Ein Abstandsmaß für dynamische Daten: Die Kreuzkorrelation

) Was ergibt sich für rX ′ Y ? (“ Übung” rY X ′, rX ′ X)
rX ′ Y = Cov(X′ , Y )
V ar(X ′ ) · sY
= Cov(aX + b, Y )
V ar(aX + b) · sY
1
= a · Cov(X, Y )
a2 · s2 X · sY
= a
√
a2 ·
sXY
sX · sY
= sign(a) · rXY
→ Diese Invarianz gegenüber linearen Transformationen macht
die Korrelation als Abstandsmaß so attraktiv.
zu 1:
zu 2:
Cov(aX + b, Y ) = Cov(X ′ , Y )
= E[(X ′ − ¯x ′ )(Y − ¯y)]
2
= E[(aX + b − (a¯x + b))(Y − ¯y)]
= E[a · (X − ¯x)(y − ¯y)]
2
= a · E[(X − ¯x)(Y − ¯y)]
= a · Cov(X, Y )
¯x ′ = E[aX + b]
=
pi(axi + b)
i
=
piaxi +
pib
i
= a
pixi + b
2
i
= a¯x + b
i
i
pi