Modellierung und numerische Simulationsmethoden für die ... - VDE

Analog ’03, 7. ITG/GMM-Diskussionssitzung, 11.-12. September 2003, Heilbronn 2/6
Damit sind Effekte gemeint, die einen realen Aufbau von
einem idealen Schalter und Tiefpassfilter unterscheiden.
Sie beinhalten beispielsweise Totzeiten und ON-
Widerstand der MOSFETs (hierzu siehe z. Bsp. [5, 6]),
endliche Slew-Rate sowie Nichtlinearitäten in den Bauelementen.
Es kommt zu Verformungen des Binärsignals
am Ausgang der Schaltstufe und zu ungewünschten
nichtharmonischen Verzerrungen im Basisband des Audio-Ausgangssignals.
Zur Verdeutlichung ist in Abbildung 1 beispielhaft die
Fourier-Analyse eines binären SB-ZePoC-Signals vor der
Schaltstufe (Abb. 1a) mit dem Spektrum des entsprechenden
Ausgangssignals nach der Schaltstufe an der
(ohmschen) Last (Abb. 1b) gegenübergestellt. Hierbei
handelt es sich um einen diskreten Versuchsaufbau, der
mit einer Schaltrate von 97 kHz arbeitet und lediglich zur
prinzipiellen Demonstration dient. Abbildung 1b weist
deutliche nichtlineare Verzerrungsanteile auf, die erst bei
der Leistungsverstärkung bzw. Signalrekonstruktion entstehen.
Im nächsten Abschnitt werden die verwendeten Methoden
zur numerischen Simulation vorgestellt. In Abschnitt 3
soll der von uns entwickelte MatLab-Simulator beschrieben
werden, um anschließend in Abschnitt 4 die
Ergebnisse von Messungen und Simulation mit PSpice
und dem MatLab-Simulator zu vergleichen. Unser Ziel ist
es dabei, Modelle zu schaffen, die die wesentlichen Einflüsse
realer Schaltverstärker in Bezug auf das binäre
Steuersignal und das resultierende Ausgangssignal beschreiben,
um somit Simulationswerkzeuge zu schaffen,
die den Entwurf derartiger Schaltungen erleichtern.
2 Methoden zur numerischen Simulation
Die Bestimmung der Modellgleichungen der Endstufen
von Audioleistungsverstärkern nach dem Klasse-D-
Prinzip erfolgt auf der Grundlage der Theorie elektrischer
und elektronischer Netzwerke. Da solche Schaltungen
verlustarm sein sollten, werden sie im wesentlichen aus
Power-MOSFETs sowie Induktivitäten und Kapazitäten
aufgebaut, so dass für diese Bauelemente entsprechende
Modelle benötigt werden. Auf dieser Basis ergeben sich
gemischte Gleichungssysteme aus algebraischen Gleichungen
und Differentialgleichungen, die man als
Algebro-Differentialgleichungen bezeichnet (z. B. [7, 8])
und die in folgender Form notiert werden können
Bxx ( ) = f( xy , ),
0 = g( xy , ),
wobei gilt:
n m n m n
x∈R , y∈ R , f : R × R →R
,
n m l n n× n
g: R × R →R , B:
R →R
.
Neben den parasitären Widerständen sollte nur ein dominanter
Widerstand in solchen Schaltungen enthalten sein,
der den akustischen Lastwiderstand des Lautsprechers
repräsentiert. Die Modellgleichungen elektrischer Netz-
werke kann man zumindest in einer kleinen Umgebung
von Arbeitspunkte in die Form von Zustandsgleichungen
überführen
x = F( x),
n n
wobei F : R → R gilt; Algebro-Differentialgleichungen
mit dieser Eigenschaften werden als Index-1-Systeme
bezeichnet. Lässt man die parasitären Widerstände bei der
Modellbildung zunächst außer acht, dann erhält man
häufig Probleme mit höherem Index. Im Gegensatz zu
den Differentialgleichungen in Zustandsform und den
Index-1-Systemen ergeben sich erhebliche Schwierigkeiten
bei der numerischen Analyse; einen Überblick dazu
gibt Mathis [9]. Höhere Index-Systeme können unter
gewissen Umständen in Zustandsgleichungen überführt
werden, bei denen neben den Eingangssignalen auch
deren Ableitungen auftreten (vgl. Chua, Lin, [10], S. 331).
Da die numerischen Algorithmen vieler kommerziell
verfügbaren Schaltkreis-Simulatoren auf solche Problem
nur unzureichend vorbereitet sind, kann es selbst bei kleinen
Schaltungen zu erheblichen Fehlern kommen. Daher
muss auf Integrationsverfahren der Modellgleichungen
zurückgegriffen werden, die bezüglich der Indexproblematik
auch bei starker Idealisierung robust arbeiten.
Ein weiteres Problem bei der Simulation von Endstufen,
die nach dem Klasse D-Prinzip arbeiten, hängt damit
zusammen, dass sich die Aktivität der Eingangssignale
und damit auch der Power-MOSFETs in gewisse zeitliche
Intervalle aufteilen lassen. Das hängt wie bereits in der
Einleitung erläutert damit zusammen, dass die Eingangssignale
solcher Entstufen analoge Signale sind, die im
wesentlichen nur zwei Werte annehmen. Die Eingangssignale
bleiben in relativ langen Zeitintervallen praktisch
konstant und die Dynamik einer Schaltung wird durch
„langsame“ Zeitkonstanten bestimmt. In bestimmten
Zeitpunkten schaltet das Eingangssignal in den anderen
Level um und es kommt zu einem dynamischen Übergangsvorgang,
bei dem die „schnellen“ Zeitkonstanten
das Geschehen bestimmen. Man hat es also mit einem
Multi-Time-Scale-Problem zu tun (z. B. [11]). Auch dafür
sind die Standardalgorithmen der meisten kommerziellen
Schaltkreis-Simulatoren nicht ausgerichtet.
Ein Ausweg aus den gerade beschriebenen Schwierigkeiten
besteht darin, dass man das Simulationsintervall
bezüglich der Schaltzeitpunkte in Teilintervalle aufteilt
und diese separat simuliert (vgl. [12, 13]). Das hat allerdings
zur Folge, dass die Anfangsbedingungen des
Modellsystems nach dem Schaltzeitpunkt, die aus den
Endwerten des Modellsystems vor dem Schaltzeitpunkt
ermittelt werden, inkonsistent sein können; weitere Einzelheiten
dazu findet man bei Mathis [7]. Die
grundsätzliche Vorgehensweise soll anhand von Modellgleichungen
in Zustandsform kurz skizziert werden. Dazu
wird das nichtlineare System in eine Folge von Teilsystemen
zerlegt, die jeweils für ein gewisses Zeitintervall Ti
gültig sind, xi = fi( xi), i = 1,2, … , wobei für das gesamte
Zeitintervall T eine Zerlegung durchgeführt wurde