Lineare Algebra I – Blatt 10 - Mathematik

Prof. Dr. Benjamin Klopsch
Wintersemester 2013/14
Lineare Algebra I Blatt 10
Abgabe der Lösungen bis zum 08.01.2014, 16.15 Uhr in den dafür vorgesehenen Kästen
Sei G eine Gruppe. Eine Untergruppe von G ist eine Teilmenge H ⊆ G, die bezüglich der
eingeschränkten Multiplikation selbst eine Gruppe bildet. Für g ∈ G bezeichnet g −1 das
zu g inverse Element; man erweitert diese Schreibweise für k ∈ Z durch die Abmachung
⎧⎪
g k g ⋅ g ⋅ . . . ⋅ g (k Faktoren) falls k ≥ 0,
= ⎨
⎪⎩
(g −k ) −1 falls k < 0
Aufgabe 10.1
(4 Punkte)
Verizieren Sie mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus, dass 261 und 2014 teilerfremd
sind, und berechnen Sie das multiplikativ Inverse von 261 modulo 2014 (als Element von
{0, 1, . . . , 2013}).
Aufgabe 10.2
Sei G eine Gruppe, H ⊆ G und g ∈ G.
(4 Punkte)
(1) Beweisen Sie das folgende Untergruppenkriterium: H ist genau dann eine Untergruppe
von G, wenn gilt: H ≠ ∅ und ∀x, y ∈ H ∶ x −1 y ∈ H.
(2) Die Zahl ord(g) = min({∞} ∪ {k ∈ N ∣ g k = 1}) heiÿt die Ordnung von g. Zeigen Sie:
⟨g⟩ = {g k ∣ k ∈ Z} ist eine Untergruppe von G und ∣⟨g⟩∣ = ord(g).
(3) Zeigen Sie: Ist ord(g) < ∞ und m ∈ Z mit g m = 1, so gilt ord(g) ∣ m.
Aufgabe 10.3
Sei G eine Gruppe, und H eine Untergruppe von G.
(1) Zeigen Sie, dass die auf G durch
x ≡ H y ←→ x −1 y ∈ H (x, y ∈ G)
(4 Punkte)
denierte Relation eine Äquivalenzrelation darstellt. Zeigen Sie weiter, dass die
Äquivalenzklasse von g ∈ G bezüglich ≡ H gleich gH = {gh ∣ h ∈ H} ist.
(2) Zeigen Sie, dass µ g ∶ H → gH, h ↦ gh für jedes g ∈ G eine Bijektion darstellt.
(3) Folgern Sie für ∣G∣ < ∞ den Satz von Lagrange: ∣H∣ teilt ∣G∣.
Aufgabe 10.4
Sei m ∈ N und ϕ(m) = ∣{a ∈ N ∣ 1 ≤ a ≤ m und ggT(a, m) = 1}∣.
(1) Zeigen Sie: Für jedes a ∈ Z mit ggT(a, m) = 1 gilt a ϕ(m) ≡ m 1.
(2) Leiten Sie den kleinen Satz von Fermat ab: Für p ∈ P und a ∈ Z gilt a p ≡ p a.
(3) Bestimmen Sie 2 2014 modulo 2017 (als Element von {0, 1, . . . , 2016}).
(4 Punkte)
Hinweis. Betrachten Sie die Einheitengruppe von Z/mZ und benutzen Sie, was Sie in den
Aufgaben 10.1, 10.2 und 10.3 gelernt haben.
Bitte wenden!
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Lineare Algebra I Blatt 10 S. 2/2
Weihnachtsrätsel. Aus einem mathematischen Seminar im hohen Norden (Kiel) ist
durch viele Generationen hindurch folgendes Rätsel überliefert worden. Viel Spass dabei!
Hier ist ein Weihnachtsrätsel, mit dem sich die ganze Familie beschäftigen kann, wenn
über die Feiertage mal Langeweile aufkommen sollte.
Es geht darum, herauszunden, in welchem Stall das Christkind geboren wurde. Fünf
Ställe liegen in einer Reihe entlang der Straÿe. Jeder von diesen trägt eine andere Farbe.
In jedem Stall wohnt ein anderer Hirte aus einer anderen Landschaft Palästinas. Jeder
Stallhirte bevorzugt ein bestimmtes Getränk, benutzt ein bestimmtes Gewürz und hält ein
bestimmtes Haustier. Keiner der Hirten trinkt das gleiche Getränk, würzt mit demselben
Gewürz oder hält das gleiche Tier wie ein anderer Hirte. Himmlische Botschafter haben
die folgenden Hinweise vergeben:
1. Das Christkind ist in dem Stall geboren, in dem ein Esel gehalten wird.
2. Der galiläische Hirte lebt in einem roten Stall.
3. Der samaritische Hirte hält einen Hund.
4. Der judäische Hirte trinkt gerne Tee.
5. Der grüne Stall liegt, von der Straÿe gesehen, links neben dem weiÿen Stall.
6. Der Hirte des grünen Stalles trinkt Fruchtnektar.
7. Der Hirte, der mit Nelken würzt, hält einen Vogel.
8. Der Hirte, der im mittleren Stall wohnt, trinkt Milch.
9. Der Hirte des gelben Stalles würzt mit Pfeer.
10. Der ituräische Hirte wohnt im ersten Stall von links.
11. Der Hirte, der mit Koriander würzt, wohnt neben dem, der eine Katze hält.
12. Der Hirte, der ein Kamel hält, wohnt neben dem, der mit Pfeer würzt.
13. Der mit Zimt würzt trinkt gerne Wein.
14. Der ituräische Hirte wohnt neben dem blauen Stall.
15. Der peräische Hirte würzt mit Safran.
16. Der mit Koriander würzt hat einen Nachbarn, der Wasser trinkt.
Also, in welchem Stall wurde das Christkind geboren?
Frohe Weihnachten und kommen Sie gut ins neue Jahr!