Aufgaben für die Vorlesung Matroidtheorie - ZIB

Aufgaben für die Vorlesung Matroidtheorie
Jácint Szabó
February 2, 2011
Es gibt eine zweiwöchige Frist für die Abgabe der Lösungen.
1. Vorlesung, 19/10
1/a. U4,2 ist repräsentierbar über dem Körper K ⇐⇒ K = F2.
1/b. Die paarweise Parallelität ist eine Äquivalenzrelation.
1/c. Graphische Matroide sind regulär.
2. Vorlesung, 26/10
2/a. (Greene) Für je zwei Basen B1 und B2 gibt es eine Bijektion ϕ : B1 \B2 → B2 \B1,
so dass für alle x ∈ B1 \B2 die Menge B1 −x+ϕ(x) eine Basis ist.
2/b. (i) Die Hyperebenen sind genau die Komplemente von Cokreisen.
(ii) Für jeden Kreis C und Cokreis Q gilt |Q∩C| = 1.
3. Vorlesung, 2/11
3/a. Gelten (B1), (B2) für B ⊆ P(S), so ist (S,F = {F ⊆ S : ∃B ∈ B,F ⊆ B}) ein Matroid
mit Basissystem B.
3/b. Für einen ungerichteten Graphen G ist M(G) zusammenhängend genau dann, wenn G
2-zusammenhängend ist und keine Schlinge besitzt.
4. Vorlesung, 9/11
4/a. M/T = M \T ⇐⇒ M = M|T ⊕M|S−T.
4/b. G und H sind 3-zusammenhängende Graphen. Beweisen Sie, dass M(G) ≃ M(H) =⇒
G ≃ H. (Hilfe: zusammenhängende Hyperebenen).
5. Vorlesung, 16/11
5/a. M ∗ (K3,3) ist nicht graphisch.
5/b. Sei c : S → R eine Gewichtsfunktion und k ∈ N. F ∈ F hat maximales Gewicht unter
den unabhängigen Teilmengen mit k Elementen genau dann, wenn die zwei folgenden
Voraussetzungen erfüllt sind:
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(i.) y /∈ F, x ∈ C(F,y) =⇒ c(x) ≥ c(y),
(ii.) y /∈ F, F +y ∈ F, x ∈ F =⇒ c(x) ≥ c(y).
5/c. G ist ein zusammenhängender Graph und c : E(G) → R ist eine Gewichtsfunktion.
ZeigenSiedassderfolgendeAlgorithmuseinenmaximalenaufspannendenBaumfindet.
Preproc: Wir sortieren die Kanten so dass c(e 1 ) ≤ ... ≤ c(e m ) gilt.
Schritt i: Wir werfen e i weg, wenn der übrigbleibende Graph zusammenhängend ist.
6. Vorlesung, 23/11
6/a. (Mendelsohn-Dulmage) Sei G = (S,T;E) ein bipartiter Graph und U ⊆ S, V ⊆ T.
Gibt es zwei Matchings in G die die Knotenmengen U bzw. V überdecken, so gibt es
ein Matching in G das U ∪V überdeckt.
7. Vorlesung, 30/11
7/a. SeiD = (V,A)eingerichteterGraphundL ⊆ V eineKnotenmengemit|L| = k. AusD
konstruieren wir einen bipartiten Graphen G = (V,V ′ −L ′ ;E), wobei V ′ = {v ′ : v ∈ V}
einfach eine Kopie von V ist, und E = {vv ′ : v ∈ V −L}∪{uv ′ : −→ uv ∈ A, v ∈ V −L}.
Zeigen Sie dass in D eine k-elementige Knotenmenge X ⊆ V mit L verknüpft werden
kann genau dann wenn G−X ein vollständiges Matching hat. (Wir sagen dass X mit
L verknüpft werden kann, wenn |X| = k und es k knotendisjunkte gerichtete Wege von
L nach X gibt.)
8. Vorlesung, 8/12
8/a. Leiten Sie Rados Satz von der Rangformel des homomorphischen Bildes ab.
8/b. (i.) Ein Matroid M hat k disjunkte Basen genau dann, wenn k(r(S)−r(X)) ≤ |S−X|
gilt für alle X ⊆ S.
(ii.) Ein Matroid M kann mit k Basen überdeckt werden genau dann, wenn kr(X) ≥
|X| gilt für alle X ⊆ S.
9. Vorlesung, 14/12
9/a. (Greene-Magnanti) Seien B, B ′ Basen, und B = X1 ˙∪X2 eine Partition von B. Dann
gibt es eine Partition B ′ = Y1 ˙∪Y2 so dass X1 ∪Y2, X2 ∪Y1 Basen sind.
10. Vorlesung, 4/1
10/a. (i.) (Lovász) Sei H = (V,E) ein Hypergraph. M(H) ist das freie Matroid ⇔ | F| ≥
|F|+1 für alle ∅ = F ⊆ E.
(ii.) Sei H = (V,E) ein Hypergraph. Wenn | F| ≥ |F|+1 für alle ∅ = F ⊆ E, dann
können die Knoten von H mit zwei Farben gefärbt werden so dass jede Kante
bunt ist (war eine Vermutung von Erdős).
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11. Vorlesung, 18/1
11/a. G = (V,E)isteinungerichteterkantengefärbterGraph. EntwickleeinenAlgorithmus,
der entscheidet, ob G einen aufspannenden Baum mit |V|−1 (d.h. maximum
möglich) Farben besitzt.
11/b. Sei G = (V,E) ein ungerichteter Graph und b : V → N, b ≥ 1 eine Funktion. Ein
b-Detachment ist ein Graph mit Knotenmenge {vi : v ∈ V, 1 ≤ i ≤ b(v)} und eine
wie folgend dargestellte Kantenmenge: wir nehmen für jede Kante e ∈ E zwischen
u und v eine beliebige Kante zwischen {ui : 1 ≤ i ≤ b(u)} und {vi : 1 ≤ i ≤ b(v)}.
Entwickle einen Algorithmus, der entscheidet, ob G ein zusammenhängendes b-
Detachment besitzt.
12. Vorlesung, 25/1
12/a. Das Polyeder P ⊆ R S besitzt die Integer-Decomposition-Eigenschaft (IDE), wenn
jeder Vektor v ∈ kP ∩Z S (k ∈ N) kann in v = {vi : 1 ≤ i ≤ k}, vi ∈ P ∩Z S
zerlegt werden. (kP = {ku : u ∈ P}.) Zeigen Sie dass für Matroidrangfunktion r,
Polyeder P(r) und B(r) besitzen IDE.
12/b. M ist ein Matroid auf Grundmenge T mit Rangfunktion r, und ϕ : T → S. Für
m ∈ N S es gilt:
13. Vorlesung, 1/2
m ∈ B(r(ϕ −1 )) ⇐⇒ ∃B Basis : |B ∩ϕ −1 (s)| = m(s) ∀s ∈ S.
13/a. Mi = (S,Fi), i = 1,2 sind Matroide auf der gleichen Grundmenge S, so dass S
sowohl eine Partition zu k Basen von M1, als auch eine Partition zu k Basen von
M2 besitzt. Zeigen Sie, dass M1 und M2 eine gemeinsame Basis haben.
13/b. (Brualdi) Sei (S1,S2;E) ein bipartiter Graph, und Mi = (Si,Fi) ein Matroid, für
i = 1,2. Zeigen Sie, dass
max{|F| : F ⊆ E, V(F)∩Si ∈ Fi} =
min{r1(X1)+r2(X2) : Xi ⊆ Si, X1 ∪X2 überdeckt E}.
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