6, 0 cm M - Staatliche Realschule Schesslitz

RAUMGEOMETRIE
1
A 3 V= ⋅ VKugel+ VZylinder+ VKegel
2
1 4 3 2 1 2
V= ⋅ ⋅MB ⋅π+ MB ⋅π⋅ AB+ ⋅NP ⋅π⋅ SN
2 3 3
MB
tan∢ BSM =
MS
NP MS−MN =
MB MS
6,0cm
MS =
⎛50° ⎞
tan ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
⎛1 4 1
⎞
V= ⎜ ⋅ ⋅6,0 ⋅π+ 6,0 ⋅π⋅ 1,4+ ⋅5,3 ⋅π⋅11,5⎟cm
⎝2 3 3
⎠
3
V= 949,0cm
MS= 12,9cm
11,5
NP = ⋅ 6,0cm NP= 5,3cm
12,9
3 2 2 3
Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere
Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der Punkte
bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind
Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird, entsprechend
ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten.
Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung der Lösungsvorlage zu
Verzerrungen der Zeichnungen führen kann.
5
5
19
L2
K2
K3
K5

Aufgabe A 3 Haupttermin
A 3 Stehaufmännchen
Seite - 4 -
Die nebenstehende Skizze zeigt den
Axialschnitt des Grundkörpers eines
Stehaufmännchens.
MS ist die Symmetrieachse.
Es gilt: MB= 6,0cm ; r = MB= MC ;
Es gilt: AB= 1,4cm ; ∢ BSC= 50°
.
Berechnen Sie das Volumen V des
Grundkörpers. Runden Sie auf eine
Stelle nach dem Komma.
B
S
A P N
M
r
Q D
C
5 P

A
an den ealschulen in Bayern
2009
M II A A - 3
RAUMGEOMETRIE
L B
1
= M + M + A − + ⋅
A 1 Werkstck Kegel ylinder gr er Kreis kleiner Kreis Kugel
¢rkstck
sin∢ B
tan∢ B =
=
AB
0,56 ⋅ ,0cm
AB = AB= 4 ,0cm
sin °
¡
1,5cm
=
tan40°
A ,5cm
=
BC= 0,0cm − ,5cm
BC = ,5cm
⎛ 1 ⎞
= π⋅ 1,5 ⋅ ,0+ ⋅π⋅ 1,5 ⋅ ,5+ 1,5 ⋅π−15,0
⎜ ⋅π+ ⋅4⋅π⋅15,0 ⎟cm
⎝ ⎠
¢rkstck = 15105,6cm
¢rkstck = 1,51056m
ch ähle die kleinere Farbdose, da die Angaben auf den Dosen nur Schätzwerte
sind und sonst viel Farbe übrig bleiben würde.
Oder:
Ich wähle die größere Farbdose, da der berechnete Oberflächeninhalt etwas mehr
als 1,5 m 2 ist.
5
L2
K2
K3
K5
L2
£

A 2.3 inzeichnen des Dreiecks A 2
2 2 2
2
°
A = AB + B − 2AB ⋅ ⋅B⋅cos∢ BA
2BA 0;9 ° ∢
2 2 2 2
7 + 7 −5
277 ⋅ ⋅
2 2 2
∢ 2 =
2 ∢
cos BA
A 2.4 Konstruktion des Dreiecks A 3
BA = 41, °
Wenn das rechtwinklige Dreieck A 3 gleichschenklig wäre, würde gelten:
AC3 = BC3.
Wegen
¨KTIO¨¨
A 3.1
2 2 2
AB = AC + BC müsste dann gelten:
3 3
Das Dreieck ABC3 ist nicht gleichschenklig.
2 2 2
7 = 5 + 5 (f)
x 0 1 2 4 6 8 10
x
600⋅ 0,85 600 510 434 313 226 163 118
Zeichnung im Maßstab 1:2
A 3.2 y= 400 x = 2,5 (im Rahmen der Ablesegenauigkeit) Um 12:30 Uhr.
A 3.3 85% entsprechen 600 €
100% entsprechen 706 €
r
Zu Beginn des Börsenhandelstages um 9 Uhr beträgt der Wert der Aktie 706 €.
Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere
Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der
Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere
sind Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird,
entsprechend ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten.
Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung der Lösungsvorlage zu
Verzerrungen der Zeichnungen führen kann.
3
2
2
1
2
19
L3
¥¦
L2
K5
L3
¥¦
L3
¥§
L¦
K5
L¦
¥¦
L¦
¥¦
L§
K5
K6

A
an den Realschulen in Bayern
2009
M II A B
©KTIO
B 1.1 a = 1
und (3| 4) p :
P( 1|4) p
2
4 = ( − 1) + b( ⋅− 1) + c
L B
− = + +
IL(b|c) ( 1
4
2
3 b3 ⋅ c
b,c IR
b=−4 c=− 1
= −4| −
p:
2
y= x −4x− 1
IR IR
D
A
D
A
C
B
C
B
4
L4
K5
L4
K4

- 2 -
B 1.2 Einzeichnen der Parallelogramme A1B1C1D1 und A2B2C2D2
B 1.3
2
B(0,5|0,5 1 40,5 1)
− ⋅ − B(0,5| 1 2,75) −
A(0,5 1 4| 2,75 4)
− − + A( 1 3,5|1,25) −
B 1.4 A= BC n n⋅ d(A n;BC) n n
1
5
2
A(x) = x+ 3 − (x −4x−1) ⋅4FE
2
A(x) = ( − 4x + 16, x+ 16)FE
; x IR
−0, x 5
; x IR
2
− 4x + 16, x+ 16 = 40
−0, x 5
− + − =
2
4x 16, x 24 0
D 0 nter den Parallelogrammen AnBnCnDn gibt es kein Parallelogramm
D 0 mit dem Flächeninhalt 40 FE.
[0 ;180 [\{90 }
° ° °
B 1.5 tan mAnBn
m
= 135°
AnBn y − y
=
x − x
Bn An
Bn An
Die Geraden BnCn verlaufen senkrecht zur x-Achse:
mAnB=− 1
n
∢ CBA n n n = 135°− 90°
∢ n n n
BC 3 3 AB 3 3
B 1.6 =
sin∢BAC sin∢ACB 3 3 3 3 3 3
2 2
AB 3 3 = ( − 4) + 4 LE
3 3
CBA = 45°
AB = 5,66LE
∢ ACB 3 3 3=
180 °− (45°+ 30 ° )
∢ 3 3 3
BC 5,66LE
=
sin30 sin105
3 3
3 3
° °
ACB = 105°
BC = 2,93LE
Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere
Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der
Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere
sind Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird,
entsprechend ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten.
Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung der Lösungsvorlage zu
Verzerrungen der Zeichnungen führen kann.
2
2
4
2
3
17
L3
K4
L4
K2
K5
L4
K2
K5
L4
K5
L4
K2
K5
L2
K2
K5

A
an den Realschulen in Bayern
2009
M II A B 2
RAUMGEOMETRIE
B 2.1 BC= 2⋅
B 2.2
BC= 12cm
L B
2 2
B = 10 − 8 cm
B = 6cm
chrägbild im Maßstab 1:2
S
A
Q
P
2 2
MS= 10 + 8 cm MS= 12,81cm
10cm
tan 51,34 = ° ]0 ;90 [ ° °
8cm
B 2.3 Einzeichnen des Punktes F
= + −
2
AF
2
MF
2
AM 2MF ⋅ ⋅AM cos
MF= 12,81cm− 7cm
MF= 5,81cm
2 2
AF= 5,81 + 8 −25,81 ⋅ ⋅8cos51,34 ⋅ ° cm
AF= 6,30cm
sinsin = ]0 ;90 [ ° °
MF AF
= 46,07°
B
M
C
3
2
4
L2
K5
L3
K4
L2
K5
L3
K4
L2
K2
K5

B 2.4 Einzeichnen des Trapezes Q1BCR1
- 2 -
QR n n(x)
(8−x)cm = 0 x 8 ; x IR
12cm 8cm
QR n n(x)
= (12− 1,5x)cm
B 2.5 Einzeichnen der Pyramide Q1BCR1F und ihrer Höhe [FH]
B 2.6
1 1
V= ⋅ ⋅ QR n n + BC ⋅MPn ⋅ FH
3 2
FH
sin51,34°=
FH = 4,54cm
5,81cm
1 1
V(x) (12 1,5x 12) x 4,54cm
3 2
3
= ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ 0 x 8
2 3
V(x) = ( − 1,14x + 18,16x)cm
1 1
VPyramideABCS = ⋅ ⋅812 ⋅ ⋅ 10cm
3 2
V 0,25 160cm
3
; x IR
V = 160cm
PyramideABCS
3
PyramideQBCR 2 2F=
⋅ PyramideQBCR 2 2F
V = 40cm
; x IR
2
− 1,14x + 18,16x = 40
0 x 8
...
= IL {2,64}
x 2,64 ( x 13,29)
=
Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere
Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der
Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere
sind Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird,
entsprechend ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten.
Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung der Lösungsvorlage zu
Verzerrungen der Zeichnungen führen kann.
3
3
2
3
3
17
L3
K4
L4
K2
K5
L3
K4
L4
K2
K5
L4
K2
K5

aue A l rüfung
nuten an den Realschulen in Bayern
2009
Mathematik II Nachtermin Aufgabe A 1
Name:
Klasse:
Platzziffer:
Vorname:
A 1 Die nebenstehende kizze zeigt den Axialschnitt
eines erkst cks.
AM ist die Symmetrieachse.
Es gilt:
AM = 0,0cm ; C = 6 ,0cm ; MD= 15,0cm ;
∢ BAG = ° ; r = MD= ME .
Die gesamte berfläche des Werkstücks soll mit
Farbe gestrichen werden. Es sind zwei verschieden
große Farbdosen vorhanden. Die größere Farbdose
reicht laut Angabe für ca. 3,75 m 2 , die kleinere für
ca. 1,5 m 2 .
Punkte:
Berechnen Sie den Oberflächeninhalt des Werkstücks und begründen Sie mithilfe
Ihres Ergebnisses, für welche Farbdose Sie sich entscheiden.
[Teilergebnis: BC 32,5cm
= ] 5 P
A
M
r
D
C
B

Abschlussprüfung 2008
an den Realschulen in Bayern
Mathematik II Haupttermin Aufgaben P 1 - 3
RAUMGEOMETRIE
P 1 V= VZylinder+ Vgroßer Kegel− Vkleiner
Kegel
Lösungsmuster und Bewertung
GS
tanS SAG =
GS= 3,5tan40 ⋅ ° mm GS= 2,9mm
AG
KS BE
=
GS AF
4,0
KS= ⋅ 2,9mm
KS= 1,7mm
7,0
⎡
V= ⎢2,0 ⎣
1
⋅π⋅(10,0 −(2,9− 1,7)) + ⋅3,5 3
1
⋅π⋅2,9− ⋅2,0 3
⎤
⋅π⋅1,7⎥
mm
⎦
3
V= 140,7mm
EBENE GEOMETRIE
2 2 2 3
5
L2
K2
K3
K5

Prüfungsdauer: Abschlussprüfung 2008
150 Minuten an den Realschulen in Bayern
R4/R6
Mathematik II Haupttermin Aufgabe P 1
Name:_________________________________
Klasse:______________
Platzziffer:_______________
P 1 Auf Schraubenpackungen findet man die
Angaben über den Schraubendurchmesser
und die Schraubenlänge in Millimeter
(z. B. 4× 10 ).
Die nebenstehende Skizze zeigt den
Axialschnitt eines Schraubenrohlings.
GH ist die Symmetrieachse.
Es gilt: AF= 7,0mm ; CD= 4,0mm ;
GH= 10,0mm ; S BAF= 40°
.
Berechnen Sie das Volumen V des
Schraubenrohlings. Runden Sie auf eine
Stelle nach dem Komma.
[Teilergebnis: KS= 1,7mm ]
Vorname:______________________________
A
B
Punkte:________________
G
K
S
E
C D
H
F
5 P

3.1
D C
F
A
H 1
E
S
Zeichnen des Fünfecks ABCSD
4cm
tan ϕ =
3cm
ϕ = 53,13° ϕ ∈]0° ; 90°[
SC = 3 ² + 4²
cm SC = 5 cm 3
P 1
B

-4-
3.2 Vgesamt = VKegel + VZylinder
π
Vgesamt = · 4² · 3 cm³ + π · 4² · 3 cm³
3
Vgesamt = 64 π cm³
3.3 Einzeichnen der Strecke [EP1] und der Strecke [P1H1]
PnH n ( x)
( 5 − x)
cm
=
4cm
5cm
n n
x < 5 ; x ∈ %∀
H P (x) = (4 – 0,8x) cm
π
V = · P nH n ² · ( EH n + H nS
)
3
mit S H EH n + n = ES
π
V(x) = · (4 – 0,8x)² · 6 cm³
3
V(x) = 2 π · (0,64x² - 6,4x + 16) cm³ 5
3.4
28
2 π · (0,64x² - 6,4x + 16) cm³ = · 64 π cm³
100
⇔ 0,64x² - 6,4x + 7,04 = 0
x < 5 ; x ∈ %
⇔ x = 1,26 ( ∨ x = 8,74) # = { 1,26 }
Hinweis: Bei einigen Aufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere
Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Gesamtpunktzahl
bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht überschritten werden.
2
4
14
47

3..0 Das Rechteck ABCD hat die Seitenlängen AB = 8 cm und BC = 3 cm. Der Punkt E ist
der Mittelpunkt der Seite [AB], der Punkt F ist der Mittelpunkt der Seite [DC]. Die Seite
[DC] ist die Basis des gleichschenkligen Dreiecks DCS mit der Höhe FS = 3 cm. Das
Rechteck ABCD und das Dreieck DCS bilden zusammen das Fünfeck ABCSD.
3.1 Zeichnen Sie das Fünfeck ABCSD. Berechnen Sie sodann das Maß ϕ des Winkels FSC
auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet sowie die Länge der Seite [SC].
[Teilergebnis: SC = 5 cm]
3.2 Das Viereck EBCS rotiert um ES als Rotationsachse. Bestätigen Sie durch Rechnung,
dass das Volumen des dabei entstehenden Rotationskörpers 64 π cm² beträgt.
3.3 Auf der Seite [SC] des Fünfecks ABCSD liegen Punkte Pn mit CP n = x cm (x < 5 und
x ∈ &). Bei der Rotation um ES als Rotationsachse erzeugen die Dreiecke EPnS Doppelkegel,
die aus zwei Kegeln mit dem Grundkreisradius r = n n H P mit Hn ∈ [FS] zusammengesetzt
sind. Zeichnen Sie den Punkt P1 für x = 3 sowie die Strecken [P1E] und
[P1H1] in die Zeichnung zu 3.1 ein. Zeigen Sie rechnerisch, dass für das Volumen V(x)
der Doppelkegel in Abhängigkeit von x gilt: V(x) = 2 π · (0,64x² - 6,4x + 16) cm³.
3.4 Berechnen Sie den Wert für x, so dass das Volumen V des zugehörigen Doppelkegels
28% des Volumens des Rotationskörpers von 3.2 hat.
(Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)