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EdM 12 Sachsen S. Einhorn, J. Spiegelhauer, P. Weigert 3.5 Abstandsberechnungen 3.5.1 Abstand eines Punktes von einer Ebene Im folgenden wird demonstriert, wie man die Einstiegsaufgabe zur Berechnung des Abstandes Punkt- Ebene vollständig mit dem ClassPad lösen kann. Beispiel: EdM SN 12, S.177 Aufgabe 1b , In Abbildung 3.36 werden zunächst der Normalenvektor der Ebene, die Ebene selbst, der Punkt (eigentlich dessen Ortsvektor) sowie die zur Ebene orthogonal durch verlaufende Gerade definiert. Die beiden letzten Befehle in Abbildung 3.37 entsprechen dem Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung, die sofort nach dem Parameter aufgelöst wird. Zum Schluss wird noch die Länge des Verbindungsvektors Punkt-Ebene unter Verwendung des ermittelten Parameterwertes berechnet. Abbildung 3.36 Abbildung 3.37 © Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 44
EdM 12 Sachsen S. Einhorn, J. Spiegelhauer, P. Weigert 3.5.2 Die HESSE´sche Normalenform einer Ebene Beispiel: EdM SN 12, S. 180 Einführungsbeispiel , Wie im Beispiel oben werden zunächst alle benötigten Objekte definiert. Die Koordinatengleichung der Ebene wird nicht benötigt, lediglich deren Absolutglied. Die Abstandsformel kann nun in genau dieser Form in den Rechner eingegeben werden. Abbildung 3.38 Abbildung 3.39 3.5.3 Abstand eines Punktes von einer Geraden Die Berechnung des Abstandes eines Punktes von einer Geraden sei hier auf zwei Wegen beschrieben. Zum einen soll die Berechnung unter Verwendung elementargeometrischen Überlegungen verknüpft mit Elementen der analytischen Geometrie erfolgen. Anschließend fassen wir die Aufgabe als Extremwertaufgabe auf und lösen sie im Wesentlichen mit Mitteln der Analysis. Betrachten wir für beide Fälle das Beispiel auf S. 183, Aufgabe 1. „…an welcher Stelle des Kurses ist die Entfernung zur Spitze des Turmes am geringsten?...“ Bekanntermaßen gilt für den von zwei Vektoren und eingeschlossenen Winkel die Beziehung . Weiterhin wissen wir, dass der Verbindungsvektor des Punktes zum Lotfußpunkt senkrecht auf der Geraden steht. Mit als Aufpunkt der Geraden gilt die elementargeometrische Beziehung . Verknüpft man beide Beziehungen, so erhält man mit Abstand auf, so erhält man als Richtungsvektor der Geraden. Löst man diese Beziehung nach dem . Diese Beziehung erlaubt eine direkte Berechnung des Abstandes ohne zuvor den Lotfußpunkt zu ermitteln. Mit dem ClassPad lässt sich das folgendermaßen umsetzen: © Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 45
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