Übungen zu Experimentalphysik IV – Atome und Kerne - 4 ...

Aufgabe 1
Übungen zu Experimentalphysik IV – Atome und Kerne
SS 2013
Übungsblatt 4
Berechnen Sie den Erwartungswert der Gesamtenergie
hHi = h¡ 1 e
2
2 1
4¼²0 r i
des 1s und des 2p Zustandes und ermitteln Sie die Übergangsfrequenz zwischen diesen beiden
Zuständen. Verwenden Sie dazu die Wellenfunktion Ãnlm(r; #; ') = Rnl(r) ¢ Ylm(#; ') mit
q
1
Y0;0 = 4¼
R1;0
³ ´ 3=2
1 = 2 a0
q
3
Y1;0 = 4¼ cos # R2;0 = 2
Y1;§1 = ¨
sowie die Formel
Aufgabe 2
q
3
8¼ sin#e§i' R2;1 = 2 p
3
Z 1
0
r n e ¡ar dr = n!=a n+1 .
³ 1
2a0
³ 1
2a0
´ 3=2 ³
e ¡r=a0
1 ¡ r
2a0
´ 3=2 ³ r
2a0
´
e ¡r=2a0
´
e ¡r=2a0
Die Wahrscheinlichkeit dafür, ein Elektron im 1s Zustand mit radialer Wellenfunktion R(r)
außerhalb einer um den Kern zentrierten Kugelschale mit Radius r0 zu finden, ist durch die
folgende Funktion gegeben:
Z 1
r0
jR(r)j 2 r 2 dr
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, das Elektron außerhalb des Bohrradius a0, d.h. mit
r > a0, zu finden.
b) Berechnen Sie den Erwartungswert hri und vergleichen Sie diesen Wert mit dem Radius
rmax, bei dem die radiale Wahrscheinlichkeitsdichte maximal ist.
Hinweis:
Z
r n e ar dr = rn e ar
a
Z
n
¡
a
r n¡1 e ar dr

Aufgabe 3 *
Lösen Sie die Radialgleichung
·
¡ ~2
2m0
1
r 2
µ
d 2 d
r +
dr dr
~2`(` + 1)
2m0r2 für den Fall des Coulomb-Potentials
V (r) = ¡ Ze2
4¼²0r
mit einem Potenzreihenansatz.
Hinweise:
¸
+ V (r) R(r) = ER(r)
Führen Sie zunächst die folgenden Abkürzungen ein:
A = 2m0
~ 2 E =
(
¡· 2 fÄur E < 0
k 2 fÄur E > 0
% = 2·r B = m0Ze 2
4¼²0~ 2
Aus der obigen Differentialgleichung erhalten Sie nach Multiplikation mit ¡ 2m0
~ 2
1
4· 2 und der
Substitution von % für r eine neue Differentialgleichung, für die Sie den Ansatz
~R(%) = e ¡%=2 v(%) machen, was Ihnen eine weitere Differentialgleichung v(%) liefert.
Zur Lösung dieser DGL machen Sie einen Potenzreihenansatz der Form:
v(%) =
1X
aº% º+¹
º=0
Die zu bestimmenden Größen ¹ und aº erhalten Sie, indem Sie den Ansatz in die DGL
einsetzen, nach Potenzen von % sortieren und die Koeffizienten gleich Null setzen (wieso?).
Was erhalten Sie für die niedrigste Potenz? Stellen Sie die Rekursionsformel für die aº auf.
Wann bricht die Reihe ab? Was bedeutet dies physikalisch?
* Aufgabe nur für Studenten im Studiengang Physik.