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Elemente der Mathematik 

Sachsen 12 

ClassPad-Materialien 

(Betriebsystemversion 3.04) 

Erstellt von: 

Steffen Einhorn, Jens Spiegelhauer, Peter Weigert 

© 2010 Schroedel / © 2010 CASIO Europe GmbH

EdM 12 Sachsen 

S. Einhorn, J. Spiegelhauer, P. Weigert 

Inhaltsverzeichnis 

1 Integralrechnung ........................................................................................................................ 3 

1.1 Der Begriff des Integrals ............................................................................................................. 3 

1.2 Aus Änderungsraten rekonstruierter Bestand-Integralfunktion ................................................ 7 

1.3 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ..................................................................... 8 

1.4 Integration mit Hilfe von Stammfunktionen .............................................................................. 9 

1.5 Berechnen von Flächeninhalten ................................................................................................. 9 

1.6 Anwendung des Integrals ......................................................................................................... 12 

2 Beurteilende Statistik ............................................................................................................... 14 

2.1 Grundprobleme der Beurteilenden Statistik ............................................................................ 14 

2.1.1 Konfidenzintervalle für die Erfolgswahrscheinlichkeit p .......................................................... 19 

2.1.2 Bestimmung eines genügend großen Stichprobenumfanges .................................................. 20 

2.2 Alternativtest ............................................................................................................................ 21 

2.2.1 Fehler 1. Art und Fehler 2. Art .................................................................................................. 24 

2.2.2 Entscheidungsregel bei vorgegebener Irrtumswahrscheinlichkeit .......................................... 25 

2.3 Signifikanztest ........................................................................................................................... 28 

2.3.1 Operationscharakteristik .......................................................................................................... 29 

3 Abstände und Winkel ............................................................................................................... 31 

3.1 Skalarprodukt und Vektorprodukt ........................................................................................... 31 

3.1.1 Orthogonalität zweier Vektoren-Skalarprodukt ....................................................................... 31 

3.1.2 Winkel zwischen zwei Vektoren ............................................................................................... 34 

3.1.3 Orthogonalität von drei Vektoren Vektorprodukt ................................................................... 35 

3.2 Normalenvektor und Koordinatengleichung einer Ebene ....................................................... 37 

3.3 Von einer Parameterdarstellung zu einer Koordinatengleichung ............................................ 39 

3.4 Untersuchung von Lagebeziehungen mithilfe von Normalenvektoren ................................... 41 

3.5 Abstandsberechnungen ............................................................................................................ 44 

3.5.1 Abstand eines Punktes von einer Ebene .................................................................................. 44 

3.5.2 Die HESSE´sche Normalenform einer Ebene ............................................................................ 45 

3.5.3 Abstand eines Punktes von einer Geraden .............................................................................. 45 

3.5.4 Abstand zueinander windschiefer Geraden ............................................................................. 47 

3.6 Winkel zwischen Ebenen und Geraden .................................................................................... 47 

3.6.1 Winkel zwischen einer Gerade und einer Ebene ...................................................................... 47 

3.6.2 Winkel zwischen zwei Ebenen .................................................................................................. 48 

4 Weitere Anwendungen/Vorbereitung auf das Abitur .............................................................. 49 

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1 Integralrechnung 

1.1 Der Begriff des Integrals 

Die Ermittlung des Integrals einer Funktion f von a nach b ist mit folgenden Möglichkeiten auf dem 

ClassPad realisierbar. 

symbolische Ebene 

Abbildung 1.1 Abbildung 1.2 

graphische Ebene 

Abbildung 1.3 Abbildung 1.4 Abbildung 1.5 

Zeichnen des Graphen 

Auswahl des Verfahrens 

Eingabe der Grenzen 

Kennzeichnung der Fläche 

Ausgabe Näherungswert 

Der Grundgedanke der Ermittlung von Flächeninhalten krummlinig begrenzter Flächen über 

Treppenfiguren und das Bilden der Grenzwerte für Obersummen und Untersummen kann wie im 

folgenden Beispiel realisiert werden. 




Beispiel: 

Zur Erweiterung eines Erholungsgebietes soll durch 

eine Stadt ein privates Grundstück erworben werden. 

Das Grundstück liegt an einem Teich. Der private 

Eigentümer als Verkäufer und die Stadt Chemnitz als 

mögliche Käuferin müssen sich über den Kaufpreis 

einigen. Beide vereinbaren, die Größe des 

Grundstückes zu ermitteln und dabei eine Einteilung in 

Rechtecke vorzunehmen. Der Preis von 28€ pro m² soll 

eingehalten werden. Die Stadt plant Haushaltsmittel in 

Höhe von 90.000 € zum Kauf des Grundstücks ein. 

Reichen diese Mittel aus? 

Diskutieren Sie den Sachverhalt aus Sicht des 

Verkäufers und der Stadt. 

Abbildung 1.6 

Bestimmung der Gleichung der Randfunktion: 

Abbildung 1.7 

Im Weiteren wird die Idee der Einteilung in bekannte Flächen (Rechtecke) aufgegriffen. Beginnend 

mit jeweils zwei Rechtecken wird die Verfeinerung durchgeführt. 





Diese Verfeinerung führt zu einer allgemeinen Breite 

An dieser Stelle ist der Einsatz der Tabellenkalkulation möglich und sinnvoll. 

( Anzahl der Rechteckflächen). 

Abbildung 1.11 

Die Umsetzung dieser Grenzwertbildung kann auch im Hauptmenü des ClassPad realisiert werden. 

Abbildung 1.12 

Daran anknüpfend erfolgt die Umsetzung auf ein beliebiges Intervall . 





Dieser Prozess sollte von den Schülern an 

weiteren einfachen Beispielen selbstständig 

durchgeführt werden. 

Eine abschließende formale Verkürzung wird mit 

dem Einsatz des Summenzeichens realisiert. 

Dies ist als Verallgemeinerungsprozess anhand 

vieler ganzrationaler Funktionen sinnvoll zu 

gestalten. 







Weitere Berechnungen können als Umkehraufgaben (Bestimmung der Grenze bei vorgegebenem 

Integral) sowohl mit und ohne Einsatz des Hilfsmittels gestaltet werden. (siehe EdM SN 12, S. 22) 


1.2 Aus Änderungsraten rekonstruierter Bestand-Integralfunktion 

Der Zusammenhang zwischen Änderungsraten und Bestand kann an 

Beispielen, wie S. 23, untersucht werden: 

Ausgehend von den gemessenen Daten ist es möglich, eine 

Treppenfunktion zu rekonstruieren. 

Die Summe der einzelnen Rechteckflächen ergibt näherungsweise 

den Verbrauch in diesem Intervall. 



Eine Verfeinerung führt wieder zum gemeinsamen Grenzwert von Ober- und Untersumme. 





Der Benzinverbrauch ist die momentane Änderungsrate der Menge 

des verbrauchten Kraftstoffs. 

Indem der Flächeninhalt unter dem Graphen bestimmt wurde, 

schloss man von dieser Änderungsrate auf den gesamten 

Verbrauch. 

Die vorgegebenen Änderungsraten können als Messwerttabellen 

oder Funktionsterme vorgegeben werden oder aus Graphen 

abgelesen werden. 

Beispiel: 


Eine Maus einer bestimmten Art hat zur Geburt eine durchschnittliche Masse 

von . Die Wachstumsrate ist nicht konstant, sondern durch den Term 

( – Zeit in Wochen) gegeben. 

Bestimmen Sie die Zunahme in den ersten 20 Wochen und die Masse der Maus 

nach dieser Zeitdauer. 

Masse nach 20 Wochen = 10g + Zunahme in den 20 Wochen 

Zunahme 112,7g 

Gesamtmasse 122,7g 


1.3 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 

In diesem Kapitel sollte weitgehend hilfsmittelfrei in der graphischen und rechnerischen Ebene 

gearbeitet werden. Zur Unterstützung und zur Kontrolle können die bisher kennengelernten 

Untersuchungsmethoden des ClassPads verwendet werden. 




1.4 Integration mit Hilfe von Stammfunktionen 

Die Bestimmung von Stammfunktionen in der symbolischen Ebene ist im Wesentlichen mit der 

Bestimmung von bestimmten Integralen gleich. 

Der Unterschied besteht nur im Weglassen der Integrationsgrenzen. 

Mit definierten Funktionen kann ebenso gearbeitet werden. 


1.5 Berechnen von Flächeninhalten 

Die Berechnung bestimmter Integrale wird verwendet, um den Inhalt von Funktionsgraphen 

begrenzter Flächen zu ermitteln. Die Anwendung des absoluten Betrages kann dabei sinnvoll sein. 

Das Objekt sollte dabei in verschiedenen Ebenen betrachtet werden (symbolisch, graphisch). Eine 

Definition der Funktion bietet sich vor allem bei komplexeren Termen an. 





Es ist möglich, die betrachtete Fläche zu visualisieren. 

Betrag 


Für Flächen, die ober- und unterhalb der x-Achse liegen, kann man den Inhalt über die 

entsprechenden Teilflächen oder mit Hilfe der Betragsfunktion bestimmen. 






In Aufgaben mit Parametern sollte die symbolische Ebene zur Berechnung und die graphische Ebene 

zur Visualisierung benutzt werden. 

Beispiel: EdM SN 12, S. 43 Nr. 6 






Beispiel: EdM SN 12, S. 45 Nr. 14 h) 


1.6 Anwendung des Integrals 

Die inhaltliche Erweiterung erfolgt in diesem Kapitel im Wesentlichen auf die Bestimmung des 

Volumens von Rotationskörpern und von Bogenlängen. 

Das Volumen von Rotationskörpern kann analog zu der Bestimmung von Flächeninhalten graphisch 

oder mit Hilfe des CAS bestimmt werden. 


© Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 12



In der graphischen Ebene ist es auch hier möglich, die Grenzen als genaue Werte einzugeben. 


Zur Berechnung der Bogenlänge steht im Aktions- bzw. Interaktivmenü die Funktion arclen zur 

Verfügung. In die Parameterliste müssen der Funktionsterm, die Variable, Start und Endwert 

eingegeben werden. 





2 Beurteilende Statistik 

Da im Lernbereich Beurteilende Statistik vorwiegend binomialverteilte Zufallsgrößen betrachtet 

werden, soll noch einmal kurz auf einige wichtige Veränderungen der Version 03.04.4000 

eingegangen werden. Eine wichtige Verbesserung ist die Berechnung der Intervallwahrscheinlichkeit 

in einem Rechenschritt. Dafür wählt man im Menü oder erst den Menüpunkt 

und dann aus. Die Berechnung von P (a ≤ X ≤ b) bei gegebener 

Versuchsanzahl n und vorgegebener Erfolgswahrscheinlichkeit p erfolgt z. B. im Menü 

durch binomialCDf(a,b,n,p). 

Einfacher und selbsterklärend erscheint die Eingabe im Menü . Hier ist a als untere und b 

als obere Intervallgrenze zu verstehen. Weiterhin wird noch die Versuchsanzahl n und unter 

die Erfolgswahrscheinlichkeit p eingegeben. Ein Berechnungsbeispiel wird im Abschnitt 2.1 

angegeben. 


2.1 Grundprobleme der Beurteilenden Statistik 

Im Zusammenhang mit der Wiederholung der Sigma- Regeln wird auf Seite 95 im Lehrbuch die 

Berechnung der Wahrscheinlichkeit P (42 ≤ X ≤ 58) gezeigt. Es handelt sich um einen 100-fachen 

Münzwurf mit n = 100 und p = 0,5. Mit der Version 03.04.4000 verkürzt sich diese Berechnung 

folgendermaßen: 

Abbildung 2.4 

Abbildung 2.5 




Die Eingabe Menü (links) liefert dann das Ergebnis (rechts). Die Werte können auch, wie 

bereits beschrieben, direkt im Menü in der gegebenen Reihenfolge eingegeben werden. 

Beispiel: EdM SN 12, S. 97, Nr. 5 

Lösung: 

Nach Veröffentlichungen des Statistischen Bundesamtes waren 62,9 % der Haushalte 

in Deutschland im Jahre 2008 mit einem DVD- Player ausgestattet. Eine Stichprobe 

vom Umfang 720 wird durchgeführt. In wie vielen Haushalten wird man einen DVD- 

Player vorfinden? Ermitteln Sie Bereiche, in denen diese Anzahl mit einer 

Wahrscheinlichkeit von 90 % [95 %] liegen wird. 

Abbildung 2.6 

m … Erwartungswert μ ; s … Standardabweichung σ 

Bei mindestens 90%iger Sicherheit liegt die Anzahl der DVD- Player in der 1,64σ- Umgebung, bei 

mindestens 95%iger Sicherheit in der 1,94σ-Umgebung von µ. Wenn man die untere Grenze 

abrundet und die obere Grenze aufrundet, kann man davon ausgehen, dass die angegebene 

Wahrscheinlichkeit mindestens erreicht wird. Eine Überprüfung mit dem Befehl ist in 

jedem Fall empfehlenswert. 

Bei einer mindestens 90 %igen Sicherheit erhält man durch Anwendung der im Lehrbuch 

beschriebenen Rundungsregel das Intervall [431; 475]. Die Wahrscheinlichkeit beträgt 91,75%. 

Überprüft man mit , so erkennt man, dass das Intervall in dem Fall auch noch auf 

[432; 474] verkleinert werden kann. Die Wahrscheinlichkeit beträgt dann immerhin noch 90,29%. 

Für den Fall der 95%igen Sicherheit ergibt sich durch Anwendung der Rundungsregel das Intervall 

[427; 479]. Aus der Überprüfung mit dem Befehl ist wiederum ersichtlich, dass das 

Intervall ebenfalls wieder auf [428; 478] verkleinert werden kann. 




Abbildung 2.7 


Veränderung der 

- Umgebung bei wachsendem n 

Ein Würfel soll 500- Mal geworfen werden. Wir machen Prognosen für die 

Entwicklung der relativen Häufigkeiten, bei denen die Augenzahl 1 auftreten wird. 

Bestimmen Sie dazu 1,96 - Umgebungen von p für die Zwischenstände nach 100, 

200, 300, 400 und 500 Würfen. Stellen Sie die Veränderung der Umgebung grafisch 

dar. 

In der Statistik- Anwendung kann man ohne Weiteres eine größere Anzahl von 

Würfen für die grafische Darstellung nutzen. Die Listen können folgendermaßen 

angelegt werden: 

list1 list2 list3 list4 list5 

n p - 1,96 p + 1,96 

seq(x, x, 25, 

500, 25) 

(n*1/6*5/6)^0. 

5 

/n 1/6 – 1,96*list3 1/6 + 1,96*list3 

Sollen die Listen umbezeichnet werden, muss dies vor dem Eintragen der Werte 

erfolgen. Es ist zu überlegen, ob dies stets notwendig ist. 

Zum Ausfüllen der 1. Spalte kann man den Befehl 

nutzen und diesen 

in der Berechnungszeile einfügen. 

Die grafische Darstellung wurde im Beispiel folgendermaßen realisiert: 

Die Werte p - 1,96 

wurden als Statistik- Graph 1 eingestellt. 





Durch die Einstellung als Typ werden auch nur isolierte Punkte gezeichnet. Stellt man als 

Typ ein, so werden die Punkte verbunden. 


Die Werte p + 1,96 wurden als Statistik- Graph 2 eingestellt. Sollen beide Graphen gezeichnet 

werden, so muss auch bei beiden Statistik- Graphen ein Haken gesetzt werden. 

Abbildung 2.12 Abbildung 2.13 Abbildung 2.14 





Partei 18.00 Uhr- 

Prognose 

Wahlergebnis 

Bei den sogenannten 

Wahltagsbefragungen werden Wähler 

nach Verlassen des Wahllokales befragt. 

Das Ergebnis einer solchen Stichprobe 

wird um 18.00 Uhr im Fernsehen als 

CDU 

SPD 

FDP 

Grüne 

PDS 

43,0 % 

9,5 % 

6,0 % 

5,0 % 

22,5 % 

41,1 % 

9,8 % 

5,9 % 

5,1 % 

23,6 % 

erste Prognose gesendet. Überprüfen Sie die Qualität der Befragungsergebnisse zur 

Landtagswahl in Sachsen 2007. Befragt wurden 22107 Wähler. 

Auch dieser Aufgabentyp lässt sich recht schnell in der Statistik- Anwendung lösen. 

Die Qualität der Befragungsergebnisse zu überprüfen heißt, zu untersuchen, ob es 

signifikante oder gar hochsignifikante Abweichungen gibt. Liegen die Abweichungen 

des Ergebnisses von µ bzw. von p außerhalb der 1,96 σ bzw. 1,96 

– Umgebung, so 

spricht man von signifikanten Abweichungen. Beim Faktor 2,58 spricht man von 

hochsignifikanten Abweichungen. Die Listen können folgendermaßen angelegt 

werden: 

Liste 1: p Wahlergebnis p 

Liste 2: Erwartungswert 22107*p 

Liste 3: Standardabweichung ( * (1 – p))^0.5 

Liste 4: u untere Grenze der signif. Abw. p – 1.96* / 22107 

Liste 5: o obere Grenze der signif. Abw. p + 1.96* / 22107 

Liste 6: uh untere Grenze der hochsignif. Abw. p – 2.58* / 22107 

Liste 7: oh obere Grenze der hochsignif. Abw. p + 2.58* / 22107 





Um entscheiden zu können, ob das Ergebnis der 18.00 Uhr- Prognose außerhalb eines dieser 

Intervalle liegt, könnte man die Tabelle auch noch um eine weitere Differenzbildung erweitern. Man 

sieht aber auch so bereits, dass es nur in der 1. Zeile (CDU) und in der 5. Zeile (PDS) zu signifikanten 

(sogar hochsignifikanten) Abweichungen kommt. 

2.1.1 Konfidenzintervalle für die Erfolgswahrscheinlichkeit p 

Bei der Berechnung eines Konfidenzintervalles schließt man von einem Stichprobenergebnis X auf 

Werte von p, mit denen das Stichprobenergebnis verträglich ist. Die Intervallgrenzen pmin und pmax 

ergeben sich für ein Konfidenzniveau von 0,95 aus den Lösungen der Gleichungen: 

(1) bzw. 

(2) 

Mit CAS lassen sich diese Gleichungen in der Hauptanwendung lösen. 

Beispiel: EdM SN 12, S. 105, Nr. 2b 

In einer Umfrage unter 1000 zufällig ausgesuchten Personen vertraten 620 die 

Meinung, dass sie bei der nächsten Wahl eine andere Partei als bei der letzten Wahl 

wählen werden. Welches ist die kleinste bzw. größte Erfolgswahrscheinlichkeit, in 

deren 1,96σ- Umgebung von μ das Stichprobenergebnis liegt? 


Als Intervallgrenzen ergeben sich für ein 95%- Konfidenzintervall: p min = 58,95 % und p max = 64,96 %. 




2.1.2 Bestimmung eines genügend großen Stichprobenumfanges 


Bei Befragungen über die Ausstattung von Haushalten will man die Ergebnisse auf 

3 Prozentpunkte genau bestimmen. Von einer Pilotstudie weiß man, dass ungefähr 

40 % der zu untersuchenden Haushalte mit einem Wäschetrockner ausgestattet sind. 

Ermitteln Sie den Stichprobenumfang n, der für eine erneute Befragung notwendig 

ist. 


Für eine Betrachtung von 95% der Stichproben wird im Lehrbuch folgende Formel 

hergeleitet: 

. Für p = 0,4 ergibt sich die Ungleichung: 

. Diese lässt sich in der Hauptanwendung lösen. 

Aus n 

folgt, dass mindestens 1025 Befragungen notwendig sind. Der 

Sachverhalt lässt sich auch anschaulich in der Grafik- Anwendung darstellen. Bei 

einer Stückzahl von 1024 ergibt sich als Funktionswert der Funktion 

Die Differenz zwischen den Funktionswerten von y 2 und y 1 ist also noch etwas größer 

als 3%. Bei einem Stichprobenumfang von 1025 liegt diese Differenz (0,4299916 – 0,4 

= 0,0299916) unter 3%. 






Beispiel: 

EdM SN 12, S. 108, Nr. 3a 

Welche Auswirkung hat es auf den notwendigen Stichprobenumfang n, wenn der 

Anteil p in der Gesamtheit nicht bekannt ist? Stellen Sie den Zusammenhang n = n(p) 

in einem Koordinatensystem dar. 

Die Gleichung zur Berechnung von n wird in der Einführungsaufgabe im Lehrbuch 

Seite 107 hergeleitet. Diese Gleichung kann in der Haupt- Anwendung nach n 

umgestellt und evtl. noch vereinfacht werden. Die Funktion n = n(p) kann somit in 

der Grafik- Anwendung dargestellt werden. Ist p nicht bekannt, muss die maximale 

Anzahl n = 1068 angenommen werden. 

2.2 Alternativtest 

Beispiel: EdM SN 12, S. 109, Einführungsbeispiel 

Viele Menschen leiden unter Bluthochdruck. Die auf dem Markt vorhandenen Arzneimittel helfen bei 

etwa 60% der Patienten. Ein Pharmavertreter besucht einen Arzt und stellt ihm ein neues, bereits 

zugelassenes Medikament vor, welches bei 80% der Patienten erfolgreich war. Der Arzt möchte nun 




prüfen, ob er der Aussage vertrauen kann. Er testet dieses Medikament an 20 Patienten und wählt 

p 0 = 0,8 als Nullhypothese. 

Die grafischen Darstellungen auf Seite 109 und 110 lassen sich mit dem Class Pad folgendermaßen 

realisieren: In der Statistik- Anwendung wählt man im Menü den Menüpunkt 

und stellt als Verteilungstyp ein. Unter gibt man einen möglichen Wert der 

Zufallsgröße ein (z.B. 12), unter den Stichprobenumfang 20 und unter die zugehörige 

Erfolgswahrscheinlichkeit 0,8. Für die Anzeige des Graphen der Wahrscheinlichkeitsfunktion drückt 

man !. In dieser Darstellung ist es auch möglich zu jedem Wert der Zufallsgröße die zugehörige 

Wahrscheinlichkeit anzeigen zu lassen. Man drückt in der Symbolleiste N und nutzt dann 

entsprechend die Cursor- Tasten. In der Abbildung ist P (X = 15) 0,1746 dargestellt. 



Die Darstellung der Wahrscheinlichkeit 

in der Abbildung im Lehrbuch auf Seite 

110 kann man dem Schüler mit dem Class Pad auf verschiedene Arten anschaulich verdeutlichen. 

Eine Möglichkeit besteht darin, sich die einzelnen Wahrscheinlichkeiten 

als Höhen von 

Säulen anzeigen zu lassen und diese Werte entsprechend zu summieren. Diese grafischen 




Darstellungen können Schülern helfen, ein tieferes Verständnis für Wahrscheinlichkeitsfunktionen zu 

erlangen. Den Schülern wird anschaulich klar, dass die Summe aller Längen (Säulenhöhen) 1 bzw. 

100% ergeben muss. Eine weitere Möglichkeit bietet die Darstellung der kumulativen 

Verteilungsfunktion. Dazu stellt man jetzt als Verteilungstyp ein. In der Abbildung 

wird die Wahrscheinlichkeit P(X 14) 0,1958 angezeigt. 


Die Darstellung der Fehlerwahrscheinlichkeiten und aus dem Einführungsbeispiel 

(n = 20; p0 = 0,8) kann in der Statistik-Anwendung erfolgen (siehe Aufgabe: EdM SN 12, S. 112, Nr. 1). 

Nach der Bezeichnung der Listen lässt sich die Eintragung der Werte über folgende Befehle 

realisieren: In die Berechnungszeile der jeweiligen Liste erfolgen die Eingaben: 

Liste 1: seq(x,x,0,20,1); 

Liste 2: 1- binomialCDf(0,k,20,0.6) 

Liste 3: binomialCDf(0,k,20,0.8) 

In Liste 3 ist der Fehler 1. Art 

dargestellt: 

= (0 X k). 

Für k = 15 ergibt sich: 

0,3703. 


In Liste 2 ist der Fehler 2. Art dargestellt: 

= (k < X 20) =1 - (0 X k).Für k = 15 ergibt sich 0,0509. 





Eine Möglichkeit der Simulation bietet das Urnenmodell. Man gibt in die Urne 8 

weiße Kugeln (A) und 2 schwarze Kugeln (B). Wird eine weiße Kugel gezogen, so zeigt 

das Medikament die gewünschte Wirkung. Insgesamt werden 20 Kugeln mit 

Zurücklegen () gezogen. Um 100 Versuchsdurchführungen zu 

realisieren, müssten z. B. bei 20 Schülern jeder 5 solche Versuche durchführen. 


2.2.1 Fehler 1. Art und Fehler 2. Art 

Beispiel: EdM SN 12, S. 114, Nr.13b 

In einem Spielautomaten dreht sich ein Glücksrad mit 20 Sektoren, von denen nur einer sichtbar ist, 

wenn die Scheibe stehen bleibt. Die übrigen sind verdeckt. Der Betreiber des Automaten behauptet, 

dass 6 der 20 Felder rot gefärbt sind. Wenn die Scheibe auf einem roten Feld stehen bleibt, hat man 

gewonnen. Jana und Max argwöhnen, dass nur 4 Felder Gewinnfelder sind. Wegen Geldmangels 

können sie nur 20 Spiele durchführen, um beide Hypothesen p 1 = = 0,3 bzw. p 2 = = 0,2 zu 

überprüfen. Bestimmen Sie und zur Entscheidungsregel: Verwirf die Hypothese p 2 = 0,2, falls die 

Scheibe mehr als 4-mal auf einem roten Feld stehen bleibt. 

Die Berechnung des Fehlers 1. Art erfolgt durch 

. Für Schüler ist es günstig, den 

Ansatz in Anlehnung an die Rechnereingabe (abgeschlossenes Intervall) zu formulieren: 

. Die Niederschrift eines Ansatzes sollte stets unabhängig vom verwendeten 

Taschenrechner erfolgen (keine „Taschenrechnersprache“). Analoges gilt auch für den Fehler zweiter 

Art: . 




Lösung: 

0,370 

0,238 


2.2.2 Entscheidungsregel bei vorgegebener Irrtumswahrscheinlichkeit 

Beispiel : EdM SN 12, S. 115, Einführungsaufgabe 1 

Der Bekanntheitsgrad eines Schokoriegels unter Jugendlichen beträgt nach 

Einschätzung der Geschäftsführung der Herstellerfirma 50%, nach Meinung der 

Marketingabteilung nur 30%. Durch eine Stichprobe vom Umfang 100 will man 

herausfinden, ob eine Werbekampagne notwendig ist. Dabei sollte die 

Wahrscheinlichkeit α für einen Fehler 1.Art höchstens 10% sein. Welche 

Entscheidungsregel muss dann (1) aus Sicht der Werbeabteilung und (2) aus Sicht der 

Geschäftsführung aufgestellt werden? Bestimmen Sie auch jeweils die 

Wahrscheinlichkeit β für einen Fehler 2. Art. 

Aus der Sicht der Marketingabteilung (1) ergibt sich p = 0,3 als Nullhypothese. Der kritische Wert k 

lässt sich näherungsweise mit dem Befehl invBinomialCDf ermitteln. Ein Fehler 1. Art entsteht in 

diesem Fall, wenn 30% der Jugendlichen den Riegel kennen, aber auf Grund der Stichprobe 

angenommen wird, dass 50% der Jugendlichen diesen Riegel kennen. Der Fehler 1. Art darf 

höchstens 10% betragen, d.h. mit höchstens 10% liegt die Anzahl der Jugendlichen im 

Ablehnungsbereich der Nullhypothese. Man sucht jetzt mit dem Rechner eine obere Intervallgrenze 

für den Annahmebereich der Nullhypothese, so dass die Anzahl mit ca. 90 % darin liegt. Da der Befehl 

invBinomialCDf die Wahrscheinlichkeiten bis zum gesuchten Wert aufsummiert 

(0 X k) , muss unter die Wahrscheinlichkeit 0,9 eingegeben werden. 






Als eine mögliche obere Grenze wurde 36 ermittelt. Dieser Wert sollte stets mit dem Befehl 

binomialCDf überprüft werden. 





Aus 

folgt: 

. 

Da 0,1 gelten soll, ergibt sich folgende 

Lösung: 

0,0799. 

0,1161 (entfällt) 


Als Annahmebereich für die Hypothese p = 0,3 ergibt sich mit der Forderung α 0,1: A = {0; … ; 36}. 

Die Entscheidungsregel lautet: Verwirf die Hypothese p = 3%, falls mehr als 36 Jugendliche den Riegel 

kennen. 

Den Fehler 2.Art berechnet 

man durch: 

0,0033 



Die Rechnung aus der Sicht der Geschäftsleitung (2) läuft analog ab. Da für die Nullhypothese jetzt 

die größere der beiden Wahrscheinlichkeiten (50%) angenommen wird, tritt ein Fehler 1. Art genau 

dann auf, wenn das Stichprobenergebnis klein ist und im Ablehnungsbereich der Nullhypothese liegt. 

Da der Befehl invBinomialCDf die Wahrscheinlichkeiten bis zum gesuchten Wert aufsummiert, muss 

unter jetzt die Wahrscheinlichkeit 0,1 eingegeben werden. 




0,0967 

0,0021 


Eine weitere Möglichkeit der Bestimmung des kritischen Wertes k bietet die Grafik- Anwendung. 

Dazu gibt man als Funktion den Befehl binomialCDf(k,n,p) bzw. binomialCDf(0,k,n,p) ein. Da es 

um die Ermittlung des Wertes k geht, wird k durch x ersetzt. 

Für das Beispiel aus der Marketingabteilung (1) wird folgende Eingabe notwendig: 

binomialCDf(x,100,0,3) oder binomialCDf(0,x,100,0,3.) Die Anzeige der Tabelle erfolgt durch 

#, die Einstellung () durch 8 in der Symbolleiste. 


Als Argument werden jeweils obere Grenzen des Intervalls angegeben. Die Funktionswerte y 1 geben 

die zugehörige Intervallwahrscheinlichkeit an. Für 36 als obere Grenze ist die Wahrscheinlichkeit 

erstmalig über 90 % und damit der Fehler 1. Art in der Aufgabe (1) kleiner als 10 %. 

In der Grafik- Anwendung müssen zwar mehrere Einstellungen vorgenommen werden, dafür werden 

aber auch gleichzeitig zu verschiedenen Grenzen die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten angezeigt. 

Eine weitere Überprüfung ist bei dieser Berechnung nicht notwendig. 

2.3 Signifikanztest 

Die Vorgehensweise bei Signifikanztests unterscheidet sich nicht wesentlich von der bei 

Alternativtests. 




Beispiel: EdM SN 12, S. 121, Nr.6a Zweiseitiger Signifikanztest 

Bestimmen Sie Annahme- und Verwerfungsbereich der Hypothese p = 0,3 für einen 

Stichprobenumfang n = 180 und eine Irrtumswahrscheinlichkeit von . 

Mit dem Befehl invbinomialCDf(0.025,100,0.3) berechnet man die untere Grenze k 1 : 

; mit invbinomialCDf(0.975,100,0.3) berechnet man die obere 

Grenze k 2 : 

Beim Wert 42 zeigt sich in der Überprüfung, dass 

die Wahrscheinlichkeit noch größer als 2,5% ist. 

Demzufolge liegt 42 nicht mehr im 

Verwerfungsbereich, sondern im 

Annahmebereich. Der angegebene Wert 66 liegt 

ebenfalls nicht im Verwerfungsbereich. Als 

Annahmebereich ergibt sich A = {42; … ; 66}. 


2.3.1 Operationscharakteristik 

Beispiel : EdM SN 12, S. 124, Information (2) und S. 123, Nr. 1 

Der Graph der Funktion, bei der jeder in Frage kommenden Erfolgswahrscheinlichkeit 

p1 die Wahrscheinlichkeit β für einen Fehler 2. Art zuordnet, heißt 

Operationscharakteristik eines Tests (OC): 


Die Darstellung der Operationscharakteristik im 

Lehrbuch auf Seite 124 lässt sich mit dem Class 

Pad folgendermaßen darstellen: 

Im Beispiel ist n = 120, p = 0,75 und 5%. Als 

Annahmebereich ergab sich A = {81; … ; 99). Die 

Kontrollrechnung im Lehrbuch ergab 

P (81 X 99) 0,9556. Zur Darstellung des 

Graphen verwendet man den Befehl 

binomialCDf aus dem Katalog. Zur Anzeige der 

Tabelle drückt man #.Die Einstellung der 

Tabelle erfolgt unter 8. 




In der Tabelle wird der Wahrscheinlichkeit 

p = 0,67 ein Fehler 2. Art mit 49,66 % 

zugeordnet. 


Beispiel: 

EdM SN 12, S. 132, Nr. 10 und S. 126, Einführungsaufgabe 

In der Einführungsaufgabe geht man davon aus, dass 11% der Mädchen einer 

gewissen Altersstufe Linkshänder sind. Es wurde folgende Entscheidungsregel 

aufgestellt: Verwirf die Hypothese p 0,11, falls die Anzahl der Linkshänderinnen 

unter den n = 1000 Mädchen der Stichprobe kleiner als 94 ist. 

a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit β für einen Fehler 2. Art, falls der Anteil der 

Linkshänderinnen tatsächlich gleich p = 0,10 [p = 0,09; p = 0,08] ist. 

b) Bestimmen Sie für weitere Werte von p die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art 

und skizzieren Sie den Graphen der Operationscharakteristik des Tests. 

OC: 


In der Statistik- Anwendung kann man β in 

Abhängigkeit von p anzeigen lassen. Dazu gibt 

man in die erste Liste die Wahrscheinlichkeiten 

(p) ein. Zur schnellen Eingabe kann man den 

Befehl seq(x,x,0.05,0.11,0.005) nutzen. In der 

zweiten Spalte werden die zugehörigen Fehler 2. 

Art berechnet: binomialCDf(94,1000,1000,p). 

Für p=0,10 ergibt sich β=0,751.Die Darstellung 

des Graphen der Operationscharakteristik erfolgt 

wieder in der Grafik- Anwendung. Das Zeichnen 

des Graphen kann aber mehrere (!) Minuten 

dauern. Unter und 

wurde für p = 0,1 der zugehörige Fehler 2. Art 

mit 0,751 berechnet. 




3 Abstände und Winkel 

In Vorbereitung auf das folgende Kapitel werden Grundlagen aus Klasse 11 wiederholt und um einige 

Neuerungen ergänzt. Für die Angabe der Koordinaten von Punkten werden wieder Großbuchstaben 

(z.B. verwendet, handelt es sich um Ortsvektoren, schreiben wir z.B. und für sonstige 

Richtungsvektoren Kleinbuchstaben (z.B. ). Alle Operationen und Befehle, bei denen mit Vektoren 

gearbeitet wird, findet man in der Main-Anwendung unter Aktion oder Interaktiv im Untermenü 

Vektor oder man ruft sie aus dem Katalog auf. 

3.1 Skalarprodukt und Vektorprodukt 

3.1.1 Orthogonalität zweier Vektoren-Skalarprodukt 

Betrachten wir zunächst das Einführungsbeispiel auf S. 150. Dort sind die Punkte 

und gegeben und es ist mit Hilfe der Umkehrung des Satzes von 

Pythagoras zu prüfen, ob diese ein rechtwinkliges Dreieck aufspannen. Zunächst bildet man die 

Richtungsvektoren und und bestimmt deren Länge. Man erhält 

mit Hilfe des norm-Befehls die Werte und . Somit kommt nur 

die letztgenannte Seite als mögliche Hypotenuse infrage und man prüft, ob 

gilt. Hier bestätigt sich die Vermutung , somit ist das Dreieck rechtwinklig. 

Mit dem ClassPad lässt sich unsere Überlegung wie folgt darstellen: 

Abbildung 3.1 

Nun kann man versuchen, diese Überlegung zu verallgemeinern. Da der Satz des Pythagoras in beide 

Richtungen gilt, lässt sich mit dem Rechner die folgende Herleitung realisieren. Man definiert zwei 

allgemeine Vektoren und , die die beiden möglichen Katheten des Dreiecks beschreiben sollen. 

Der Vektor der potenziellen Hypotenuse lässt sich als Differenz ausdrücken. Somit ist zu 

prüfen, ob 

gilt. Damit die weitere Herleitung zu den gewünschten Ausdrücken 

führt, müssen im Grundformat die Häkchen bei den Komplexen Zahlen und beim Assistenten 

entfernt werden. Mit einem kleinen Trick lassen sich die Terme noch weiter vereinfachen. Man 

schreibt statt die Zeile und kann so mit dem 

simplify-Befehl gleiche Ausdrücke zusammenfassen lassen. Da nun gilt , 

hat man mit Hilfe des ClassPad ermittelt, dass für orthogonale Vektoren 




gelten muss. In der Klammer steht dann das Skalarprodukt der beiden Vektoren und , das für den 

Fall orthogonaler Vektoren gleich Null ist. Somit wäre das Skalarprodukt aus einer praktischen 

Aufgabe heraus mit dem Taschenrechner motiviert und die Orthogonalitätsbedingung hergeleitet. 


Für das Skalarprodukt selbst bietet der Taschenrechner einen Befehl, der sich logisch aus der 

üblichen Schreibweise ableiten lässt. dotP kann frei mit „Punkt-Produkt“ übersetzt werden. Punkt 

wird hier mit dem üblichen Kringel gleichgesetzt. 

Beispiel: EdM SN 12, S.154, Nr.6a 

(zur Veranschaulichung sind hier sowohl die Variante mit vordefinierten Vektoren als 

auch die direkte Eingabe in den Befehl dargestellt) 

Die gegebenen Vektoren und stehen also senkrecht 

aufeinander. 

Abbildung 3.4 

Aufgabe 11 auf S. 154 ist aus didaktischer Sicht wichtig. Die zeitliche Aufspaltung der analytischen 

Geometrie auf zwei Schuljahre und die unterschiedliche inhaltliche Schwerpunktsetzung kann dazu 

führen, das Schnittwinkel mithilfe von Vektoren ermittelt werden, ohne zu überprüfen, ob sich die 

Geraden, um die es eigentlich geht, überhaupt schneiden. 

Beispiel: 

EdM SN 12, S.154, Nr.11a 

Man kann die Geradengleichungen wie dargestellt eingeben. Diese Form der Eingabe 

hat den Vorteil, dass man sowohl vektoriell arbeiten kann, als auch auf die einzelnen 

Koordinaten der Geradenpunkte zurückgreifen kann. Man hat also die Gleichungen 




für das LGS zur Untersuchung der Lagebeziehung parat, ohne weitere Definitionen im 

ClassPad vornehmen zu müssen. Der Variablen wird eine , also eine 

einspaltige Matrix zugeordnet. Ein Element dieser Matrix, z.B. die y-Komponente, 

wird durch aufgerufen. Da das Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen 

auf ein überbestimmtes Gleichungssystem führt, wird die Dummy-Variable 

verwendet. Man erkennt im Beispiel, dass es eine eindeutige Lösung mit und 

gibt. Setzt man diese Werte in die jeweilige Gleichung ein, so erhält man den 

Schnittpunkt der beiden Geraden mit . Nun kann man auch den 

Schnittwinkel mit dem Skalarprodukt ermitteln. 


Aufgaben, bei denen zu vorgegebenen Vektoren orthogonale Vektoren gesucht sind, lassen sich 

ebenfalls recht einfach lösen, wenn man konsequent die Orthogonalitätsbedingung nutzt und den 

ClassPad einsetzt. 

Beispiel: 

EdM SN 12, S.155, Nr.14 

a) Es ist zunächst ein zu den beiden gegebenen Vektoren und 

orthogonaler Vektor 

gesucht. Damit müssen die Skalarprodukte 

und 

erfüllen. Dies führt auf ein unterbestimmtes LGS mit zwei 

Gleichungen und drei Variablen und . Man löst das LGS nach zwei der drei 

Variablen auf. Es ist klar, dass hier unendlich viele Vektoren existieren, da keine 

Aussage über ihre Länge und Orientierung gemacht wird. 




Für die Angabe eines ganz konkreten Vektors mit den 

gesuchten Eigenschaften gibt man sich einen Wert für 

vor 

und erhält z.B. für den Vektor . Jeder 

weitere Vektor lässt sich in der Form 

schreiben. 

b) Hier sind zwei Vektoren gesucht, so dass diese mit dem gegebenen Vektor paarweise 

orthogonal sind. Insgesamt stecken in den gesuchten Vektoren zunächst 6 Variablen. 

Allerdings entstehen auch drei Gleichungen und somit ein unterbestimmtes LGS, bei 

dem 3 Variablen als Parameter aufgefasst werden können. Der Lösungsweg folgt 

dann den Überlegungen aus Aufgabe a). 

3.1.2 Winkel zwischen zwei Vektoren 

Für beliebige Dreiecke gilt der Satz des Pythagoras i.A. nicht, hier muss man den Kosinussatz 

anwenden, der sich aber vom Satz des Pythagoras nur wenig unterscheidet, so dass man einige 

Schritte der Herleitung aus dem vorigen Kapitel übernehmen kann. So blieb nach dem Vereinfachen 

von der Gleichung nur noch übrig. Formt man 

den Kosinussatz in vektorieller Form 

um in die Gestalt 

und ersetzt die linke Seite durch 

, so erhält man und somit 

werden. 

Abbildung 3.8 

. Die übliche Form kann im ClassPad genauso verarbeitet 

Da das Skalarprodukt auch negativ sein kann, liefert die Formel auch Winkel zwischen 

. Welcher der beiden Winkel berechnet wird, hängt davon ab, wie die zuvor 

bestimmten Vektoren gerichtet sind. Beide Winkel ergeben zusammen aber stets . Um wie in 

Aufgabe 4b) auf S. 157 stets den kleineren Winkel zu berechnen, muss das Skalarprodukt positiv sein. 

Hier kann es aber bei der Eingabe in den ClassPad zu einem Fehler kommen, der aus der 

unterschiedlichen Bedeutung der Betragsstriche in der Formel resultiert. Mit dem Betrag eines 

Vektors meint man eigentlich seine Euklidsche Norm, dagegen ist der Betrag des Skalarproduktes nur 

ein vorzeichenfreier Skalar. Die Beträge im Nenner müssen also mit dem Befehl norm() realisiert 

werden. In der nachfolgenden Abbildung wurden beide Winkel ermittelt. In einfachen Aufgaben kann 

die notwendige Rechnung auch nachträglich ausgeführt werden, bei der Erstellung von e-activities 

sollte das aber im Vorfeld berücksichtigt werden. 





Ein Programm für diese recht häufig benötigte Rechnung zu schreiben, wäre etwas aufwändig. 

Stattdessen könnte man eine e-activity (vgl.Abbildung 3.10) schreiben, in der exakt die gleichen 

Zeilen wie in Abbildung 3.10 einzutragen sind. Für Berechnungen ändert man dann nur die Werte in 

den Vektoren. Eine solche e-activity lässt sich auch leichter modifizieren und ergänzen. Gerade in der 

analytischen Geometrie lohnt es sich, eine Sammlung von e-activities zu erstellen, die einen Ersatz 

für die bisher verwendeten Programme darstellen und dabei mehr Mathematik vom Schüler fordern. 

3.1.3 Orthogonalität von drei Vektoren Vektorprodukt 

Um das Vektorprodukt zu motivieren greifen wir auf S. 160 Aufgabe 1 die Problemstellung von oben 

auf, in der zu zwei Vektoren ein weiterer, zu diesen orthogonale Vektor gesucht ist. Wie oben schon 

erkannt, gelangt man dabei zu einem Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. 

Lösen wir dieses zunächst allgemein nach und auf, so erhalten wir mit den vordefinierten 

Vektoren den folgenden Screen. Da aber frei gewählt werden kann, können wir eine 

Neuberechnung der Lösung mit vornehmen. Damit wird zunächst die Struktur der Lösung 

deutlich. Wir erhalten . Im allgemeinen Fall erhält man . Der 

Leistungskurs sollte erkennen, dass für 

die Nenner verschwinden. Somit wäre auch 

ein Vektor, der die gewünschte Eigenschaft besitzt. 




Abbildung 3.11 Abbildung 3.12 

Ähnlich wie beim Skalarprodukt kann auch hier argumentiert werden, dass diese Rechnung eine 

grundlegende Problemstellung abdeckt und somit eine eigenständige Definition als Produkt 

rechtfertigt. Da das Ergebnis wieder ein Vektor ist, erscheint auch die Bezeichnung „Vektorprodukt“ 

sinnvoll. Das gilt auch für die Bezeichnung „Kreuzprodukt“ wegen der üblichen Schreibweise des 

Operationszeichens. Letztere Überlegung war wohl auch Namenspatron für den Befehl 

crossP(Vektor1,Vektor2). 

Beispiel: EdM SN 12, S.163 Nr. 7a) 

Gegeben sind die Vektoren und . 

Zu berechnen ist das Vektorprodukt aus und . 


Die Aufgabe S.163 Nr.11 lässt sich zum diskutieren nutzen. Berechnet man die Innenwinkel des 

Vierecks ausschließlich mit Hilfe der Vektorrechnung, so wird ihre Summe nicht, wie erwartet 

ergeben. Somit kann es sich nicht um ein ebenes Viereck handeln und es kann auch nicht durch den 

Schnitt einer Ebene mit dem Würfel entstanden sein. 

In den Aufgaben S. 162/162 Nr.3-5 werden grundlegende Flächen-und Volumenberechnungen 

betrachtet. Auch dort muss wieder darauf geachtet werden, ob die Betragsstriche die Euklidsche 

Norm eines Vektors beschreiben oder den Betrag einer Zahl im engeren Sinn. Dazu muss sich der 




Schüler den Charakter der Zwischenergebnisse verdeutlichen. So liefert z.B. in Aufgabe 3 das 

Vektorprodukt wieder einen Vektor, so dass mit dem Befehl norm() gearbeitet werden muss. 

Bekanntlich kann das Spatprodukt auch mithilfe von Determinanten ausgedrückt werden, deren 

Spalten aus den beteiligten Vektoren gebildet werden. Da Determinanten auch negative Werte 

liefern können, muss für Volumenberechnungen wieder deren Betrag verwendet werden. Im 

ClassPad stellen sich die Formeln wie folgt dar. 


Bis hierhin wurden alle wichtigen Befehle eingeführt. Für die weitere Arbeit ist es nun wichtig, diese 

Befehle geschickt und effektiv zu kombinieren, in e-activities einzubauen oder mit 

Gleichungssystemen zu verknüpfen. Dieses Vorgehen erlaubt es, auf die Verwendung von 

Programmen zu verzichten, ohne Zeit für langwierige Rechnungen per Hand zu verschwenden aber 

gleichzeitig mathematisches Verständnis für die Verfahren zu erzeugen. 

3.2 Normalenvektor und Koordinatengleichung einer Ebene 

Bei der Vorbereitung der Normalenform einer Ebene kann man sich an EdM S.164 Aufgabe 1 

orientieren. Zunächst stellt man mit Hilfe der Punkte und eine Parameterform der Ebene auf. 

Da jeder Normalenvektor einer Ebene per Definition senkrecht auf ihr steht, steht dieser 

insbesondere senkrecht auf den beiden Spannvektoren der Ebene. Bereits vor der Berechnung eines 

Normalenvektors sollte auf die Anzahl möglicher Vektoren eingegangen werden. So stellt man 

heraus, dass alle möglichen Normalenvektoren parallel zueinander sind, aber beliebige Richtung und 

beliebigen Richtungssinn haben. Somit existieren für eine Ebene unendlich viele solcher Vektoren. 

Diese Erkenntnis hilft anschließend bei der Interpretation der Lösung des LGS. Dieses Vorgehen wird 

im nächsten Kapitel noch einmal aus einem anderen Blickwinkel aufgegriffen. 

Beispiel: 

Man definiert in der Mainanwendung die Ortsvektoren der drei Punkte und 

entscheidet, welche Vektoren die Ebene aufspannen sollen. In der Abbildung 

betrachtet man die Vektoren und . Diese müssen aber nicht separat definiert 

werden. Den gesuchten Normalenvektor legt man mit drei Parametern mit 




fest. muss sowohl als auch erfüllen. Das 

zugehörige lineare Gleichungssystem lässt sich wieder mit der Lösungsklammer 

auflösen. Anschließend kann man der Einfachheit halber den freien Parameter gleich 

Eins setzen. Mit dem ClassPad erhält man die folgenden Ausdrücke: 


Diese Rechnung kann auch für leistungsstarke Schüler eine Anregung für die 

Erstellung einer entsprechenden e-activity sein. 

Mit diesem Vorwissen wird klar, dass jeder Vektor vom Aufpunkt zu einem beliebigen Punkt der 

Ebene senkrecht auf steht und gilt. 

Beispiel: EdM SN 12, S.165 Beispiel aus Information (2) 

Zu der Ebene mit dem Punkt und dem Normalenvektor . Man 

definiert den Punkt und den Normalenvektor in der Main-Anwendung und berechnet 

das Skalarprodukt aus der Normalenform der Ebene. Es empfiehlt sich, zusätzlich den 

simplify-Befehl einzusetzen, um die übliche Darstellung der Koordinatenform zu 

erhalten. 





Anhand der Aufgabe S.167 Nr. 11a) sei hier noch der Rechnereinsatz bei der Arbeit mit der 

Achsenabschnittsform beschrieben. Als erstes sollen die Koordinaten der Spurpunkte der Ebene 

bestimmt werden. 

Wir ordnen zunächst die vollständige Ebenengleichung der Variablen zu. Für den Spurpunkt gilt 

. Da die Ebene als vollständige Gleichung definiert wurde, lösen wir diese unter den 

Bedingungen nach auf und ordnen dieses dem Punkt zu. Der Punkt kann als Zeilenvektor 

aufgefasst werden. Benötigt man aber zusätzlich noch dessen Ortsvektor, so transponiert man den 

Zeilenvektor mit dem Befehl trn(vektor) in einen Spaltenvektor. Sicherlich ist dieses Vorgehen hier 

etwas übertrieben, zeigt aber Möglichkeiten für die vollständige Dokumentation einer Hausaufgabe 

mit dem Rechner. Für die Herstellung der Achsenabschnittsform teilt man nur durch das 

Absolutglied und ordnet das Resultat entweder wieder oder einer neuen Variablen zu. 

Mit dem Befehl expand() wird die allgemein 

übliche Form hergestellt, wie in 

Abbildung 3.22 zu erkennen ist. Ein 

Vergleich dieser Schreibweise mit den 

Koordinaten der Spurpunkte kann die 

besonderen Eigenschaften der 

Achsenabschnittsform motivieren. 


3.3 Von einer Parameterdarstellung zu einer Koordinatengleichung 

Im letzten Kapitel haben wir gesehen, wie man mit Hilfe eines LGS einen Normalenvektor zu einer 

Ebene ermitteln kann. Um einen Normalenvektor zu ermitteln, kann man aber auch die Eigenschaft 

des Vektorproduktes nutzen, dass der so erzeugte Vektor orthogonal auf den beiden 

Ausgangsvektoren steht. 

Beispiel: EdM SN 12, S.169 Aufgabe 1 

Gegeben ist eine Parameterdarstellung einer Ebene mit 

. Bestimmen Sie einen Normalenvektor der 

Ebene . Geben Sie eine Koordinatengleichung von an. 

Mit den Überlegungen aus den vorigen Abschnitten lässt sich die Aufgabe mit dem 

Taschenrechner sehr kompakt lösen. Mit 

lässt sich die Normalenform der 

Ebene schreiben als 

. In der nachfolgenden Abbildung 

wurden die Spannvektoren und der Ortsvektor des Aufpunktes der Ebene definiert 

und anschließend die Gleichung direkt eingegeben. Zur besseren Lesbarkeit des 

Ergebnisses wurde noch der simplify-Befehl angewandt. Man erhält dabei folgendes: 






Für den direkten Vergleich seien hier noch die beiden anderen Verfahren dargestellt: 

1) Bestimmung des Normalenvektors über ein Gleichungssystem 

Dazu muss allerdings der Normalenvektor mit den drei Parametern vorher definiert werden, 

da die Lösungsklammer die direkte Eingabe von Vektoren nicht erlaubt. 

2) Bestimmung der Koordinatengleichung mit Hilfe der Orthogonalitätsbedingung 

Mit Hilfe der Determinante aus den Spannvektoren der Ebene und dem Verbindungsvektor 

vom Aufpunkt zu einem beliebigen Punkt der Ebene ist die Umwandlung der Parameterform 

in die Koordinatenform besonders elegant zu lösen. Da alle drei Vektoren in der Ebene liegen 

und die Spannvektoren linear unabhängig sein müssen, muss die Determinante gleich Null 

sein. In der aktuellen Version des Betriebssystems müssen die drei Vektoren zur Berechnung 

der Determinante mit dem augment-Befehl zu einer Matrix verbunden werden. 





In der weiterführenden Aufgabe 2 soll eine Ebenengleichung aus der Koordinatenform in die 

Parameterform umgewandelt werden. Neben der Verwendung dreier Punkte der Ebene zur 

Bestimmung der beiden Richtungsvektoren kann man die Koordinatengleichung als 

Gleichungssystem mit einer Gleichung und drei Variablen auffassen. Da hierbei zwei der Variablen 

frei gewählt werden können, setzen wir und . Fügen wir diese beiden Gleichungen zur 

Ebenengleichung hinzu, erhalten wir ein Gleichungssystem, dass auch mit dem Taschenrechner 

allgemein gelöst werden kann. 

Beispiel: 

EdM SN 12, S. 169 Beispiel 

Die Lösung des Gleichungssystems wird direkt in den Ortsvektor eines 

variablen Punktes eingefügt und als Ebene abgelegt. Somit steht diese 

für weitere Berechnungen mit den bekannten Möglichkeiten sofort zur 

Verfügung. 


3.4 Untersuchung von Lagebeziehungen mithilfe von Normalenvektoren 

Um das folgende Vorgehen zur Untersuchung der Lage zweier Ebenen relativ zueinander mit dem 

ClassPad zu verstehen, soll zunächst der mathematische Hintergrund etwas näher beleuchtet 

werden. 

Betrachtet man die Koordinatenformen zweier Ebenen 

und 

F 

, so gilt: 

1) Ist und , so liegen die Ebenen parallel zueinander und der 

Quotient aus beiden Gleichungen liefert stets eine falsche Aussage. Der Taschenrechner 

findet dabei keine Lösung. 

2) Ist und , so sind die beiden Ebenen identisch und wir 

formulieren kurz . Da der Taschenrechner beide Seiten unserer Ebenengleichungen 

einzeln betrachtet, liefert der Quotient der beiden Gleichungen zusammen mit dem simpilfy- 

Befehl eine stets wahre Aussage (nämlich den Wert für α). 




3) Ist so schneiden sich die beiden Ebenen und erzeugen eine Schnittgerade. 

In diesem Fall lässt sich unser Quotient nicht weiter vereinfachen und stellt sich als 

Bruchgleichung dar. 

Natürlich lässt sich dieses Verfahren nur dann anwenden, wenn keines der Absolutglieder Null ist. 

Wenden wir unsere Idee auf die Beispiele aus EdM SN 12, S. 174 oben an. 

1) Zwei zueinander parallele Ebenen, die nicht identisch sind (Abbildung 3.29) 

; 

2) Zwei identische Ebenen (Abbildung 3.30) 

; 

3) Zwei sich schneidende Ebenen (Abbildung 3.31) 

; 


Dieses Vorgehen eignet sich besonders, wenn nur die Art der Lagebeziehung gesucht ist, ohne nach 

speziellen Schnittmengen zu fragen. 

Eine weitere Möglichkeit, die im Falle eines Schnittes auch gleich die Gleichung der Schnittgeraden 

liefert, ist das Lösen des überbestimmten Gleichungssystems mit den beiden 

Koordinatengleichungen. Da nur zwei Gleichungen aber drei Variable vorliegen, kann wieder eine 

freigewählt werden. Hier ist . Mit den bereits genannten Beispielen erhält man: 





Bei den parallelen Ebenen in Abbildung 3.32 ist das Ergebnis klar. In Abbildung 3.33 kann man zwei 

Variablen frei wählen, so dass die Schnittmenge wieder eine Ebene ist. Hier kann man eine der 

beiden Ebenengleichungen als Lösung angeben. In Abbildung 3.34 kann nur ein Parameter frei 

gewählt werden. Man erhält den Ortsvektor eines variablen Geradenpunktes. Diesen ordnen wir 

sofort einer Variablen zu, die unsere Schnittgeraden beschreibt. 

Die beschriebenen Verfahren lassen sich auch auf allgemeine und komplexe Fragestellungen 

anwenden. 

Beispiel: 

EdM SN12, S.176 Nr.15 

Beschreiben Sie die Lage zweier Ebenen zueinander, für deren 

Koordinatengleichungen gilt: 

und 

mit . Treffen Sie Aussagen zur 

Lösbarkeit des zugehörigen Gleichungssystems. 

Zunächst erkennt man, dass für keine echte Ebene mehr 

darstellt (falls , entartet das dann zum 3-D-Raum, sonst handelt 

es sich um die leere Menge). Deshalb kann man mit weiter 

arbeiten. Für ist der Ausdruck zwar nicht definiert, aber man 

erhält die gleichen Resultate wie für . Somit ist dann: 

: für sind die beiden Ebenen für jedes identisch. 

Das zugehörige Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen mit 

zwei frei wählbaren Parametern. 


: für liegen die Ebenen parallel zueinander. Das zugehörige 

Gleichungssystem hat keine Lösung 




3.5 Abstandsberechnungen 

3.5.1 Abstand eines Punktes von einer Ebene 

Im folgenden wird demonstriert, wie man die Einstiegsaufgabe zur Berechnung des Abstandes Punkt- 

Ebene vollständig mit dem ClassPad lösen kann. 

Beispiel: 

EdM SN 12, S.177 Aufgabe 1b 

, 

In Abbildung 3.36 werden zunächst der Normalenvektor der Ebene, die Ebene selbst, 

der Punkt (eigentlich dessen Ortsvektor) sowie die zur Ebene orthogonal durch 

verlaufende Gerade definiert. Die beiden letzten Befehle in Abbildung 3.37 

entsprechen dem Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung, die 

sofort nach dem Parameter aufgelöst wird. Zum Schluss wird noch die Länge des 

Verbindungsvektors Punkt-Ebene unter Verwendung des ermittelten 

Parameterwertes berechnet. 





3.5.2 Die HESSE´sche Normalenform einer Ebene 

Beispiel: EdM SN 12, S. 180 Einführungsbeispiel 

, 

Wie im Beispiel oben werden zunächst alle benötigten Objekte definiert. Die 

Koordinatengleichung der Ebene wird nicht benötigt, lediglich deren Absolutglied. 

Die Abstandsformel 

kann nun in genau dieser Form in den 

Rechner eingegeben werden. 


3.5.3 Abstand eines Punktes von einer Geraden 

Die Berechnung des Abstandes eines Punktes von einer Geraden sei hier auf zwei Wegen 

beschrieben. Zum einen soll die Berechnung unter Verwendung elementargeometrischen 

Überlegungen verknüpft mit Elementen der analytischen Geometrie erfolgen. Anschließend fassen 

wir die Aufgabe als Extremwertaufgabe auf und lösen sie im Wesentlichen mit Mitteln der Analysis. 

Betrachten wir für beide Fälle das Beispiel auf S. 183, Aufgabe 1. „…an welcher Stelle des Kurses 

ist die Entfernung zur Spitze des Turmes 

am 

geringsten?...“ 

Bekanntermaßen gilt für den von zwei Vektoren und eingeschlossenen Winkel die Beziehung 

. Weiterhin wissen wir, dass der Verbindungsvektor des Punktes zum 

Lotfußpunkt senkrecht auf der Geraden steht. Mit als Aufpunkt der Geraden gilt die 

elementargeometrische Beziehung 

. Verknüpft man beide Beziehungen, so erhält man 

mit 

Abstand auf, so erhält man 

als Richtungsvektor der Geraden. Löst man diese Beziehung nach dem 

. Diese Beziehung erlaubt eine direkte Berechnung des 

Abstandes ohne zuvor den Lotfußpunkt zu ermitteln. 

Mit dem ClassPad lässt sich das folgendermaßen umsetzen: 





Man beachte, dass die beim „normalen“ Schreiben üblichen Beträge wieder durch den Befehl norm() 

realisiert werden müssen. 

Als kleine Variation dieses Verfahrens wäre auch noch die Lösung eines Gleichungssystems 

bestehend aus den beiden beschriebenen Bedingungen möglich. 

Fassen wir nun die gleiche Aufgabe als ein Extremwertproblem auf. Dazu definieren wir zunächst die 

Geradengleichung in der oben beschriebenen Form, ebenso den Ortsvektor des Punktes . Bildet 

man den Vektor vom Punkt zu einem beliebigen Geradenpunkt, so ist dessen Länge noch vom Wert 

des Parameters aus der Geradengleichung abhängig. Nun fassen wir diesen variablen Abstand als 

Funktion auf und ermitteln mit dem fMin()-Befehl den minimalen Abstand. Zusätzlich erhalten wir 

den zugehörigen Parameterwert, bei dem der Abstand minimal wird, sodass wir in einem letzten 

Schritt noch den Lotfußpunkt bestimmen können. Wir erhalten die folgenden Screens: 


Wir erhalten, dass der minimale Abstand des Punktes von der Geraden beträgt und der 

zugehörige Lotfußpunkt bei erreicht wird und die Koordinaten besitzt. 




3.5.4 Abstand zueinander windschiefer Geraden 

Im Folgenden ermitteln wir den Abstand zweier windschiefer Geraden mit Hilfe des auf S.189, 

Aufgabe 2 beschriebenen alternativen Lösungsweges. Nachteil dieses Verfahrens ist allerdings, dass 

die beiden Lotfußpunkte nicht mit berechnet werden. 

Gegeben sind zwei windschiefe Geraden und durch und 

. Wir stellen nun die Gleichung einer Ebenen auf, die die Gerade enthält 

und parallel zur Geraden verläuft. Indirekt erhalten wir damit einen Vektor, der auf beiden 

Geraden senkrecht steht, wenn wir die Normalenform der Ebene herstellen. Dadurch haben wir das 

ursprüngliche Problem auf die Berechnung des Abstandes eines Punktes von einer Ebenen reduziert. 

Für den noch fehlenden Punkt verwenden wir am einfachsten den Aufpunkt der Geraden . Jedoch 

ist hier Vorsicht geboten, da man leicht den Aufpunkt der falschen Geraden einsetzen kann, so dass 

der Abstand gleich Null ist. Im Taschenrechner kann man das so umsetzen: 

Zunächst wird hier die Koordinatenform der 

Ebene hergestellt. Anschließend bildet man 

eine Hilfsgerade durch den Aufpunkt von mit 

dem Normalenvektor der Ebene. Man ermittelt 

nun den Parameter der Geraden so, dass der 

entstehende Punkt in der Ebenen liegt. Zum 

Schluss wird noch der Abstand des Aufpunktes 

von vom ermittelten Punkt bestimmt. Der 

gesuchte Abstand beträgt . 


Grundsätzlich lassen sich diese Abstandsprobleme mit Hilfe der inzwischen zahlreichen e-activities 

lösen. Man sollte diese aber vorher ausgiebig testen, da bei einigen Versionen Zwischenergebnisse 

manuell einzugeben sind. Dies ist insbesondere bei der e-activity „Vektorrechnung“ der Fall. 

3.6 Winkel zwischen Ebenen und Geraden 

In den folgenden beiden Abschnitten werden Winkelberechnungen angesprochen. Da bis hier alle 

notwendigen Vorgehensweisen besprochen wurden, soll hier nur jeweils ein Beispiel ohne weitere 

Herleitung demonstriert werden. 

3.6.1 Winkel zwischen einer Gerade und einer Ebene 

Beispiel: EdM SN 12, S.192 Nr. 3a) 

, 




Lösung: 

Achtung! Man sollte unbedingt das Gradmaß einstellen. 

Die Gerade schließt mit der Ebene einen Winkel von 

ein. Bei dieser Rechnung wird stets der kleinere der beiden 

möglichen Winkel ermittelt. Der andere Winkel ergibt sich mit 

. 


3.6.2 Winkel zwischen zwei Ebenen 

Für die Berechnung des Schnittwinkels zweier Ebenen sollte im Vorfeld bei beiden Ebenen die 

Koordinatenform hergestellt werden. (prinzipiell genügen auch die beiden Normalenvektoren). 

Ebenso wie beim Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene wird auch hier stets nur der kleinere der 

beiden Winkel bestimmt. Sollte für die Lösung eines praktischen Problems ein stumpfer Winkel 

benötigt werden, so lässt sich dieser wieder durch Ergänzung des spitzen Winkels zu ermitteln. 

Beispiel: 

EdM SN 12, S. 195 Nr.1a) 

Lösung: 

Man erhält für den Schnittwinkel . 





4 Weitere Anwendungen/Vorbereitung auf das Abitur 

Die in diesem Kapitel behandelten Inhalte wurden in früheren Abschnitten mit angesprochen, sodass 

hier keine weiteren Ergänzungen notwendig sind.

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