Optik, Wellen und Teilchen - 5. Physikalisches Institut

Grundlagen der
Experimentalphysik 3
(Optik, Wellen und Teilchen)
WS 2010/11
Prof. Dr. Tilman Pfau
5. Physikalisches Institut
! KORREKTUR !
In Aufgabe 1 wurde Gleichung (4) korrigiert.
Desweiteren wurden Hinweise zu den Aufgaben 1,2 & 4
hinzugefügt.
Übungsblatt 4
Besprechung: 17. November 2010
Aufgabe 1: Gaußsches Wellenpaket 7(3,1,1,1,1) Punkte
Der scheinbare Widerspruch, dass Teilchen gleichzeitig Teilchen- als auch Welleneigenschaften
besitzen, wurde in der Vorlesung durch die Annahme aufgelöst, dass Teilchen durch sogenannte
Wellenpakete beschrieben werden können. Dabei ist ein Wellenpaket eine Superposition ebener
Wellen gemäß
Ψ(⃗r, t) =
∫+∞
1
˜Ψ(
(2π) ⃗ 3/2 k) · e i(⃗ k·⃗r−ω( ⃗k)t) d 3 k. (1)
−∞
In dieser Aufgabe soll die zeitliche Entwicklung eines freien, eindimensionalen Wellenpakets betrachtet
werden, das in z-Richtung propagiert. Gleichung (1) reduziert sich dann zu
Ψ(z, t) = √ 1 ∫+∞
˜Ψ(k) · e i(kz−ω(k)t) dk. (2)
2π
−∞
Für die Amplitudenfunktion ˜Ψ(k) wird eine um k = k 0 zentrierte, normierte Gaußverteilung angenommen.
Man nennt ein derartiges Wellenpaket ein Gaußsches Wellenpaket.
1

Eine beliebige, normierte Gaußfunktion ist definiert durch
f(χ) = 1
σ √ 2π e− (χ−χ 0 )2
2σ 2 . (3)
a) Berechnen Sie die Wellenfunktion Ψ(z, t) des Gaußschen Wellenpakets zur Zeit t = 0. Gehen
Sie dafür von Gleichung (2) aus. Bilden Sie anschließend das Betragsquadrat |Ψ(z, t = 0)| 2 .
Hinweis:
Gruppieren Sie den gesamten Exponenten des Integranden in einen von k abhängigen
und einen von k unabhängigen Anteil um und führen Sie anschließend eine quadratische
Ergänzung durch. Verwenden Sie danach die Beziehung
∫
+∞
−∞
e −α2 (k+β) 2 dk =
√ π
α .
b) Für allgemeine Zeiten t und die Dispersionsrelation ω(k) = k2
2m
lässt sich zeigen, dass |Ψ(z, t)| 2 gegeben ist durch
eines klassischen Teilchens
|Ψ(z, t)| 2 = 1
2π ·
√
1
4
+ 42 t 2
σ 2 m 2
· e
−
(
z− k ) 2
0
m t
1
σ 2 + 2 t 2 σ 2
m 2 . (4)
Wiederum handelt es sich um eine Gaußfunktion. Geben Sie die Lage z M des Maximums in
Abhängigkeit der Zeit an und ermitteln Sie daraus dessen Geschwindigkeit. Wie heißt diese
Geschwindigkeit?
c) Wird die Breite einer Gaußfunktion als die gegenseitige Entfernung der beiden Punkte definiert,
bei denen die Exponentialfunktion auf
1 √e abgefallen ist, erhält man für die Definition
Gl.(3) einer Gaußfunktion
∆χ = 2σ.
Berechnen Sie, wie sich im Falle des Gaußschen Wellenpakets von Gl.(4) die Breite ∆z mit
der Zeit ändert.
d) Auch die Höhe von |Ψ(z, t)| 2 ist zeitabhängig. Bestimmen Sie deren Zeitabhängigkeit und
geben Sie unter Berücksichtigung dieses Ergebnisses und der vorangehenden Ergebnisse qualitativ
an, wie sich die Einhüllende eines Gaußschen Wellenpakets mit der Zeit ändert.
2

e) Abschließend soll ein Elektron durch ein eindimensionales Gaußsches Wellenpaket beschrieben
werden. Für t = 0 sei das Elektron auf einen Raumbereich von ∆z = 1Å eingeschränkt.
Bestimmen Sie aus dieser Bedingung den zum Weiterrechnen benötigten Parameter σ der
Amplitudenverteilungsfunktion ˜Ψ(k). Finden Sie anschließend heraus wie groß die Breite ∆z
1µs nach Loslassen des Elektrons geworden ist.
(m e ≈ 9, 109 · 10 −31 kg)
3

Aufgabe 2: Phasen- und Gruppengeschwindigkeit von
Materiewellen
4(1,1,1,1) Punkte
Nach Louis de Broglie kann jedem Teilchen eine Wellenlänge λ respektive eine Wellenzahl k
zugewiesen werden. Die Bewegung eines klassischen Teilchens mit Impuls ⃗p = ⃗ k kann offensichtlich
nicht durch eine Wellenfunktion
Ψ(⃗r, t) = Ψ 0 · e i(⃗ k·⃗r−ω(k)t)
(ebene Welle) beschrieben werden, da diese eine unendliche Ausdehnung besitzt, das Teilchen aber
zumindest bis zu einem gewissen Maße lokalisiert sein sollte. Ein weiterer Grund, warum ein Teilchen
nicht durch eine ebene Welle beschrieben werden kann, wird in dieser Aufgabe hergeleitet.
(1)
Nicht-relativistisches Teilchen:
a) Schreiben Sie die Dispersionsrelation für ein nicht-relativistisches, freies Teilchen auf.
Angenommen, das Teilchen ließe sich durch eine ebene Welle (1) beschreiben: Berechnen
Sie deren Phasengeschwindigkeit v ph und drücken Sie diese mit Hilfe der klassischen
Geschwindigkeit v = p m aus.
b) Fasst man das Teilchen hingegen als lokalisiertes Wellenpaket auf, kann eine Gruppengeschwindigkeit
v g angegeben werden. Berechnen Sie diese für die bereits in a) verwendete
Dispersionsrelation eines nicht-relativistischen, freien Teilchens und drücken Sie v g ebenfalls
durch v = p m aus.
Relativistisches Teilchen:
c) Verwenden Sie nun die relativistische Dispersionsrelation E 2 = m 2 0 c4 + p 2 c 2 eines freien
Teilchens. Gehen Sie wie in Teilaufgabe a) vor und drücken Sie die Phasengeschwindigkeit
durch die klassische Teilchengeschwindigkeit v =
p
m(v)
aus. Benutzen Sie, dass die Gesamtenergie
E auch als E = ω geschrieben werden kann. Wie hängt v g von v ab im Vergleich
zu a)? Ist die sich ergebende Phasengeschwindigkeit kleiner oder größer als die Vakuumlichtgeschwindigkeit
c 0 ? Können sich demnach Teilchen mit Überlichtgeschwindigkeit
bewegen?
d) Fassen Sie erneut das Teilchen als Wellenpaket auf und geben Sie die Gruppengeschwindigkeit
mit Hilfe der klassischen Geschwindigkeit v =
p
m(v) an.
4

Aufgabe 3: Doppelspalt-Experiment mit He-Atomen 2(1,1) Punkte
Physikern der Universität Konstanz gelang es 1991 das Doppelspalt-Experiment mit Helium-
Atomen durchzuführen und den Welle-Teilchen-Dualismus von Materie aufs Neue zu demonstrieren.
Helium-Atome gleicher Flugrichtung und Geschwindigkeit wurden durch einen Doppelspalt
geschickt und auf einem dahinter befindlichen Schirm detektiert. (Interessierte finden zusätzliche
Informationen zum Experiment nach dieser Übungsaufgabe.)
a) Verwenden Sie folgende Größen und geben Sie die Positionen der Interferenzmaxima 1. und
2. Ordnung auf dem Schirm relativ zum Maximum 0. Ordnung an:
Masse m He :
6, 695 · 10 −27 kg
Geschwindigkeit v der Helium-Atome: 2000 m s
Spaltbreite b: 1µm
Gitterkonstante g: 8µm
Abstand d Doppelspalt-Schirm:
1m
b) Warum ist es essentiell, dass alle Helium-Atome in etwa dieselbe Geschwindigkeit besitzen?
5

Aufgabe 4: Quantenkryptographie 9(9 x 1) Punkte
In dem aufgeführten Artikel werden ein Experiment zum BB84-Protokoll der Quantenkryptographie
und dessen Ergebnisse besprochen. Lesen Sie den Artikel und beantworten Sie die untenstehenden
Fragen. Da das RUS zur Zeit gesperrt ist, finden Sie den Artikel auf der Institutshomepage
zum Herunterladen. Die Zugangsdaten können Sie (per E-Mail) bei den Übungsgruppenleitern erfragen.
C. Kurtsiefer, Quantum cryptography: A step towards global key distribution
Nature, Volume 419, Start page 450, (Year of publication 2002)
a) Wer sind Alice und Bob, was machen sie und wo genau befinden sie sich in diesem Experiment?
b) Welche Größe wird hier als Qubit verwendet und in welchen beiden Basen kann es auftreten?
c) Wie kodiert Alice die Photonen?
d) Was verwendet Bob, um die Photonen zu empfangen? Wie geht er bei der Detektion der
ankommenden Photonen vor und was misst er?
e) Welche Informationen tauschen Alice und Bob nach der Übertragung miteinander aus? Muss
dafür ein veschlüsselter Kommunikationskanal verwendet werden? Warum?
f) Wie kann jetzt überprüft werden, ob Eve während der Übertragung mitgehorcht hat oder die
Übertragung sicher war?
g) Wie setzt sich der sifted key, der geheime Schlüssel, welcher später zur eigentlichen Datenübertragung
verwendet wird, zusammen? Besitzen Alice und Bob denselben sifted key?
h) Wodurch können Unterschiede in beider sifted keys entstehen? Was wurde im Experiment
unternommen, um deren Anzahl zu verringern?
i) Wie groß war der Verlust von Photonen bei der Übertragung, d.h. wieviel Prozent der gesendeten
Photonen kamen bei Bob an?
6