Modellreduktion für gekoppelte thermo-elastische Systeme

10. Juli, 2013
Vollversammlung SFB/TR-96
Arbeitsbericht TP A06
Modellreduktion für gekoppelte
thermo-elastische Systeme
SFB/Transregio 96
Thermo-Energetische Gestaltung
von Werkzeugmaschinen
Peter Benner, Norman Lang, Jens Saak, Julia Vettermann
TU Chemnitz, Fakultät für Mathematik,
Eine systemische Lösung
Mathematik
des Zielkonflikts
in Industrie und Technik
von Energieeinsatz, Genauigkeit und Produktivität
am Beispiel der spanenden Fertigung
Arbeitsbericht TP A06 1/11

Überblick
1 Rückblick
2 Gekoppeltes Modell
SFB/Transregio 96
3 Numerische Ergebnisse
Thermo-Energetische Gestaltung
von Werkzeugmaschinen
Eine systemische Lösung des Zielkonflikts
von Energieeinsatz, Genauigkeit und Produktivität
am Beispiel der spanenden Fertigung
Arbeitsbericht TP A06 2/11

Rückblick
ˆ ANSYS FEM Semidiskretisierung:
◦ DOFs: n = 16626
◦ Eingänge: m = 20
◦ Ausgänge: p = 1
(bisher: Durchschnittstemp.)
SFB/Transregio 96
Thermo-Energetische Gestaltung
von Werkzeugmaschinen
Eine systemische Lösung des Zielkonflikts
von Energieeinsatz, Genauigkeit und Produktivität
am Beispiel der spanenden Fertigung
Arbeitsbericht TP A06 3/11

Rückblick
ˆ ANSYS FEM Semidiskretisierung:
◦ DOFs: n = 16626
◦ Eingänge: m = 20
◦ Ausgänge: p = 1
(bisher: Durchschnittstemp.)
SFB/Transregio 96
ˆ Berechnung eines reduzierten Modells
für Wärmeleitgleichung
Thermo-Energetische Gestaltung
von Werkzeugmaschinen
Eine systemische Lösung des Zielkonflikts
von Energieeinsatz, Genauigkeit und Produktivität
am Beispiel der spanenden Fertigung
Arbeitsbericht TP A06 3/11

Rückblick
ˆ ANSYS FEM Semidiskretisierung:
◦ DOFs: n = 16626
◦ Eingänge: m = 20
◦ Ausgänge: p = 1
(bisher: Durchschnittstemp.)
SFB/Transregio 96
ˆ Berechnung eines reduzierten Modells
für Wärmeleitgleichung
ˆ Berechnung statischer Deformation
anhand prolongierter Temperaturdaten
Thermo-Energetische Gestaltung
von Werkzeugmaschinen
Eine systemische Lösung des Zielkonflikts
von Energieeinsatz, Genauigkeit und Produktivität
am Beispiel der spanenden Fertigung
Arbeitsbericht TP A06 3/11

Rückblick
ˆ ANSYS FEM Semidiskretisierung:
◦ DOFs: n = 16626
◦ Eingänge: m = 20
◦ Ausgänge: p = 1
(bisher: Durchschnittstemp.)
SFB/Transregio 96
ˆ Berechnung eines reduzierten Modells
für Wärmeleitgleichung
ˆ Berechnung statischer Deformation
anhand prolongierter Temperaturdaten
Thermo-Energetische Gestaltung
ˆ Alternativ p = n ⇒ BT nicht
von Werkzeugmaschinen
anwendbar
Eine systemische Lösung des Zielkonflikts
von Energieeinsatz, Genauigkeit und Produktivität
am Beispiel der spanenden Fertigung
Arbeitsbericht TP A06 3/11

Rückblick
Probleme:
ˆ Das (Standard)-balancierte Abschneiden (BT) ist für p = n
nicht anwendbar.
SFB/Transregio 96
Thermo-Energetische Gestaltung
von Werkzeugmaschinen
Eine systemische Lösung des Zielkonflikts
von Energieeinsatz, Genauigkeit und Produktivität
am Beispiel der spanenden Fertigung
Arbeitsbericht TP A06 4/11

Rückblick
Probleme:
ˆ Das (Standard)-balancierte Abschneiden (BT) ist für p = n
nicht anwendbar.
ˆ Prolongation der reduzierten Daten ist fehlerbehaftet.
SFB/Transregio 96
Thermo-Energetische Gestaltung
von Werkzeugmaschinen
Eine systemische Lösung des Zielkonflikts
von Energieeinsatz, Genauigkeit und Produktivität
am Beispiel der spanenden Fertigung
Arbeitsbericht TP A06 4/11

Rückblick
Probleme:
ˆ Das (Standard)-balancierte Abschneiden (BT) ist für p = n
nicht anwendbar.
ˆ Prolongation der reduzierten Daten ist fehlerbehaftet.
ˆ Berechnung der Deformation anhand des vollen elastischen
Systems (Dimension: 3n).
SFB/Transregio 96
Thermo-Energetische Gestaltung
von Werkzeugmaschinen
Eine systemische Lösung des Zielkonflikts
von Energieeinsatz, Genauigkeit und Produktivität
am Beispiel der spanenden Fertigung
Arbeitsbericht TP A06 4/11

Rückblick
Probleme:
ˆ Das (Standard)-balancierte Abschneiden (BT) ist für p = n
nicht anwendbar.
ˆ Prolongation der reduzierten Daten ist fehlerbehaftet.
ˆ Berechnung der Deformation anhand des vollen elastischen
Systems (Dimension: 3n).
SFB/Transregio 96
Alternativer Lösungsweg:
Thermo-Energetische Gestaltung
Deformationsausgängen
von Werkzeugmaschinen
ˆ gekoppeltes System mit Temperatureingängen und
Eine systemische Lösung des Zielkonflikts
von Energieeinsatz, Genauigkeit und Produktivität
am Beispiel der spanenden Fertigung
Arbeitsbericht TP A06 4/11

Rückblick
Probleme:
ˆ Das (Standard)-balancierte Abschneiden (BT) ist für p = n
nicht anwendbar.
ˆ Prolongation der reduzierten Daten ist fehlerbehaftet.
ˆ Berechnung der Deformation anhand des vollen elastischen
Systems (Dimension: 3n).
SFB/Transregio 96
Alternativer Lösungsweg:
Thermo-Energetische Gestaltung
Deformationsausgängen
von Werkzeugmaschinen
ˆ gekoppeltes System mit Temperatureingängen und
ˆ keine Notwendigkeit eines vollen
Eine systemische Temperaturausgangs Lösung des (CZielkonflikts
th = I n ) ⇒ BT verwendbar
von Energieeinsatz, Genauigkeit und Produktivität
am Beispiel der spanenden Fertigung
Arbeitsbericht TP A06 4/11

Gekoppeltes Modell
Betrachte jetzt
E th Ṫ = A th T + B th z,
0 = A thel T − A el u + B el z,
y = C th T + C el u,
SFB/Transregio 96
mit E th , A th ∈ R n×n , B th ∈ R n×m , C th ∈ R p×n ,
A el ∈ R 3n×3n , A thel ∈ R 3n×n , B el ∈ R 3n×m und C el ∈ R p×3n .
Thermo-Energetische Gestaltung
von Werkzeugmaschinen
Eine systemische Lösung des Zielkonflikts
von Energieeinsatz, Genauigkeit und Produktivität
am Beispiel der spanenden Fertigung
Arbeitsbericht TP A06 5/11

Gekoppeltes Modell
Betrachte jetzt
E th Ṫ = A th T + B th z,
0 = A thel T − A el u + B el z,
y = C th T + C el u,
SFB/Transregio 96
mit E th , A th ∈ R n×n , B th ∈ R n×m , C th ∈ R p×n ,
A el ∈ R 3n×3n , A thel ∈ R 3n×n , B el ∈ R 3n×m und C el ∈ R p×3n .
[ ] [
Eth 0 T ˙ ] [ ] [ ]
Ath 0
Bth
=
+ z
u B el
] (DAE)
] [ T
Thermo-Energetische 0 0 A thel Gestaltung
−A el u
von Werkzeugmaschinen
y = [ ] [ T
C th , C el
u
Eine systemische Lösung des Zielkonflikts
von Energieeinsatz, Genauigkeit und Produktivität
am Beispiel der spanenden Fertigung
Arbeitsbericht TP A06 5/11

Gekoppeltes Modell
Betrachte jetzt
E th Ṫ = A th T + B th z,
0 = A thel T − A el u
y = + C el u,
SFB/Transregio 96
mit E th , A th ∈ R n×n , B th ∈ R n×m , C th ∈ R p×n ,
A el ∈ R 3n×3n , A thel ∈ R 3n×n , B el ∈ R 3n×m und C el ∈ R p×3n .
[ ] [
Eth 0 T ˙ ] [ ] [ ]
Ath 0
Bth
=
+ z
u 0
] (DAE)
] [ T
Thermo-Energetische 0 0 A thel Gestaltung
−A el u
von Werkzeugmaschinen
y = [ ] [ T
0 , C el
u
Eine systemische Lösung des Zielkonflikts
von Energieeinsatz, Genauigkeit und Produktivität
am Beispiel der spanenden Fertigung
Arbeitsbericht TP A06 5/11

Gekoppeltes Modell
Betrachte jetzt
E th Ṫ = A th T + B th z,
0 = A thel T − A el u
y = + C el u,
SFB/Transregio 96
mit E th , A th ∈ R n×n , B th ∈ R n×m , C th ∈ R p×n ,
A el ∈ R 3n×3n Index-1 differentiell-algebraisches
, A thel ∈ R 3n×n , B el ∈ R 3n×m System
und C el ∈ R p×3n .
[ ] [
Eth 0 T ˙ ] [ ] [ ]
Ath 0
Bth
=
+ z
u 0
] (DAE)
] [ T
Thermo-Energetische 0 0 A thel Gestaltung
−A el u
von Werkzeugmaschinen
y = [ ] [ T
0 , C el
u
Eine systemische Lösung des Zielkonflikts
von Energieeinsatz, Genauigkeit und Produktivität
am Beispiel der spanenden Fertigung
Arbeitsbericht TP A06 5/11

Gekoppeltes Modell
BT für allgemeine DAEs
Berechne Systemgramsche als Lösung projezierter
Lyapunovgleichungen, d.h.,
SFB/Transregio 96
z.B. [Mehrmann/Stykel ’05]
1 zusätliche Projektion auf endliche bzw. unendliche Eigenwerte
λ f , λ ∞ von λE − A nötig,
Thermo-Energetische Gestaltung
von Werkzeugmaschinen
Eine systemische Lösung des Zielkonflikts
von Energieeinsatz, Genauigkeit und Produktivität
am Beispiel der spanenden Fertigung
Arbeitsbericht TP A06 6/11

Gekoppeltes Modell
BT für allgemeine DAEs
Berechne Systemgramsche als Lösung projezierter
Lyapunovgleichungen, d.h.,
SFB/Transregio 96
Thermo-Energetische Gestaltung
von Werkzeugmaschinen
Eine systemische Lösung des Zielkonflikts
von Energieeinsatz, Genauigkeit und Produktivität
am Beispiel der spanenden Fertigung
z.B. [Mehrmann/Stykel ’05]
1 zusätliche Projektion auf endliche bzw. unendliche Eigenwerte
λ f , λ ∞ von λE − A nötig,
2 es müssen Beobachtbarkeits- sowie Steuerbarkeitsgramsche für
λ f und λ ∞ berechnet werden.
Arbeitsbericht TP A06 6/11

Gekoppeltes Modell
BT für allgemeine DAEs
Berechne Systemgramsche als Lösung projezierter
Lyapunovgleichungen, d.h.,
SFB/Transregio 96
Thermo-Energetische BT für Index-1 DAEs Gestaltung
von Werkzeugmaschinen
Eine
Dimension
systemische
4n.
Lösung des Zielkonflikts
von Energieeinsatz, Genauigkeit und Produktivität
am Beispiel der spanenden Fertigung
z.B. [Mehrmann/Stykel ’05]
1 zusätliche Projektion auf endliche bzw. unendliche Eigenwerte
λ f , λ ∞ von λE − A nötig,
2 es müssen Beobachtbarkeits- sowie Steuerbarkeitsgramsche für
λ f und λ ∞ berechnet werden.
Berechne je 2 Beobachtbarkeits- und Steuerbarkeitsgramsche der
Arbeitsbericht TP A06 6/11

Gekoppeltes Modell
BT für Index-1 DAEs
Schur-Komplement-Darstellung [Freitas/Rommes/Martins ’08]
E th Ṫ = A th T + B th z,
0 = − A el u + A thel T ,
y = C el u
SFB/Transregio 96
Thermo-Energetische Gestaltung
von Werkzeugmaschinen
Eine systemische Lösung des Zielkonflikts
von Energieeinsatz, Genauigkeit und Produktivität
am Beispiel der spanenden Fertigung
Arbeitsbericht TP A06 7/11

Gekoppeltes Modell
BT für Index-1 DAEs
Schur-Komplement-Darstellung [Freitas/Rommes/Martins ’08]
E th Ṫ = A th T + B th z,
0 = −C el A −1
el
A el u + C el A −1
el
A thel T ,
y = C el u
SFB/Transregio 96
Thermo-Energetische Gestaltung
von Werkzeugmaschinen
Eine systemische Lösung des Zielkonflikts
von Energieeinsatz, Genauigkeit und Produktivität
am Beispiel der spanenden Fertigung
Arbeitsbericht TP A06 7/11

Gekoppeltes Modell
BT für Index-1 DAEs
Schur-Komplement-Darstellung [Freitas/Rommes/Martins ’08]
E th Ṫ = A th T + B th z,
0 = −C el A −1
el
A el u + C el A −1
el
A thel T ,
y = C el u
SFB/Transregio 96
+
Thermo-Energetische Gestaltung
von Werkzeugmaschinen
Eine systemische Lösung des Zielkonflikts
von Energieeinsatz, Genauigkeit und Produktivität
am Beispiel der spanenden Fertigung
Arbeitsbericht TP A06 7/11

Gekoppeltes Modell
BT für Index-1 DAEs
Schur-Komplement-Darstellung [Freitas/Rommes/Martins ’08]
E th Ṫ = A th T + B th z,
y = C el A −1
el
A thel T
SFB/Transregio 96
Thermo-Energetische Gestaltung
von Werkzeugmaschinen
Eine systemische Lösung des Zielkonflikts
von Energieeinsatz, Genauigkeit und Produktivität
am Beispiel der spanenden Fertigung
Arbeitsbericht TP A06 7/11

Gekoppeltes Modell
BT für Index-1 DAEs
Schur-Komplement-Darstellung [Freitas/Rommes/Martins ’08]
E th Ṫ = A th T + B th z,
y = ¯CT
SFB/Transregio 96
Thermo-Energetische Gestaltung
von Werkzeugmaschinen
Eine systemische Lösung des Zielkonflikts
von Energieeinsatz, Genauigkeit und Produktivität
am Beispiel der spanenden Fertigung
Arbeitsbericht TP A06 7/11

Gekoppeltes Modell
BT für Index-1 DAEs
Schur-Komplement-Darstellung [Freitas/Rommes/Martins ’08]
E th Ṫ = A th T + B th z,
y = ¯CT
SFB/Transregio 96
Berechnung des reduzierten Modells
Berechne die Systemgramschen durch Lösen von
A th PE th T + E th PA th T = −B th B th
T
Thermo-Energetische Gestaltung
von Werkzeugmaschinen
A T th QE th + E T th QA th = − ¯C T ¯C
Eine systemische Lösung des Zielkonflikts
von Energieeinsatz, Genauigkeit und Produktivität
am Beispiel der spanenden Fertigung
(Dimension: n)
Arbeitsbericht TP A06 7/11

Gekoppeltes Modell
Vergleich
Bisher:
1 Reduktion des Wärmeleitmodells
2 Simulation der red. Daten
3 Prolongation der red. Daten
SFB/Transregio 96
4 Berechnung Deformation
Thermo-Energetische Gestaltung
von Werkzeugmaschinen
Eine systemische Lösung des Zielkonflikts
von Energieeinsatz, Genauigkeit und Produktivität
am Beispiel der spanenden Fertigung
Arbeitsbericht TP A06 8/11

Gekoppeltes Modell
Vergleich
Bisher:
1 Reduktion des Wärmeleitmodells
2 Simulation der red. Daten
3 Prolongation der red. Daten
SFB/Transregio 96
4 Berechnung Deformation
Jetzt:
Thermo-Energetische Gestaltung
Wärmeleitmodells + ¯C
von Werkzeugmaschinen
1 Reduktion des gekoppelten Systems auf Basis des
2 Simulation der red. Daten
Eine systemische Lösung des Zielkonflikts
von Energieeinsatz, Genauigkeit und Produktivität
am Beispiel der spanenden Fertigung
Arbeitsbericht TP A06 8/11

Numerische Ergebnisse
Modelleigenschaften:
ˆ Temperatureingänge m = 20
ˆ BT Toleranz 1e − 9
SFB/Transregio 96
Thermo-Energetische Gestaltung
von Werkzeugmaschinen
Eine systemische Lösung des Zielkonflikts
von Energieeinsatz, Genauigkeit und Produktivität
am Beispiel der spanenden Fertigung
Arbeitsbericht TP A06 9/11

Numerische Ergebnisse
Modelleigenschaften:
ˆ Temperatureingänge m = 20
ˆ BT Toleranz 1e − 9
Geteiltes Modell:
ˆ Temperaturausgänge p = 9
SFB/Transregio 96
Thermo-Energetische Gestaltung
von Werkzeugmaschinen
Eine systemische Lösung des Zielkonflikts
von Energieeinsatz, Genauigkeit und Produktivität
am Beispiel der spanenden Fertigung
Arbeitsbericht TP A06 9/11

Numerische Ergebnisse
Modelleigenschaften:
ˆ Temperatureingänge m = 20
ˆ BT Toleranz 1e − 9
Geteiltes Modell:
ˆ Temperaturausgänge p = 9
SFB/Transregio 96
Gekoppeltes Modell:
ˆ Deformationsausgänge p = 27
Thermo-Energetische Gestaltung
von Werkzeugmaschinen
Eine systemische Lösung des Zielkonflikts
von Energieeinsatz, Genauigkeit und Produktivität
am Beispiel der spanenden Fertigung
Arbeitsbericht TP A06 9/11

Numerische Ergebnisse
Modelleigenschaften:
ˆ Temperatureingänge m = 20
ˆ BT Toleranz 1e − 9
Geteiltes Modell:
ˆ Temperaturausgänge p = 9
SFB/Transregio 96
Gekoppeltes Modell:
ˆ Deformationsausgänge p = 27
Modelle
geteilt
gekoppelt
Thermo-Energetische Red. Ord. r 195 Gestaltung
67
Dimension r + 3n r
Zeit [s] 118.51 + 1.1705 + 84.94 148.92 + 0.0069
von Werkzeugmaschinen
Zeit ges. in [s] 204.5205 148.9217
Eine systemische Lösung des Zielkonflikts
Reduktion, Simulation, Deformationsberechnung
von Energieeinsatz, Genauigkeit und Produktivität
am Beispiel der spanenden Fertigung
Arbeitsbericht TP A06 9/11

Temp. in [ ◦ C]
Numerische Ergebnisse
Bisheriges Vorgehen
Temperaturkurven
relativer Fehler
30
original
10 −5
28 reduziert
26
10
SFB/Transregio −8
96
24
10 −11
Thermo-Energetische
22
Gestaltung
von 20 Werkzeugmaschinen
10
0 4 8 12 16
−14
0 4 8 12 16
Eine systemische Lösung des Zielkonflikts
Zeit in [h]
Zeit in [h]
von Energieeinsatz, Genauigkeit und Produktivität
am Beispiel der spanenden Fertigung
Arbeitsbericht TP A06 10/11

Numerische Ergebnisse
Bisheriges Vorgehen
30
Deformationskurven
relativer Fehler
Versch. in [µm]
10
−10
−30
10 0 Zeit in [h]
10 −2
SFB/Transregio 96
10 −4
10 −6
Thermo-Energetische
−50
original Gestaltung
reduziert
von Werkzeugmaschinen
−70
0 4 8 12 16 0 4 8 12 16
Eine systemische Lösung des Zielkonflikts
Zeit in [h]
von Energieeinsatz, Genauigkeit und Produktivität
am Beispiel der spanenden Fertigung
Arbeitsbericht TP A06 10/11

Numerische Ergebnisse
Gekoppeltes System
30
Deformationskurven
relativer Fehler
Versch. in [µm]
10
−10
−30
10 0 Zeit in [h]
10 −2
SFB/Transregio 96
10 −4
10 −6
Thermo-Energetische
−50
original Gestaltung
reduziert
von Werkzeugmaschinen
−70
0 4 8 12 16 0 4 8 12 16
Eine systemische Lösung des Zielkonflikts
Zeit in [h]
von Energieeinsatz, Genauigkeit und Produktivität
am Beispiel der spanenden Fertigung
Arbeitsbericht TP A06 11/11