Uebungsaufgaben Experimentalphysik 4 - SS11 - 5. Physikalisches ...

Experimentalphysik 4 - SS11
Physik der Atome und Kerne
Prof. Dr. Tilman Pfau
5. Physikalisches Institut
Übungsblatt 08
Besprechung: 29. Juni 2011
Aufgabe 1: Natürliche Linienbreite 8 (2,2,2,2) Punkte
Die Frequenz atomarer Übergänge ist nicht unendlich scharf sondern besitzt eine gewisse
Breite Γ, die sog. natürliche Linienbreite. Diese ist eine direkte Folge der endlichen
Lebensdauer des zugehörigen angeregten Zustands. Dieser Zusammenhang soll
hier anhand eines vereinfachten Modells näher untersucht werden. Zur Behandlung
dieses Problems bietet es sich an, das abstrahlende Elektron im Atom als klassischen
gedämpften harmonischen Oszillator zu betrachten.
a) Das angeregte Elektron folgt also der Bewegungsgleichung
¨x + γ ˙x + ω 2 0x = 0
γ ist hier die Dämpfungskonstante. Verifizieren Sie, dass
γ
−
x(t) = x0e 2 t
· cos(ωosct) + γ
· sin(ωosct)
2ω
mit ωosc =
obige DGL löst und die Anfangsbedingungen
erfüllt.
x(0) = x0 und ˙x(0) = 0
ω 2 0 − (γ/2) 2
b) Für γ ≪ ω0 (was im Atom immer erfüllt ist) kann man annehmen, dass ωosc ≈ ω0,
womit sich die Lösung vereinfacht zu
γ
−
x(t) = x0e 2 t · cos(ω0t).
Beachten Sie, dass diese Lösung nur für positive Zeiten t gilt. Für negative Zeiten gilt
x(t < 0) = 0, da sonst der Dämpfungsterm divergiert. Berechnen Sie das zugehörige
Frequenzspektrum A(ω), das sich aus der Fouriertransformation ergibt:
A(ω) = 1
√ 2π
∞
−∞
dt · x(t) · e −iωt
und daraus schließlich die abgestrahlte Leistung Pω(ω) ∝ |A(ω)| 2 für ω − ω0 ≪ ω.
Zwischenergebnis: Pω(ω) ∝
1
(ω0−ω) 2 +(γ/2) 2
1

c) Berechnen Sie nun die Halbwertsbreite δω von Pω(ω).
d) Die Energie des Oszillators ergibt sich aus Summe von kin. Energie und Potential.
E(t) = 1
2 m ˙x2 + 1
2 mω2 0x 2
Zeigen Sie, dass für die (über eine Periode gemittelte) Abstrahlleistung gilt:
¯P (t) ∝ e −γt wobei P (t) = − ˙ E(t)
Tipp: Alle Terme, in denen sin(ωt) oder cos(ωt) vorkommt, ergeben zeitl. gemittelt
entweder 0 oder eine Konstante. Wie hängt also die Halbwertsbreite mit der
Lebensdauer (die gewöhnlich über e −t/τ definiert ist) zusammen?
2

Aufgabe 2: Spektroskopie von Atomen 9 (1,3,2,3) Punkte
In einer Glaszelle befindet sich ein Ensemble von Rubidium 87 Atomen ( 87 Rb). Sie
interessieren sich für optische Übergänge zwischen den Zuständen 5 2 S1/2 → 5 2 P3/2,
der sogenannten D2-Linie (Wellenlänge λ0 = 780.246nm, natürliche Lebensdauer τ =
26.2ns). Die genauen Quantenzahlen der Zustände spielen im Folgenden keine Rolle. Es
sollen nun ein paar Überlegungen hinsichtlich der Frequenzauflösung gemacht werden.
a) Wie ändert sich die Übergangsfrequenz durch die Doppler-Verschiebung, wenn sich
die Atome nun (eindimensional) mit einer mittleren Geschwindigkeit von 300 m/s
bewegen ?
b) Die Glaszelle ist bei Zimmertemperatur (T = 300 K), so dass die Geschwindigkeiten
der Atome einer Maxwell-Botzmann-Verteilung
f(vz)dvz =
1
2πkBT/m · e− mv2 z
2k B T dvz
folgen. Geben Sie einen Ausdruck für das Dopplerverbreiterte Spektrum f(ν) an,
indem Sie benutzen, dass für kleine (ν − ν0) gilt: dvz = λ0dν. Bestimmen Sie ferner
die zugehörige Linienbreite (FWHM = volle Halbwertsreite des Spektrums).
Können Sie also mit einer einfachen Absorptionsspektroskopie
1) die Hyperfeinaufspaltung im Grundzustand (∼ 6.8GHz)
2) die Hyperfeinaufspaltung im angeregten Zustand (∼ 100MHz)
3) die natürliche Linienbreite des Übergangs (∆f = Γ/2π = 1/(2πτ))
auflösen?
c) Auf welche Temperatur müssten die Atome abgekühlt werden, um 1), 2) oder 3)
aus der vorherigen Teilaufgabe auflösen zu können? (Mit welchen Techniken könnte
man die jeweiligen Tempteraturen erreichen?)
d) Da Ihnen sämtliche Kühlvorgänge zu umständlich erscheinen, entschließen Sie sich,
einfach Sättigungsspektroskopie zu machen. Hierzu schießen Sie zwei Laserstrahlen
gleicher Frequenz (aber unterschiedlicher Leistung) aus entgegengesetzten Richtungen
durch die Glaszelle, wobei Sie die Absorption des schwächeren Strahls (Probe-
Stahl) beobachten. Der stärkere Strahl (Pump-Strahl), pumpt Atome, die mit ihm
(innerhalb ihrer natürlichen Linienbreite) resonant sind, in den angeregten Zustand,
so dass diese kein Licht mehr absorbieren. Er ” brennt“ also ein Loch in das Absorptionsspektrum.
Ein Atom bewege sich nun mit der Geschwindigkeit v in Richtung des Probe-Strahl.
Geben Sie für beide Strahlen die Frequenz an, mit der sie resonant zu diesem Atom
sind. Für welche Geschwindigkeit sind beide Strahlen gleichzeitig resonant? Was
geschieht in diesem Fall mit der Absorption des Probe-Strahls? Skizzieren Sie qualitativ
die transmittierte Leitung des Probe-Strahls als Funktion der Laserfrequenz.
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Aufgabe 3: Sommerfeldsche Energiekorrektur
fürs H-Atom
3 (1,1,1) Punkte
Achtung: Kleine Korrektur: In der Formel für die Bohrsche Energie wurde geändert: ɛ0 → ɛ 2 0.
Im Bohrschen Atommodell befinden sich die Elektronen auf Kreisbahnen um den Atomkern.
1916 Sommerfeld schlug eine Erweiterung dieses Modells vor, bei dem sich die
Elektronen auf elliptischen Bahnen befinden. Dieses konnte die beobachtete Multiplett-
Struktur im Wasserstoff-Spektrum erklären. Qualtitativ lässt sich das folgendermaßen
verstehen: Wie bei den Kepler-Gesetzen für die Planeten werden die Elektronen in
Kernnähe beschleunigt. Dort sind sie also schneller und nach der Relativitätstheorie
auch schwerer, was zu einer Energieabsenkung (je nach Exzentrizität der Ellipsenbahn)
führt. Da die genaue Berechnung der Massenänderung bei Elliptischen Bahnen sehr
schwer ist, soll im Folgenden die Größenordnung dieser Korrektur abgeschätzt werden.
a) Auf dem letzten Übungsblatt wurde die Energie im Bohrschen Atommodell berechnet
zu
E = e4 m
8ɛ 2 0h 2 n 2
Drücken Sie E durch die Feinstrukturkonstante α, die Lichtgeschwindigkeit c und
die Elektronenmasse m aus.
b) Setzen Sie nun die relativistische Masse
m =
m0
1 − (v/c) 2
in E ein und machen Sie eine Taylor-Entwicklung bis zur zweiten Ordnung in v/c.
c) Setzen Sie anschließend die Bohrsche Geschwindigkeit (vn = ωnrn; letztes Übungsblatt)
ein. Welcher Ordnung von α ist die relativistische Korrektur? Geben Sie die relative
Größe der Korrektur an.
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