finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB
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Literaturverzeichnis<br />
(P) min {c T x | Ax ≥ b, x ≥ 0} und<br />
(D) max {y T b | y T A ≤ c T , y ≥ 0},<br />
dann gilt Folgen<strong>des</strong>: Seien x0 ∈ R n und y0 ∈ R m Punkte mit Ax0 ≥ b, x0 ≥ 0 und<br />
y T 0 A ≤ cT , y0 ≥ 0, dann gilt<br />
y T 0 b ≤ c T x0. △<br />
Beweis. Durch einfaches Einsetzen:<br />
y T 0 b ≤ y T 0 (Ax0) = (y T 0 A)x0 ≤ c T x0. ✷<br />
Satz (2.12) wird schwacher Dualitätssatz genannt, (D) heißt das zu (P) duale LP und<br />
(P) wird in diesem Zusammenhang als primales LP bezeichnet. Für Optimallösungen x ∗<br />
und y ∗ von (P) bzw. (D) gilt nach (2.12) y ∗T b ≤ c T x ∗ , das duale Problem liefert also stets<br />
eine untere Schranke für das primale Problem. Wir werden später zeigen, dass in diesem<br />
Falle sogar immer y ∗T b = c T x ∗ gilt. Diese starke Dualität, also das Übereinstimmen<br />
der Optimalwerte von (P) und (D) ist allerdings nicht ganz so einfach zu beweisen wie<br />
Satz (2.12).<br />
Die schwache Dualität überträgt sich auch auf ganzzahlige lineare Programme, für die<br />
jedoch im Allgemeinen kein starker Dualitätssatz gilt. Genauer gilt folgender Zusammenhang:<br />
Literaturverzeichnis<br />
min {c T x | Ax ≥ b, x ≥ 0, x ∈ Z}<br />
≥ min {c T x | Ax ≥ b, x ≥ 0}<br />
= max {y T b | y T A ≤ c T , y ≥ 0}<br />
≥ max {y T b | y T A ≤ c T , y ≥ 0, y ∈ Z}.<br />
Zur linearen Algebra existieren unzählige Bücher. Deswegen geben wir hierzu keine Literaturliste<br />
an, sondern listen hier ausschließlich Literatur zur Graphentheorie und zur<br />
linearen Programmierung.<br />
M. Aigner. Graphentheorie: Eine Entwicklung aus dem 4-Farben-Problem. Teubner Verlag,<br />
Studienbücher : Mathematik, Stuttgart, 1984. ISBN 3-519-02068-8.<br />
Berge and Ghouila-Houri. Programme, Spiele, Transportnetze. Teubner Verlag, Leipzig,<br />
1969.<br />
B. Bollobás. Modern Graph Theory. Springer Verlag, New York, 1998. ISBN 0-387-<br />
98488-7.<br />
J. A. Bondy and U. S. R. Murty. Graph Theory. Springer, Berlin, 2008.<br />
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