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EdM 12 Sachsen S. Einhorn, J. Spiegelhauer, P. Weigert fest. muss sowohl als auch erfüllen. Das zugehörige lineare Gleichungssystem lässt sich wieder mit der Lösungsklammer auflösen. Anschließend kann man der Einfachheit halber den freien Parameter gleich Eins setzen. Mit dem ClassPad erhält man die folgenden Ausdrücke: Abbildung 3.17 Abbildung 3.18 Diese Rechnung kann auch für leistungsstarke Schüler eine Anregung für die Erstellung einer entsprechenden e-activity sein. Mit diesem Vorwissen wird klar, dass jeder Vektor vom Aufpunkt zu einem beliebigen Punkt der Ebene senkrecht auf steht und gilt. Beispiel: EdM SN 12, S.165 Beispiel aus Information (2) Zu der Ebene mit dem Punkt und dem Normalenvektor . Man definiert den Punkt und den Normalenvektor in der Main-Anwendung und berechnet das Skalarprodukt aus der Normalenform der Ebene. Es empfiehlt sich, zusätzlich den simplify-Befehl einzusetzen, um die übliche Darstellung der Koordinatenform zu erhalten. Abbildung 3.19 Abbildung 3.20 © Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 38
EdM 12 Sachsen S. Einhorn, J. Spiegelhauer, P. Weigert Anhand der Aufgabe S.167 Nr. 11a) sei hier noch der Rechnereinsatz bei der Arbeit mit der Achsenabschnittsform beschrieben. Als erstes sollen die Koordinaten der Spurpunkte der Ebene bestimmt werden. Wir ordnen zunächst die vollständige Ebenengleichung der Variablen zu. Für den Spurpunkt gilt . Da die Ebene als vollständige Gleichung definiert wurde, lösen wir diese unter den Bedingungen nach auf und ordnen dieses dem Punkt zu. Der Punkt kann als Zeilenvektor aufgefasst werden. Benötigt man aber zusätzlich noch dessen Ortsvektor, so transponiert man den Zeilenvektor mit dem Befehl trn(vektor) in einen Spaltenvektor. Sicherlich ist dieses Vorgehen hier etwas übertrieben, zeigt aber Möglichkeiten für die vollständige Dokumentation einer Hausaufgabe mit dem Rechner. Für die Herstellung der Achsenabschnittsform teilt man nur durch das Absolutglied und ordnet das Resultat entweder wieder oder einer neuen Variablen zu. Mit dem Befehl expand() wird die allgemein übliche Form hergestellt, wie in Abbildung 3.22 zu erkennen ist. Ein Vergleich dieser Schreibweise mit den Koordinaten der Spurpunkte kann die besonderen Eigenschaften der Achsenabschnittsform motivieren. Abbildung 3.21 Abbildung 3.22 3.3 Von einer Parameterdarstellung zu einer Koordinatengleichung Im letzten Kapitel haben wir gesehen, wie man mit Hilfe eines LGS einen Normalenvektor zu einer Ebene ermitteln kann. Um einen Normalenvektor zu ermitteln, kann man aber auch die Eigenschaft des Vektorproduktes nutzen, dass der so erzeugte Vektor orthogonal auf den beiden Ausgangsvektoren steht. Beispiel: EdM SN 12, S.169 Aufgabe 1 Gegeben ist eine Parameterdarstellung einer Ebene mit . Bestimmen Sie einen Normalenvektor der Ebene . Geben Sie eine Koordinatengleichung von an. Mit den Überlegungen aus den vorigen Abschnitten lässt sich die Aufgabe mit dem Taschenrechner sehr kompakt lösen. Mit lässt sich die Normalenform der Ebene schreiben als . In der nachfolgenden Abbildung wurden die Spannvektoren und der Ortsvektor des Aufpunktes der Ebene definiert und anschließend die Gleichung direkt eingegeben. Zur besseren Lesbarkeit des Ergebnisses wurde noch der simplify-Befehl angewandt. Man erhält dabei folgendes: © Schroedel / CASIO Europe GmbH 2010 Seite 39
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