Blatt 9 - Mathematik - Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf

Mathematisches Institut
der Heinrich-Heine-Universität
Düsseldorf
P.D. C. Bertolin
SS 2011
30.05.2011
Blatt 9
Übungen zu Lineare Algebra II
Aufgabe 1
Gegeben sei eine exakte Sequenz von K-Vektorräumen
f g
0 −→ V 1 −→ V 2 −→ V 3 −→ 0
und sei W ein K-Vektorraum. Zeigen Sie, dass die Sequenz
exakt ist.
Aufgabe 2
Gegeben sei die reelle Matrix
V 1 ⊗ K W f ⊗ id
−→ V 2 ⊗ K W g ⊗ id
−→ V 3 ⊗ K W −→ 0
⎛
A = 1 ⎝
3
2 −2 1
−1 −2 −2
2 1 −2
(1) Zeigen Sie, dass A orthogonal ist und dass det(A) = 1 gilt.
(2) Allgemeiner: Folgt aus A invertierbar und det(A) = 1, dass A orthogonal ist?
(3) Allgemeiner: Folgt aus A orthogonal, dass det(A) = 1 ist?
Für (2) und (3): Beweis oder Gegenbeispiel.
⎞
⎠ .
Definition Normabbildung
Sei K = R oder K = C und sei V ein K-Vektorraum. Eine Abbildung ‖.‖ : V → R
heißt Normabbildung, wenn die folgenden 3 Axiome erfüllt sind:
(N1) ‖v‖ = 0 genau dann, wenn v = 0.
(N2) ‖λv‖ = |λ| ‖v‖ für alle λ ∈ K und v ∈ V .
(N3) ‖v + w‖ ‖v‖ + ‖w‖ für alle v, w ∈ V .

Aufgabe 3
Für eine komplexe n × n-Matrix definieren wir
∞∑
e A A n
:= und ‖A‖ = n · max
n!
|a ij| .
1i,jn
n=0
(1) Zeigen Sie, dass die Abbildung ‖.‖ eine Normabbildung (Definition: siehe Seite
1) ist für die zusätzlich gilt
‖A · B‖ ‖A‖ · ‖B‖ .
(2) Beweisen Sie, dass für jede Matrix A ∈ C n×n die folgende Reihe konvergiert:
(3) Sei A =
( 1 1
0 2
1 + A + A2
2 + A3
3! + A4
4! + . . .
)
. Berechnen Sie A n für n ≥ 0 und e A .
(4) Bestimmen Sie zwei Matrizen A, B ∈ R n×n , für die gilt e A+B ≠ e A e B .
Aufgabe 4
Sei V ein K-Vektorraum mit Basis B = {b 1 , b 2 , . . . , b n }, λ ∈ K ∗ und 1 i, j n mit
i ≠ j. Durch die folgenden drei elementaren Transformationen erhält man erneut
eine Basis von V :
(Typ 1) Multiplikation des i-ten Basisvektors von B mit λ.
(Typ 2) Vertauschung des i-ten und j-ten Basisvektors.
(Typ 3) Addition des λ-fachen des i-ten Basisvektors zum j-ten Basisvektor.
Sei nun C = {c 1 , . . . , c n } eine weitere Basis von V und f : V → V eine lineare
Abbildung.
(a) Sei B ′ eine Basis die aus B durch eine elementare Transformation entsteht.
Geben Sie mit Begründung (und in Abhängigkeit vom Typ) an, wie die Darstellungsmatrix
A f,B ′ ,C aus der Darstellungsmatrix A f,B,C entsteht?
(b) Sei C ′ eine Basis die aus C durch eine elementare Transformation entsteht.
Geben Sie mit Begründung (und in Abhängigkeit vom Typ) an, wie die Darstellungsmatrix
A f,B,C ′ aus der Darstellungsmatrix A f,B,C entsteht?
(b) Sei B ′ eine Basis die aus B durch eine elementare Transformation entsteht.
Geben Sie mit Begründung (und in Abhängigkeit vom Typ) an, wie die Darstellungsmatrix
A f,B ′ ,B ′ aus der Darstellungsmatrix A f,B,B entsteht?
Abgabe: 10.06.2011, 11:00 Uhr
Die folgende Aufgabe ist nur für die Mathematik-Studierenden. Diese können hierbei
3 zusätzliche Credit-Points erlangen (falls diese noch nicht in Lineare Algebra 1
erworben worden sind). Die Bearbeitungen sind bis zum 17.06.2011 mit Name und
Matrikelnummer in die Briefkästen einzuwerfen.
Wiederholen Sie schriftlich das Kapitel über Dualräume.