Lösung der Dirac-Gleichung

N.BORGHINI Relativistische Quantenmechanik Elementarteilchenphysik
Bemerkungen:
∗ Alternativ kann man ausgehend von der Matrixgleichung (IV.21) sagen, dass diese nur dann
nicht-triviale Lösungen hat, wenn die Determinante der Matrix p − mc14 verschwindet, was sofort
zur Bedingung (IV.22) führt.
∗ Natürlich ist es ziemlich bedeutsam, dass die Lösungen mit negativer Energie wieder vorkommen,
obwohl eines der Ziele Diracs bei der Suche nach einer relativistischen Wellengleichung von erster
Ordnung in der Zeit war, solche Lösungen zu vermeiden.
IV.3.1 a Lösungen positiver oder negativer Energie
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Multipliziert man die Gl. (IV.21a) links mit γ0 , so ergibt sich unter Berücksichtigung der Relationen
(IV.2) (p0 − pkγ0γ k − mcγ0 )u(p) = 0, d.h.
0 k 0 k
mcγ − p γ γ u(p) = p 0 u(p).
Diese Gleichung stellt für jeden p eine Eigenwert-Gleichung für die Matrix mcγ0 −pkγ 0γk dar. Nach
Gl. (IV.22) sind die möglichen Eigenwerte entweder p0 = +Ep/c oder p0 = −Ep/c. Da die Matrix
mcγ0 − pkγ0γ k spurlos ist, soll jeder Eigenwert zweimal vorkommen.
Zunächst werden die Lösungen mit „positiver Energie“ p0 > 0 betrachtet und als u(p) e−ip·x/ geschrieben, mit u(p) einer Lösung von Gl. (IV.21a). Dank der Beziehung
2 2 2
p − mc 14 p + mc 14 = p − m c 14
kann man für den Dirac-Spinor u(p) die Form
u(p) = N+(p) p + mc u0
annehmen, mit N+(p) ∈ R einer (p-abhängigen, vgl. unten) Normierungskonstante und u0 einem
p-unabhängigen Dirac-Spinor.
Die zwei unabhängigen „Spinzustände“, entsprechend der oben diskutierten zweifachen Entar-
tung des Eigenwerts p 0 = +Ep/c, werden als
gewählt, mit ξ± definiert durch
ξ+ ≡
u0 =
ξ±
0
1
0
, ξ− ≡ . (IV.23)
0
1
Mithilfe der Bezeichnung σ ≡ ± lautet die Lösung mit Impuls p und „positiver Energie“ p0 > 0
u(p, σ) = N+(p) p + mc
ξσ
. (IV.24)
0
In der Standard-Darstellung der Dirac-Matrizen lautet diese Lösung
Ep/c + mc
u(p, σ) = N+(p)
ξσ
. (IV.25)
p · σ ξσ
Sei v(p) e +ip·x/ eine Lösung „negativer Energie“, wobei jetzt p 0 = +Ep/c (dank einer Umbenennung
p µ → −p µ , vgl. Absch. III.2.1). Man zeigt einfach, dass v(p) eine Lösung der Gleichung
γ µ pµ + mc v(p) = p + mc v(p) = 0. (IV.26)
sein soll. Als Lösungsansatz kann man die Form
v(p) = N−(p) p − mc v0
annehmen, mit N−(p) bzw. v0 einer Normierungskonstante bzw. einem Dirac-Spinor. Für den Letz-
IV. Dirac-Gleichung 35