1.2 Gauß-Algorithmus zum Lösen linearer Gleichungssysteme

1.2 Gauß-Algorithmus zum Lösen
linearer Gleichungssysteme
Die Bestimmung einer Polynomfunktion zu gegebenen Eigenschaften erfordert
oft das Lösen eines linearen Gleichungssystems (LGS). Zur Berechnung der Koeffi-
zienten eines Polynoms zweiten Grades y = ax 2 + bx + c benötigt man drei Glei-
chungen. Bei einem Polynom dritten Grades muss man bereits vier Parameter mit
vier Gleichungen bestimmen. Der Umfang des Gleichungssystems wächst mit dem
Grad des Polynoms. Dementsprechend wird auch das Lösungsverfahren sehr auf-
wändig und fehleranfällig.
Nach dem Mathematiker Gauß ist ein Verfahren benannt, das wegen seiner schematischen
Organisation auf den Computer übertragen werden kann. Heute kann
dieses Verfahren auch auf einem grafikfähigen Taschenrechner genutzt werden.
1 Gauß-Algorithmus am Beispiel
Es soll das Polynom zweiten Grades y = a x 2 + b x + c bestimmt werden, dessen
Graph durch die Punkte A(–1|6), B(2|3) und C(3|6) verläuft.
1. Schritt: Einsetzen der Koordinaten der Punkte in die allgemeine Gleichung der
Parabel liefert drei Gleichungen mit den drei Variablen a, b und c.
Einsetzen A(–1|6) (1) a – b + c = 6
Einsetzen B(2|3) (2) 4a + 2b + c = 3
Einsetzen C(3|6) (3) 9a + 3b + c = 6
2. Schritt: Umformen des Gleichungssystems in ein gestaffeltes Gleichungssystem
mithilfe der Äquivalenzumformungen.
Multiplikation einer Gleichung
auf beiden Seiten mit einer reellen
Zahl ungleich Null.
(1) a – b + c = 6
(2) 4a + 2b + c = 3
(3) 9a + 3b + c = 6
1.2 Gauß-Algorithmus zum Lösen linearer Gleichungssysteme
Addition zweier Gleichungen und anschließendes
Ersetzen einer Gleichung
durch das Ergebnis.
4 · (1) + (–1) · (2) → Gleichung (2*)
9 · (1) + (–1) · (3) → Gleichung (3*)
(1) a – b + c = 6
(2*) – 6b + 3c = 21
(3*) – 12b + 8c = 48 (–2) · (2*) + (3*) → Gleichung (3**)
(1) a – b + c = 6
(2*) – 6b + 3c = 21
(3**) 2c = 6
3. Schritt: Die Lösung des Gleichungssystems
kann nun schrittweise von unten
nach oben ermittelt werden:
2c = 6, also c = 3
–6b + 3 · 3 = 21, also b = –2
a – (–2) + 3 = 6, also a = 1
a) Rechenprobe: Setzen Sie die errechneten Werte für a, b und c in die drei Gleichungen
ein. Problemprobe: Wie lautet die Gleichung der gesuchten Funktion?
Prüfen Sie, ob die drei Punkte A, B und C auf dem Graphen der ermittelten
Funktion liegen.
b) Bestimmen Sie nach dem obigen Verfahren das Polynom zweiten Grades, dessen
Graph durch die Punkte P(1|4), Q(2|9) und R(3|18) verläuft.
c) Übertragen Sie das Verfahren auf die Bestimmung des Polynoms dritten Grades,
dessen Graph durch die Punkte P(–1|–3,5), Q(1|–2,5), R(2|–5) und S(4|–1) verläuft.
Was Sie erwartet
Carl FriedriCh Gauß
1777–1855
Aufgaben
(3-3)-System
Ein gestaffeltes Gleichungssystem
ist ein System in Dreiecksform.
Äquivalenzumformungen
verändern die Lösungsmenge
nicht.
Lösung zu c)
0,5 x 3 – 2 x 2 Lösung zu c)
0,5 x – 1
3 – 2 x 2 – 1
59

60
1 Modellieren mit Funktionen – Kurvenanpassung
Basiswissen
Dreiecksform: unterhalb der Diagonalen
stehen nur Nullen
Nicht jedes lineare Gleichungssystem
hat genau eine Lösung.
(siehe Übung 8)
Beispiel
Lineare Gleichungssysteme lassen sich systematisch mit dem Gauß-Algorithmus
lösen.
Der Gauß-Algorithmus in Kurzfassung
Das Gleichungssystem wird in eine Matrix übertragen. Dazu werden alle Informationen,
die selbstverständlich sind, weggelassen. Nur die Koeffizienten werden notiert.
Wichtig ist, dass die Koeffizienten, die zur gleichen Variablen gehören, in die gleiche
Spalte geschrieben werden.
LGS
(1) a + b + 2 c = 12
(2) 3 a – 2 b – 5 c = 7
(1)
(2)
Tabelle
a b c
1 1 2
3 – 2 – 5
12
7
Matrix
(
(3) 1 2 – 1 – 3
1
3
1
1
– 2
2
2
– 5 | – 1
12
(3) a + 2 b – c = – 3
7 ) – 3
Durch Äquivalenzumformungen wird die Matrix in die Dreiecksform überführt:
( 1
3
1
1
– 2
2
2
– 5 | – 1
12
7 ) ( – 3
1
0
0
1
– 5
1
2
– 11 | – 3
12
– 29 ) ( – 15
1
0
0
1
– 5
0
2
– 11 | – 26
12
· (– 3)
· (– (– 1)
+
· 1 + · 1
– 29
· 1
· 5 – 104
+
· 1
· 5 +
Durch Rückwärtseinsetzen werden die Variablen bestimmt:
– 26 c = – 104, also c = 4
– 5 b – 11 · 4 = – 29, also b = – 3
a – 3 + 2 · 4 = 12, also a = 7
Die Lösung des LGS ist das Zahlentripel (a; b; c) = (7; – 3; 4).
Das Verfahren lässt sich auf größere Gleichungssysteme übertragen. Auch hier wird
die Matrix mit passenden Äquivalenzumformungen in eine Dreiecksform überführt.
Der Rechenaufwand wird dann entsprechend höher.
A Lösen Sie das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus.
x 2 + x 3 = – 1
2 x 1 + 3 x 2 – 2 x 3 = 0
– x 1 + 2 x 2 + 3 x 2 = – 5
Lösung:
Matrix des Gleichungssystems
( 0
2
– 1
1
3
2
1
– 2 | 3
– 1
0
– 5
( 2
0
– 1
3 – 2
1 1 | 2 3
0
– 1 ) – 5
· 1
+
· 2
( 2
0
0
3 – 2
1 1 | 7 4
0
– 1 ) – 10
· (7)
· 1 +
( 2
0
0
3 – 2
1 1 | 0 – 3
0
+
– 1 ) – 3
)
Vertauschen der 1. und 2. Zeile. 0 steht an passender Stelle.
Multiplikation der 3. Zeile mit 2 und anschließend Addition
der 1. Zeile.
Multiplikation der 2. Zeile mit (– 7) und anschließend Additon
zur 3. Zeile.
Rückwärts einsetzen – 3 c = – 3, also c = 1
b + 1 = – 1, also b = – 2
2 a + 3 · (– 2) – 2 = 0, also a = 4
Das System hat die Lösung (4; – 2; 1).
)

2 Training per Hand
Wenden Sie den Gauß-Algorithmus an, um die Gleichungssysteme zu lösen.
a) x + y + z = 2 b) x + y – z = – 2 c) 2 x – y + z = 1
x – y + 2 z = – 3 2 x + y + z = 5 x + 2 y + 4 z = 2
2 x + y + z = 3 – x + 2 y – z = 3 x – y + 3 z = – 3
3 Training per Hand
Übersetzen Sie zunächst die Matrix in ein Gleichungssystem und lösen Sie dann mithilfe
des Gauß-Algorithmus.
a) b) c)
( 1
2
– 1
2
1
2
1
– 1 | 2
1
– 1 ) ( 1
1
1
0
2
1
2
1
– 1 | 1
1
2 ) ( 4
3
4
5
4 Zeilentausch
In Beispiel A auf der vorherigen Seite wurde zu Beginn des Verfahrens ein Zeilentausch
(Vertauschen der Gleichungen (1) und (2)) vorgenommen.
a) Warum war hier ein Zeilentausch sinnvoll?
b) Begründen Sie, dass ein Zeilentausch die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems
nicht verändert.
5 Gauß-Algorithmus beim (4-4)-System
2 a + 3 b – c + 5 d = 11
b + 3 c – d = 1
4 a – 2 b – 2 d = 0
a + b + c + d = 4
Die Schritte zur Überführung in die Dreiecksform erfolgen hier analog zu denen beim
(3-3)-System: Zunächst werden in der ersten Spalte drei Nullen erzeugt, dann zwei in
der zweiten Spalte und schließlich eine in der dritten Spalte. Dann ist die Dreiecksform
erreicht.
Füllen Sie bei der Notation der Äquivalenzumformungen die Lücken (Faktoren, mit
denen die jeweiligen Gleichungen multipliziert werden) aus und führen Sie die Äquivalenzumformungen
selbst durch.
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)
(2)
(3**)
(4**)
(1)
(2)
(3**)
(4***) (
(
2
0
4
1
(
2
0
0
0
2
0
0
0
3
1
–2
1
3
1
0
0
3
1
0
0
–1
3
0
1
–1
3
26
–6
–1
3
26
0
5
–1
–2
1 |
5
–1
–20
4 |
5
–1
– 20
–8 |
11
) 1
0
4
(1)
(
2 3 –1 5
|
11
)
(1) wird übernommen
(2) 0 1 3 –1 1 (2) wird übernommen, da 0 bereits vorhanden
(3*) 0 –8 2 –12 –22 (–2) · (1) + (3)
(4*) 0 1 –3 3 3 (1) – n · (4)
11
1
–14
2 )
11
) 1
– 14
–16
– 2
6
– 4
4
– 1
3
(1) wird übernommen
(2) wird übernommen
n · (2) + n · (3*)
n · (2) + n · (4*)
(1) wird übernommen
(2) wird übernommen
(3**) wird übernommen
3 · (3**) + n · (4**)
Geben Sie die Lösung an und machen Sie die Probe.
1.2 Gauß-Algorithmus zum Lösen linearer Gleichungssysteme
| 5
9
4
Übertragen des Gleichungsystems in die Matrix.
)
Übungen
Lösungen:
(– 1; 3; 4)
(1; 2; – 1)
(2; 2; – 1)
Zur Kontrolle:
Die Lösungen in ungeordneter
Reihenfolge
Lösungen:
(1; 1; 1)
(1; – 1; 2)
(– 3; 3; – 2)
4-4-System:
4 Gleichungen mit 4 Unbekannten
61

62
1 Modellieren mit Funktionen – Kurvenanpassung
Übungen
LGS mit dem grafikfähigen Taschenrechner lösen
Mit einem grafikfähigen Taschenrechner oder einem Computer-Algebra-System
lässt sich die Lösungsmenge eines LGS schnell bestimmen. Dazu gibt man die
„erweiterte Koeffizientenmatrix“ mithilfe des Matrix-Editors ein.
Mit 3 × 4 wird der Typ der Matrix
festgelegt: 3 Zeilen, 4 Spalten
3 a – 6 b + 12 c = – 21
3 a – 5 b + 2 c = – 27
2 a + b – 2 c = – 4
2, 3 kennzeichnet die Position der Zahl
in der 2. Zeile und der 3.Spalte
Koeffizientenmatrix
Erweiterte Koeffizientenmatrix
Mit dem Befehl ref erzeugt man eine Dreiecksform, aus der man die Lösungen
durch Rückwärtseinsetzen bestimmen kann.
a – 2 b + 4 c = – 7
b – 2 c = 2
c = 1
Der GTR besitzt einen weiteren Befehl rref, mit dem man aus der Koeffizientenmatrix
eine Diagonalform erzeugt, aus der man das Ergebnis direkt ablesen kann.
a = – 3
b = 4
c = 1
6 Training mit dem GTR
Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichungssysteme aus den Übungen 2 und 3 mit
dem GTR. Vergleichen Sie gegebenenfalls mit Ihren händisch ermittelten Lösungen.
7 Von der Dreiecksform zur Diagonalform
a) Zeigen Sie, dass die Matrix in die angegebene Dreiecksform überführt werden kann.
Geben Sie die dabei vorgenommenen Umformungsschritte an. Überprüfen Sie auch
mithilfe des GTR .
( 1
1
1
1 – 1
– 2 1 | – 1 2
2
1 ) ( 1
1
0
0
1 – 1
3 – 2 | 2 – 3
2
1 ) ( 1
1
0
0
1 – 1
3 – 2 | 0 5
2
1 ) – 1
b) Aus der Dreiecksform der Matrix lässt sich durch geeignete Äquivalenzumformungen
auch die Diagonalform herstellen. Geben Sie die dabei vorgenommenen Umformungsschritte
an. Überprüfen Sie mit dem GTR.
( 1
0
0
1 – 1
3 – 2 | 0 5
2
1 ) – 1
( 1
0
0
1 – 1
3 – 2 | 0 1
2
1
– 1 _
1 1 – 1 2
0 1 0 | 0 0 1
1 _
5
– 1 _
1 0 0
| 0 1 0
0 0 1
8 _
5
1 _
5
– 1 _
5
) (
5
) (
WERKZEUG
) 5

8 Nicht immer gibt es eine eindeutige Lösung
Auch die aus der Mittelstufe bekannten (2-2)-Systeme lassen sich
mit dem Gauß-Algorithmus bearbeiten.
Zu den vier Gleichungssystemen wurde mithilfe von rref die
Diagonalform erstellt. Zusätzlich wurden die Graphen zu den
einzelnen Gleichungen dargestellt.
Ordnen Sie jeweils die drei passenden Karten (Gleichungssystem,
Matrix, Graph) einander zu.
1 2 x + y = 3
7 x + y = 1
A ( 1
0 0,5
0 0
1 )
2 – x + y = 3
6x + y = – 2
B
( 1
0 0
1
2
– _
5
19 __ ) 5
3 – x – y = – 2
x + y = 2
C ( 1
0 1
0 2
0 )
I II III IV
1.2 Gauß-Algorithmus zum Lösen linearer Gleichungssysteme
4 2 x + y = 4
2 x + y = – 3
D
( 1
0 0
1
Wie erkennt man an der Diagonalform der Matrix die gegenseitige Lage der beiden
Geraden im Koordinatensystem?
9 Parabel zu drei Punkten
In jedem der drei Fälle soll die Parabel y = a x 2 + b x + c so bestimmt werden, dass der
Graph durch die drei gegebenen Punkte verläuft.
Die Einträge in den letzten beiden Spalten der Tabelle sind etwas durcheinander geraten.
Sortieren Sie richtig und begründen Sie mithilfe der Diagonalform der jeweiligen Matrix.
Punkte Matrix (LGS) Lösung Grafik
(– 2 | 0)
(1 | 2)
(2 | 4)
(– 2 | – 1)
(1 | 2)
(2 | 3)
(2 | 3)
(– 1 | 2)
(2 | – 1)
( 4
1
4
( 4
1
4
( 4
1
4
– 2
1
2
– 2
1
2
2
– 1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
2
4
– 1
3
2
– 1
2
3
) rref
) rref
) rref
(
1 0 0
1 _
3
0 1 0 1
0 0 1
2 _
( 1
0
0
( 1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
3
)
0
)
1
1
0,5
– 0,5
0
0
)
0
1
Es gibt keine Lösung
f (x) = x + 1
1
f (x) = _
x 3 2 + x + 2 _
3
10 Fragen zum Verstehen des Gauß-Algorithmus
a) Ein Zeilentausch verändert die Lösungsmenge eines LGS nicht. Gilt das auch bei
einem Spaltentausch?
b) Warum muss zur schematischen Ausführung des
Gauß-Algorithmus in dem Gleichungssystem ein Zeilentausch ( vorgenommen werden?
c) Man könnte aus der oberen Matrix auch die nebenstehende
Diagonalform herleiten.
Was sind nun die Lösungen?
0
1
1
2
1
2
1
– 1 | 1
4
2 ) 1
( 0
0
1
0
1
0
1
0 | 0
– 2
(
3 ) – 3
0
1
1
2
1
2
1
– 1 | 1
4
2 ) 1
( 0
0
1
0
1
0
1
0 | 0
– 2
3 ) – 3
Ein lineares Gleichungssystem kann
– genau eine,
– unendlich viele oder
– keine Lösung haben.
5
– _
7
16 __ ) 7
63

64
1 Modellieren mit Funktionen – Kurvenanpassung
Aufgaben
Stufen Bälle
1 1
2 4
3 10
4 20
5 35
6 56
7 84
y = a x 2 + b x + c oder
y = a x 3 + b x 2 y = a x
+ c x + d
oder …
2 + b x + c oder
y = a x 3 + b x 2 + c x + d
oder …
Ist Gauß der Erfinder des Gauß-Algorithmus?
Wie oft in der Mathematikgeschichte, wurde das nach Gauß benannte Lösungsverfahren
von ihm nicht als Erstem entwickelt. Bereits vor über 2000 Jahren
verwendeten chinesische Mathematiker Zahlenschemata
3 Garben guter Ernte, 2 Garben mittlerer
zur Lösung linearer Gleichungssysteme. In einem für die
und 1 Garbe schlechter Ernte geben
Ausbildung von Beamten geschriebenen Buch („Chiu
39 dou;
Chang Suan Shu“ – Mathematik in neun Büchern) traten
2 Garben guter, 3 Garben mittlerer und
Beispiele für (3­3)­Systeme auf, die in einer der Matrix
1 Garbe schlechter Ernte 34 dou;
ähnlichen Kurzform notiert wurden und durch Über­
1 Garbe guter, 2 Garben mittlerer und
führung in eine Dreiecksform gelöst wurden. In der neuzeit­
3 Garben schlechter Ernte 26 dou.
lichen europäischen Mathematik wurden zunächst andere
effektive Verfahren (Determinanten) zur Lösung linearer
Gleichungssysteme entwickelt, bevor Gauß dann in seinen umfangreichen
Arbeiten zur angewandten Mathematik der Verwendung von Dreiecksmatrizen
großes Gewicht verlieh. Dies geschah insbesondere im Rahmen der Regressionsrechnung
mit der „Methode der kleinsten Quadrate“, die heute auch mit seinem
Namen verbunden ist.
11 Alte Aufgabe in neuem Gewand
Übersetzen Sie das im Exkurs gegebene Beispiel aus dem chinesischen Buch in ein
Gleichungsystem und bestimmen Sie die Lösung.
12 Die Tennisballpyramide – Mit Polynom und LGS zur Formel
Tennisbälle werden in der Form eines
gleichseitigen Dreiecks angeordnet,
so dass sich darauf eine Pyramide aufbauen
lässt. Erste Experimente verdeutlichen
den stufenweisen Aufbau
der Pyramiden und die schnell
wachsende Anzahl von benötigten
Tennisbällen.
In der Tabelle ist die notwendige Anzahl von Tennisbällen für die ersten zehn
Aufbaustufen festgehalten. Wie viele Bälle benötigt man für eine Pyramide der
50. Stufe? Passen die Bälle einer Pyramide der 100. Stufe auf einen Kleintransporter?
Die Darstellung der Tabellenwerte in
einem Koordinatensystem (x­Achse:
Stufenzahl, y­Achse: Anzahl der
Bälle) könnten zum Graphen einer
ganzrationalen Funktion passen.
Versuchen Sie, eine Kurvenanpassung
für ein Polynom mit möglichst
niedrigem Grad zu erstellen.
Falls dies gelingt, liefert die Funktionsgleichung
die gesuchte Formel für die
Anzahl benötigter Tennisbälle für eine
n­stufige Pyramide (x = n).