Ein Abstandsmaß für dynamische Daten: Die Kreuzkorrelation

Kombinatorik
Ein typisches Beispiel für die Notwendigkeit kombinatorischer Zählmethoden
ist das Geburtstagsparadoxon.
’Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 23 Menschen zwei am gleichen Tag
Geburtstag haben?’ (ohne Berücksichtigung des Jahrgangs)
Die Antwort ist am Ende zu finden.
Begriffsklärung Die Kombinatorik beschäftigt sich mit der Bestimmung der
Mächtigkeit von Mengen, deren Elemente beispielsweise spezielle Anordnungen, Ziehungen,
Bäume, Graphen, etc. sind.
Die Zahl wird über die Kombination elementarer Abzählmethoden, die als/über Urnenmodell(e)
oder ähnliches aufgefasst/veranschaulicht werden können, errechnet.
Motivation: Besitzt ein Enzym mehrere Bindestellen für Liganden, so sind beim
Modellieren alle möglichen Konformationen zu berücksichtigen. Die notwendigen
Formeln stammen aus der Kombinatorik.
Um zu entscheiden, welche Formel anzuwenden oder wie eine neue Formel zu gewinnen
ist, muss verstanden werden, wie die grundlegenden Handgriffe beim methodischen
Abzählen funktionieren.
Elementare Zählmethoden
1. Variation mit Zurücklegen
Vorstellung:
In einer Urne befinden sich n nummerierte Kugeln. Es wird k-mal eine
Kugel gezogen und das Ergebnis notiert. Dann wird die gezogene Kugel
zurückgelegt und eine weitere gezogen, so dass am Ende eine Abfolge von
k gezogenen Nummern auf dem Papier steht.
(↩→ jeder Ziehung mit n = 4 und k = 1000 entspricht genau eine DNA-
Sequenz der Länge 1000 Nukleotide (Basen).)
Idee:
Pro gezogener Kugel gibt es n (unabh.) Möglichkeiten
↩→ Formel: n k Möglichkeiten
n
· n · n
· n · . . . · n
= n
k
k
Veranschaulichung
n = 3 Kugeln in der Urne, k = 2 mal Ziehen
Mögliche Resultate (1. Ziehung, 2. Ziehung):
(1,1) (2,1)
⎫
(3,1) ⎬
(1,2)
(1,3)
(2,2)
(2,3)
n=3
(3,2) n = 3
⎭
(3,3)
↩→ # versch. Ziehungen = 32 = 9
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