Monte-Carlo Tests - Mathematik - Heinrich-Heine-Universität ...

Monte-Carlo Tests
Diplomarbeit
Wiebke Werft
Mathematisches Institut
der
Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf
Düsseldorf im Dezember 2003
Betreuung: Prof. Dr. Arnold Janssen

Inhaltsverzeichnis
Einleitung 1
1 Grundlagen 4
1.1 Orderstatistiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Suffizienz und Vollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Monte-Carlo Tests 8
2.1 Formulierung des Testproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Definition des Monte-Carlo Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Die Schärfe des Monte-Carlo Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.1 Die Schärfefunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.2 Die Schärfe des Monte-Carlo Tests in Abhängigkeit des Si-
mulationsstichprobenumfangs m . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Der Monte-Carlo Test als bedingter Test 22
3.1 Theorie bedingter Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Darstellung des Monte-Carlo Tests als bedingter Test . . . . . . . 29
3.3 Optimalitätsaussagen über Monte-Carlo Tests als bedingten Tests 33
4 p-Werte des Monte-Carlo Tests 36
4.1 Definition des p-Wertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 Schätzen der Güte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2.1 Schätzen der Güte eines Tests mit exakt berechenbarem
p-Wert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2.2 Schätzen der Güte eines Monte-Carlo Tests . . . . . . . . . 39
I

4.2.3 Wie wird die Anzahl I der simulierten Datensätze gewählt? 43
4.3 Methoden zur Verbesserung bzw.
Vereinfachung der Schätzung der Güte . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3.1 Extrapolationsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3.2 Ermittlung der Stützstellen für die Extrapolationsmethode,
falls nur I = I1 Datensätze simuliert werden. . . . . . . . . 52
Zusammenfassung 56
A Rechtsstetige inverse Verteilungsfunktion 58
Symbol- und Abkürzungsverzeichnis 62
Abbildungsverzeichnis 65
Literaturverzeichnis 66
Erklärung 68
II

Einleitung
Die statistische Testtheorie ist eine der am weitesten ausgebauten Theorien der
Statistik. In der empirischen Forschung ist das statistische Absichern von Hypo-
thesen durch Signifikanztests nicht mehr wegzudenken. Dabei ist die Kenntnis der
Verteilung der Teststatistik unter der Nullhypothese, der sogenannten Prüfvertei-
lung, für die Entscheidungsfindung von großer Bedeutung. Mit der Prüfverteilung
wird der kritische Wert des Testproblems bestimmt, der den Ablehnungs- bzw.
Annahmebereich definiert.
Falls nun die exakte Verteilung der Teststatistik unter der Nullhypothese nicht
bekannt oder nicht mit vertretbarem Rechenaufwand bestimmbar ist, tritt die
grundlegende Problematik der Statistik auf: Wie erhält man Kenntnisse über die
unbekannte Verteilung einer Zufallsvariablen X. Häufig befindet sich der Stati-
stiker in der Lage, die Auswahl direkt auf eine parametrische Familie
P = {Pϑ : ϑ ∈ Θ} von Verteilungen eingrenzen zu können. Doch die Kenntnis
der Prüfverteilung bleibt das Nadelöhr, durch das der Statistiker hindurch muss.
Bedingt durch die immer weiter verbreitete Verwendung von Simulationsmetho-
den stammen unabhängig voneinander zwei Vorschläge von Dwass [6] 1957 und
Barnard [1] 1963, dieses Problem mit Monte-Carlo Methoden zu lösen. Die Idee
des sogenannten Monte-Carlo Tests besteht darin, mit Hilfe eines Simulations-
experiments stochastisch unabhängige Realisierungen der Teststatistik unter der
Nullhypothese zu erzeugen. Die Nullhypothese wird dann verworfen, wenn der
Wert der Teststatistik des ursprünglichen Beobachtungsmaterials in einem ganz
bestimmten Sinn nicht mehr mit den durch Monte-Carlo Methoden erzeugten
1

Einleitung 2
Stichproben in Beziehung gesetzt werden kann. Dieses Verfahren muss zwar für
jeden neu vorliegenden Datensatz erneut durchgeführt werden, aber der Monte-
Carlo Test hält unter bestimmten Voraussetzungen das vorgegebene Signifikanz-
niveau immer ein.
In der vorliegenden Diplomarbeit wird der Fall einer stetigen Prüfverteilung be-
trachtet, da bereits Jöckel [12] gezeigt hat, dass sich der diskrete Fall auf den
stetigen Fall zurückführen lässt. Sie ist in vier Kapitel gegliedert.
Da im Rahmen der Untersuchung von Monte-Carlo Tests im großen Maße auf
den Bereich der Orderstatistiken sowie die Eigenschaften der Suffizienz und Voll-
ständigkeit zurückgegriffen wird, werden in Kapitel 1 die verwendeten Notationen
sowie relevante Aussagen zu diesen Begriffen kurz vorgestellt.
In Kapitel 2 wird zunächst das allgemeine Wesen von Testproblemen dargelegt.
Im Anschluss daran wird der Monte-Carlo Test vorgestellt, der Anwendung fin-
det, falls die Prüfverteilung des zu Grunde liegenden Testproblems nicht bekannt
ist. Der Test basiert auf m zusätzlich unter der Nullhypothese simulierten Daten-
sätze, der kritische Wert wird dann aus der k-ten Orderstatistik der m simulierten
Daten geschätzt. Darüber hinaus wird in diesem Kapitel die Schärfe des Monte-
Carlo Tests berechnet und eine Aussage darüber getroffen, wie sich die Schärfe
mit wachsendem Simulationsstichprobenumfang verhält.
Hauptsächliche Thematik des dritten Kapitels ist die Darstellung des Monte-
Carlo Tests als bedingter Test. Nach einer kurzen Präsentation der Theorie der
Tests mit Neyman-Struktur wird zunächst der Monte-Carlo Test so umformu-
liert, dass die Darstellung als bedingter Test sofort erkennbar ist. Die für die
Konstruktion notwendige suffiziente Statistik ist in diesem Fall die Orderstatistik.
Daraufhin werden Optimalitätsaussagen für den Monte-Carlo Test basierend auf
der Darstellung als bedingter Test getroffen. Abschließend wird ein anderer Zu-
gang als im Kapitel 2 herausgearbeitet, wie man den Schärfezuwachs mit größer
werdendem Simulationsstichprobenumfang begründen kann.
In Kapitel 4 wird der Monte-Carlo Test mit Hilfe von p-Werten dargestellt. Dazu
wird im ersten Teil die Definition des p-Wertes eingeführt und eine vom p-Wert
abhängige Darstellung des Monte-Carlo Tests gegeben. Im zweiten Teil wird ein

Einleitung 3
Schätzverfahren für die Güte eines Tests mit p-Wert Gestalt vorgestellt, welches
auf Boos und Zhang [4] basiert. Diese Schätzung erfolgt für zwei Fälle. Zunächst
wird ein Test betrachtet, für den der p-Wert als bekannt vorausgesetzt wird. Die
Güte wird durch ein Monte-Carlo Verfahren geschätzt, welches auf O Simulatio-
nen beruht. Im zweiten Fall ist der p-Wert unbekannt. Der Schätzung der Güte
wird eine Schätzung des p-Wertes wiederum durch Monte-Carlo Verfahren vor-
angestellt, welches nun auf I Simulationen beruht. Tests, die einen geschätzten
p-Wert zu Grunde legen, werden allgemein als Monte-Carlo Tests bezeichnet. Für
die Schätzung der Güte eines Monte-Carlo Tests benötigt man dementsprechend
ein verschachteltes Monte-Carlo Verahren mit insgesamt O · I generierten Daten-
sätzen. Zum Abschluss dieses Kapitels wird eine Methode vorgestellt, wie man
diese Schätzung der Güte für den Monte-Carlo Test verbessern kann. Sie beruht
darauf, die vorangestellte Schätzung des p-Wertes zu verbessern. Die dafür be-
nutzte Extrapolationsmethode wird explizit an einem Beispiel diskutiert. Eine
Überprüfungsmöglichkeit dieser Methode wird mit Hilfe der hypergeometrischen
Verteilung vorgestellt.
Da in dieser Diplomarbeit die Nullhypothese verworfen wird, falls der Wert der
Teststatistik niedrig ausfällt, benötigt man für die Bestimmung des kritischen
Wertes die rechtsstetige inverse Verteilungsfunktion. Aufgrund der Tatsache, dass
in der Literatur vorwiegend mit der linksstetigen inversen Verteilungsfunktion
gearbeitet wird, ist der Umgang mit der rechtsstetigen etwas ungewohnt. Daher
beinhaltet der Anhang eine kurze Zusammenfassung der Darstellung sowie Eigen-
schaften dieser speziellen inversen Verteilungsfunktion, die an zentralen Stellen
dieser Arbeit verwendet wird.
Die in dieser Arbeit eingebundenen Abbildungen wurden mit Matlab (Version
6.1.0.450, Release 12.1) bzw. Latex erstellt.