EdM 12 Sachsen Class Pad Materialien - im Mathematik-Portal für ...

EdM 12 Sachsen
S. Einhorn, J. Spiegelhauer, P. Weigert
Für die Angabe eines ganz konkreten Vektors mit den
gesuchten Eigenschaften gibt man sich einen Wert für
vor
und erhält z.B. für den Vektor . Jeder
weitere Vektor lässt sich in der Form
schreiben.
b) Hier sind zwei Vektoren gesucht, so dass diese mit dem gegebenen Vektor paarweise
orthogonal sind. Insgesamt stecken in den gesuchten Vektoren zunächst 6 Variablen.
Allerdings entstehen auch drei Gleichungen und somit ein unterbestimmtes LGS, bei
dem 3 Variablen als Parameter aufgefasst werden können. Der Lösungsweg folgt
dann den Überlegungen aus Aufgabe a).
3.1.2 Winkel zwischen zwei Vektoren
Für beliebige Dreiecke gilt der Satz des Pythagoras i.A. nicht, hier muss man den Kosinussatz
anwenden, der sich aber vom Satz des Pythagoras nur wenig unterscheidet, so dass man einige
Schritte der Herleitung aus dem vorigen Kapitel übernehmen kann. So blieb nach dem Vereinfachen
von der Gleichung nur noch übrig. Formt man
den Kosinussatz in vektorieller Form
um in die Gestalt
und ersetzt die linke Seite durch
, so erhält man und somit
werden.
Abbildung 3.8
. Die übliche Form kann im ClassPad genauso verarbeitet
Da das Skalarprodukt auch negativ sein kann, liefert die Formel auch Winkel zwischen
. Welcher der beiden Winkel berechnet wird, hängt davon ab, wie die zuvor
bestimmten Vektoren gerichtet sind. Beide Winkel ergeben zusammen aber stets . Um wie in
Aufgabe 4b) auf S. 157 stets den kleineren Winkel zu berechnen, muss das Skalarprodukt positiv sein.
Hier kann es aber bei der Eingabe in den ClassPad zu einem Fehler kommen, der aus der
unterschiedlichen Bedeutung der Betragsstriche in der Formel resultiert. Mit dem Betrag eines
Vektors meint man eigentlich seine Euklidsche Norm, dagegen ist der Betrag des Skalarproduktes nur
ein vorzeichenfreier Skalar. Die Beträge im Nenner müssen also mit dem Befehl norm() realisiert
werden. In der nachfolgenden Abbildung wurden beide Winkel ermittelt. In einfachen Aufgaben kann
die notwendige Rechnung auch nachträglich ausgeführt werden, bei der Erstellung von e-activities
sollte das aber im Vorfeld berücksichtigt werden.
© Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 34