ∧ b = xk(vt ∧ ak) = xt(vt ∧ at).
Andererseits gilt aber auch (beachte 5.7.8):
vt ∧ b = (−1) n−t+1 a0 ∧ . . . ∧ at−1 ∧ b ∧ at+1 ∧ . . . ∧ an−1
= (−1) n−t+1 det(a0, . . . , at−1, b, at+1, . . . , an−1)b0 ∧ . . . ∧ bn−1,
während 5.7.8 auch noch folgendes hergibt:
Also ergibt sich insgesamt
das ist die Cramersche Regel.
vt ∧ at = (−1) n−t · det(A) · b0 ∧ . . . ∧ bn−1.
xt = det(a0, . . . , at−1, b, at+1, . . . , an−1)
;
det(A)
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