PROSEMINAR LINEARE ALGEBRA SS10 - Mathematik - Heinrich ...

Beweis: Das Polynom f(x) = 4x 3 -3x- ½ ∈ ℚ[x] besitzt keine Nullstelle in ℚ.
(x-p/q)f(x) ⇒ p/q ist eine Nullstelle des Polynoms.
Für x = p/q in das Polynom einsetzen:
4( p/q) 3 - 3( p/q) - ½ = 0 |*q 3
4p 3 - 3pq 2 – ½ q 3 = 0 |*2
8p 3 - 6pq 2 - q 3 = 0
1.Fall: q|8p 3
somit ist der ggt(q,p) = 1
⇒ q|8 ⇒ q ∈ {-1, 1, -2, 2, -4, 4, -8, 8}
2.Fall: p|q 3
⇒ p ∈ {-1, 1}, weil der ggt(q,p) = 1 ist, kann p nur -1,1 sein.
1 Somit ist p/q ∈ {-1, 1, -½, ½, -¼, ¼, - /8, 1 /8}
Rechnung: Für x = -1 in das Polynom f(x) einsetzen
4(-1) 3 - 3(-1) – ½ = -1½ ≠ 0
Für x = 1 in das Polynom f(x) einsetzen
4(1) 3 - 3(1) – ½ = ½ ≠ 0
Für x = -½ in das Polynom f(x) einsetzen
4(-½) 3 - 3(-½) – ½ = ½ ≠ 0
Für x = ½ in das Polynom f(x) einsetzen
4(½) 3 - 3(½) – ½ = -1½ ≠ 0
Für x = -¼ in das Polynom f(x) einsetzen
4(-¼ ) 3 - 3(-¼ ) – ½ = 3 /16 ≠ 0
Für x = ¼ in das Polynom f(x) einsetzen
4(¼ ) 3 - 3(¼ ) – ½ = - 19 /16
Für x = - 1 /8 in das Polynom f(x) einsetzen
≠ 0
4(-1 /8 ) 3 - 3(-1 /8 ) – ½ = -15 /128 ≠ 0
Für x = 1 /8 in das Polynom f(x) einsetzen
4( 1 /8 ) 3 - 3( 1 /8) – ½ = -111 /128 ≠ 0
Damit wurde gezeigt, dass das Polynom f(x) = 4x 3 -3x- ½ ∈ ℚ[x] keine Nullstelle in
ℚ besitzt.