Lösung der Dirac-Gleichung

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N.BORGHINI Relativistische Quantenmechanik Elementarteilchenphysik IV.3.1 d Vollständigkeitsrelation ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ Für die Beschreibung von Teilchenstoß-Experimenten, in denen der Spin der beteiligten Teilchen nicht gemessen wird — entsprechend der Mehrheit der Experimente —, ist es nützlich, die Summe über Spinzustände22 σ = ± zu kennen. Es gelten die Vollständigkeitsrelationen u(p, σ)ū(p, σ) = p + mc14 (IV.33a) σ=± und v(p, σ)¯v(p, σ) = p − mc14. (IV.33b) σ=± Diese Beziehungen lassen sich einfach nachprüfen. Beispielsweise lautet einer der Beiträge zur 4×4-Matrix auf der linken Seite der Gl. (IV.33a) unter Nutzung der Gl. (IV.24) und (IV.31) u(p, σ)ū(p, σ) = N+(p) 2 p + mc14 ξσ ξT σ 0 0 p + mc14 . Dabei ist ξσ ξ T σ 0 0 gleich einer diagonalen 4×4-Matrix, und zwar ξσ ξT σ 0 diag(1, 0, 0, 0) für σ = + = 0 diag(0, 1, 0, 0) für σ = −, so dass ξσ ξT σ 0 0 σ=± 12 0 = . Dann ergibt sich in der Standard-Darstellung 0 0 u(p, σ)ū(p, σ) = N+(p) σ=± 2 0 (p +mc)12 −p · σ p · σ (−p0 0 12 0 (p +mc)12 −p · σ +mc)12 0 0 p · σ (−p0 . +mc)12 Dies gibt gerade das Resultat (IV.33a). IV.3.2 Zweite Quantisierung der Wellenlösungen Wie bei den Lösungen der Klein–Gordon-Gleichung erfolgt die korrekte Deutung der Lösungen der Dirac-Gleichung über die zweite Quantisierung. Dabei wird die allgemeine Lösung der Gleichung geschrieben als eine Linearkombination aller möglichen ebenen Wellen der Type u(p, σ) e−ip·x/ und v(p, σ) e +ip·x/ mit jeweiligen Amplituden: ψ(x) = cp,σ u(p, σ) e −ip·x/ + d ∗ d p,σ v(p, σ) eip·x/ 3p (2π) 32Ep/c . σ=± In einem zweiten Schritt werden diese komplexen Zahlen cp,σ, d ∗ p,σ durch Operatoren ĉp,σ, ˆ d † p,σ mit geeigneten Vertauschungsrelationen ersetzt. Man zeigt, da diese Relationen auf Antikommutatoren · , · beruhen sollen: ĉp,σ, ĉ † q,σ ′ (3) = δ (p − q) δσσ ′, dp,σ, ˆ ˆ d † q,σ ′ (3) = δ (p − q) δσσ ′, (IV.34a) während alle anderen Antikommutatoren verschwinden ĉp,σ, ĉq,σ ′ = ˆdp,σ, ˆ dq,σ = · · · = 0. (IV.34b) 22 Diese Bezeichnung wird im Abschn. IV.3.3 a unten gerechtfertigt. IV. Dirac-Gleichung 37
N.BORGHINI Relativistische Quantenmechanik Elementarteilchenphysik Die Wahl zwischen Kommutatoren — für Teilchen mit ganzzahligem Spin — und Antikommutatoren — für Teilchen mit halbzahligem Spin — ist natürlich nicht beliebig, sondern folgt aus zwei Forderungen. Erstens soll die Energie positiv sein, so dass den Moden mit „negativer Energie“ Erzeugungsoperatoren assoziiert werden sollen. Dazu soll die Theorie lokal sein, d.h. Operatoren bezüglich Raumzeit-Punkte x, x ′ , getrennt durch ein raumartiges Intervall (x − x ′ ) 2 < 0, sollen miteinander (anti)kommutieren. Somit lautet der Dirac-Feldoperator ˆψ(x) = ĉp,σ u(p, σ) e −ip·x/ + ˆ d † σ=± p,σ d v(p, σ) eip·x/ 3p (2π) 32Ep/c (IV.35a) und dessen Dirac-adjungiertes Feld ˆ¯ψ(x) = ĉ † p,σ ū(p, σ) eip·x/ + ˆ dp,σ ¯v(p, σ) e −ip·x/ d3p . (IV.35b) (2π) 32Ep/c σ=± Bemerkung: Die Dimension des Dirac-Feldes lässt sich aus Gl. (IV.30a), (IV.34a) und (IV.35a) erkennen: ˆ ψ = L −3/2 , wie bei einer Schrödinger-Wellenfunktion. In einem System natürlicher Einheiten hat ˆ ψ die Dimension von E 3/2 . Ähnlich wie beim Klein–Gordon-Feld in Abschn. III.3.2 kann man zwei physikalische Operatoren benutzen, um die Deutung der Leiteroperatoren ĉp,σ, ˆ dp,σ zu erkennen. Beispielsweise kann man den Hamilton-Operator entsprechend der Dirac-Gleichung schreiben als 23 ˆH = ĉ † p,σĉp,σ − ˆ dp,σ ˆ d † σ=± p,σ Ep d 3 p = σ=± ĉ † p,σ ĉp,σ + ˆ d † Interpretiert man ĉp,σ, ˆ dp,σ als Vernichtungsoperatoren, und ĉ † p,σ , ˆ d † p,σ so sind ĉ † p,σ ˆ dp,σ − δ (3) (0) Ep d 3 p. (IV.36) als Erzeugungsoperatoren, p,σĉp,σ und ˆ d † p,σ ˆ dp,σ Besetzungszahloperatoren: jede Teilchenart trägt positiv zur Gesamt- energie bei. Interessanterweise kommt der Beitrag des Vakuums hier mit einem Minus-Vorzeichen, im Vergleich zum Plus-Vorzeichen in Gl. (III.15). Bemerkungen: ∗ Die einzigen Eigenwerte der Besetzungszahloperatoren ĉ † p,σĉp,σ und ˆ d † p,σ ˆ dp,σ sind entweder 0 — entsprechend der Abwesenheit von Teilchen mit Impuls p und Spinzustand σ — oder 1. Im Gegensatz zu den Teilchenoperatoren für Spin-0-Teilchen sind höhere Besetzungszahlen in einer Mode hier nicht möglich, entsprechend dem Pauli-Prinzip. Sei n ein Eigenwert eines Operators ĉ † ĉ, wobei ĉ und ĉ † antikommutieren, und |n〉 ein zugehöriger Eigenvektor: ĉ † ĉ|n〉 = n|n〉. Aus {ĉ, ĉ † } = ˆ1 folgt n|n〉 = (ˆ1 − ĉĉ † )|n〉 = |n〉 − ĉĉ † |n〉. Wenn n = 0, dann gilt |n〉 = n −1 ĉ † ĉ|n〉, so dass ĉĉ † |n〉 = n −1 ĉĉ † ĉ † ĉ|n〉 = 0, wobei die zweite Gleichung aus ĉ † ĉ † = 1 2 {ĉ† , ĉ † } = 0 folgt. Somit bleibt n|n〉 = |n〉, d.h. n = 1. Allgemeiner lassen sich Teilchen mit ganzzahligem Spin durch kommutierende Operatoren beschreiben, was zu einer Bose–Einstein-Statistik führt: sie sind also Bosonen. Dagegen sollen Teilchen mit halbzahligem Spin durch antikommutierende Operatoren beschrieben werden, und genügen deshalb der Fermi–Dirac-Statistik: solche Teilchen sind Fermionen. ∗ In supersymmetrischen Theorien entspricht jedem bosonischen Freiheitsgrad ein fermionischer Freiheitsgrad. Dank den entgegengesetzten Vorzeichen der bosonischen und fermionischen Beiträge zur Vakuumsenergie verschwindet dann die Letztere. 23 Durch die Feldoperatoren ausgedrückt lautet der Hamilton-Operator ˆH = c ψ(t, ˆ¯ x) −iγ · ∇ + mc ˆψ(t, x) d 3 x = c ˆψ(t, x) † −iγ 0 γ · ∇ + mc γ0 ˆψ(t, x) d 3 x. IV. Dirac-Gleichung 38
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