Rotationen mit Quaternionen - Lehrstuhl für Mathematik III ...

Universität Mannheim
Fakultät für Mathematik und Informatik
Lehrstuhl für Mathematik III
Seminar Analysis und Geometrie
Professor Dr. Martin Schmidt, Markus Knopf, Jörg Zentgraf
- Rotationen mit Quaternionen -
Bastian Höger
18. März 2009

Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
2 Der Quaternionenoperator und seine Eigenschaften 1
2.1 Geometrische Betrachtungsweise . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2.2 Ein spezielles Quaternionenprodukt . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Eigenschaften des Quaternionenoperators . . . . . . . . . . . . 3
2.3.1 Die Eigenschaft der Linearität . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3.2 Die Eigenschaft des Längenerhalts . . . . . . . . . . . . 4
2.3.3 Eine explizite Rechenformel für den Ausgabevektor w . 4
2.3.4 Indiz für die Rotationsachse . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3.5 Indiz für den Rotationswinkel . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Die R 3 -Rotation mithilfe des Rotationsoperators LQ 7
4 R 3 -Rotationen mit Operatorsequenzen 12
Literaturverzeichnis 13

1 Einleitung
Eine Rotation im euklidischen Raum R 3 kann verstanden werden als längenerhaltende
positive Drehung eines Objektes (etwa ein Punkt oder ein
Vektor) um eine Rotationsachse in einem bestimmten Winkel. Eine häufige,
wenn auch aufwendige Möglichkeit, eine solche Rotation zu realisieren ist,
die Rotation als eine Links-Multiplikation des zu rotierenden Objekts mit
einer 3 × 3-Matrix M aufzufassen (vgl. Seminarvortrag 1: Rotationen in R 3 ).
Jedoch ist gerade die Konstruktion von M im Allgemeinen mit relativ hohem
Rechenaufwand verbunden. Bei der Suche nach einfacheren Methoden,
R 3 -Rotationen zu realisieren, sind wir auf den nicht-kommutativen Divisionsring
H der Hamilton-Zahlen gestoßen (vgl. Seminarvortrag 2: Quaternionen).
Wie wir gesehen hatten, besitzt dieser Schiefkörper einige für unsere
Zwecke interessante und sehr nützliche Eigenschaften. So können aus seinen
Elementen, den Quaternionen, sogenannte Quaternionenoperatoren
LQ(v) := Qv ¯ Q (1)
L ¯ Q(v) := ¯ QvQ (2)
konstruiert werden, die – angewandt auf Vektoren v ∈ R 3 – wiederum Vektoren
des R 3 liefern. In Anlehnung an Kapitel 5 aus J. Kuipers Buch ”Quaternions
and Rotation Sequences”[1] wird die vorliegende Ausarbeitung auf
Basis dieser Beobachtung zunächst genauer auf Quaternionenoperatoren sowie
einige ihrer Eigenschaften eingehen. Es werden außerdem Indizien dafür
gesammelt, dass sich mit Quaternionen tatsächlich Rotationen realisieren lassen.
Im dritten und vierten Kapitel der Ausarbeitung schließlich soll bewiesen
werden, dass sich Quaternionenoperatoren und sogar Operatorsequenzen für
Rotationen in R 3 eignen.
2 Der Quaternionenoperator und seine Eigenschaften
2.1 Geometrische Betrachtungsweise
Wie zu Beginn bereits erwähnt, muß eine Rotation die folgenden drei Eigenschaften
besitzen:
(i) Eigenschaft des Längenerhalts
(ii) Existenz einer Rotationsachse
(iii) Existenz eines Rotationswinkels
1

Sollten Quaternionenoperatoren in irgendeiner Form für die Realisation einer
Rotation nützlich sein, muss zunächst der Frage nachgegangen werden, wie
einem solchen Operator ein Rotationswinkel zugeordnet werden kann. Allgemeiner:
Wie kann einem Quaternion Q ein Winkel θ zugeordnet werden?
Für die Beantwortung dieser und aller weiteren Fragen dieser Ausarbeitung
sollen ab hier nur noch sogenannte Einheitsquaternionen betrachtet werden,
also Quaternionen Q = q0 + q mit q0 ∈ R, q = (q1i + q2j + q3k) ∈ R 3 und der
Norm N(Q) = 1. Für alle Q mit dieser Normeigenschaft folgt
q 2 0 + |q| 2 = 1
Da alle Winkel θ die Gleichung cos 2 θ + sin 2 θ = 1 erfüllen, muss es ein θ
geben, für das
cos 2 θ = q 2 0 (3)
sin 2 θ = |q| 2
erfüllt ist. Wir wählen dieses θ zwischen 0 und π, dann gibt es eine eindeutige
Lösung der obigen Gleichungen. θ ist somit der Winkel zwischen den Vektoren
(1, 0) und (q0, |q|). Da wir später sehen werden, dass das Doppelte dieses
Winkels den Drehwinkel ergeben wird, erhalten wir auch alle Drehwinkel
zwischen 0 und 2π. Für eine eindeutige Darstellung des Imaginärteils q als
Vektor in R 3 benötigen wir noch einen Einheitsvektor u mit
u := q
|q|
= q
sin θ
Dieser gibt die Richtung von q an und hat Norm N(u) = 1. Mit Hilfe von u
lässt sich der Imaginärteil schließlich eindeutig schreiben als q = u sin θ ∈ R 3 .
Damit erhalten wir für die eindeutige Darstellung von Q durch den Winkel
θ
(4)
(5)
Q = cos θ + u sin θ (6)
Ersetzen wir den Winkel θ durch −θ, erhalten wir mit den Eigenschaften von
Sinus und Cosinus
cos(−θ) + u sin(−θ) = cos θ − u sin θ = ¯ Q
Es ist also möglich, einem Quaternion Q eindeutig einen Winkel θ zuzuordnen.
Entsprechend wird ¯ Q der Winkel −θ zugeordnet. Dieser Winkel liegt
zwischen 0 und −π. In den nächsten Abschnitten sollen Indizien dafür gesammelt
werden, dass sich die Operatoren (1) und (2) tatsächlich für Rotationen
in R 3 eignen.
2

2.2 Ein spezielles Quaternionenprodukt
Gegeben seien zwei Einheitsquaternionen P, Q ∈ H, die beide den gleichen
Einheitsvektor u besitzen:
P = cos α + u sin α
Q = cos β + u sin β
Gesucht ist das Produkt R = P Q. Mit den Rechenregeln der Quaternionenmultiplikation
folgt
R = P Q = (cos α + u sin α)(cos β + u sin β)
= cos α cos β − sin α sin β +u cos α sin β + u sin α cos β
=1
+ sin α sin β (u × u)
=0
= (cos α cos β − sin α sin β) + u(cos α sin β + sin α cos β)
= cos(α + β) + u sin(α + β)
= cos γ + u sin γ
Offensichtlich ist R wieder ein Einheitsquaternion mit Einheitsvektor u. Der
R zugeordnete Winkel γ ist gerade gleich der Summe der P und Q zugeordneten
Winkel α und β. Sollte man Quaternionen tatsächlich auf irgendeine Art
und Weise für Rotationen verwenden können, so scheint dem Einheitsvektor
u hier eine besondere Rolle zuzukommen.
2.3 Eigenschaften des Quaternionenoperators
Im Folgenden sollen nun einige Eigenschaften des Quaternionenoperators herausgearbeitet
werden. Die Rechnungen werden zwar nur für LQ durchgeführt,
gelten jedoch analog für L ¯ Q. Für den Fall, dass sich Ergebnisse unterscheiden,
wird darauf hingewiesen werden.
2.3.1 Die Eigenschaft der Linearität
Eine für die weitere Betrachtung von Quaternionenoperatoren sehr wichtige
Eigenschaft gibt das folgende Lemma an.
Lemma 1. LQ ist ein linearer Operator.
3

Beweis. Sei ra + b ∈ R 3 mit r ∈ R, a, b ∈ R 3 .
LQ(ra + b) = Q(ra + b) ¯ Q
Dist.G
= (rQa + Qb) ¯ Q
2.3.2 Die Eigenschaft des Längenerhalts
Dist.G
= rQa ¯ Q + Qb ¯ Q = rLQ(a) + LQ(b) (7)
Lemma 2. Der Quaternionenoperator LQ lässt die Länge eines Eingabevektors
v ∈ R 3 unverändert.
Beweis. Sei w = LQ(v) der Ausgabevektor von v. Mit der Normeigenschaft
von Einheitsquaternionen Q folgt
|w| = N(w) = N(LQ(v)) = N(Qv ¯ Q) = N(Q)N(v)N( ¯ Q) = N(v) = |v| (8)
Der Quaternionenoperator LQ erfüllt also das Rotationskriterium des Längenerhalts.
2.3.3 Eine explizite Rechenformel für den Ausgabevektor w
Seien Q = q0 + q ∈ H mit N(Q) = 1 und v ∈ R 3 .
w = LQ(v) = Qv ¯ Q = (q0 + q)(0 + v)(q0 − q)
= (− + q0v + q × v)(q0 − q)
= −q0 +
+q + q0(q0v + q × v) − (q0v + q × v) × q
= +q + q
=0
2 0v + q0(q × v)
−q0(v × q) − (q × v) × q
T ripel−Kreuzprodukt
= q + q 2 0v + 2q0(q × v) − (v − q)
= 2q + q 2 0v + 2q0(q × v) − |q| 2 v
= (q 2 0 − |q| 2 )v + 2q + 2q0(q × v) (9)
4

Diese Rechenformel wird sich für einige der noch folgenden Berechnungen als
nützlich erweisen. Für L ¯ Q erhält man
L ¯ Q(v) = (q 2 0 − |q| 2 )v + 2q + 2q0(v × q) (10)
Man beachte, dass sich hier lediglich das Vorzeichen des Kreuzprodukts verändert
hat.
2.3.4 Indiz für die Rotationsachse
Wird der Quaternionenoperator LQ auf einen Vektor v = kq mit v, q ∈
R 3 , k ∈ R angewendet, folgt
w = LQ(v) = Qv ¯ Q = Q(kq) ¯ Q
(9)
= (q 2 0 − |q| 2 )kq + 2kq + 2q0k (q × q)
=0
= q 2 0kq − |q| 2 kq + 2|q| 2 kq
= q 2 0kq + |q| 2 kq
= (q 2 0 + |q| 2 )kq
= kq (11)
Genauso wie bei einer Rotation lässt der Quaternionenoperator LQ Vektoren,
die ein k–faches des Imaginärteils des ihn konstruierenden Quaternions Q
sind, unverändert. Gleiches gilt für L ¯ Q. Sollte es sich bei der Anwendung des
Quaternionenoperators auf einen Vektor tatsächlich um eine Rotation in R 3
handeln, so scheint der Imaginärteil q die hierfür benötigte Rotationsachse
darzustellen. Ein weiteres Rotationskriterium wäre dann also erfüllt.
2.3.5 Indiz für den Rotationswinkel
Gegeben seien ein Winkel θ = π
6 sowie der Basisvektor k = (0, 0, 1)tr = u.
Das zugehörige Einheitsquaternion kann in Winkelschreibweise wegen |k| =
1 = |u| dargestellt werden durch
Q = cos π π
+ u sin
6 6 =
5
√ 3
2
+ 1
2 k

Wir wollen LQ(i) für den Basisvektor i = (1, 0, 0) tr berechnen:
w = LQ(i) = Qi ¯ √ √
3 1
3 1
Q = ( + k)(0 + i)( −
2 2 2 2 k)
= (− 1
√ √
3 1 3 1
+ i + k × i
2 2 2
)( −
2 2
=0
=j
k)
√
3 1 1
= < i + j,
2 2 2 k> +
=0
3
√ √
3 3 1 1
i + j − ( i + j) ×
4 4 2 2 2 k
= 3
√ √
3 3
i + j − (i × k) −
4 4 4
=−j
1
(j × k)
4
=
=i
3
√ √
3 3 1
i + j + j −
4 4 4 4 i
= 1
√
3
i +
2 2 j
Das reine Quaternion w kann interpretiert werden als Vektor in R3 mit |w| =
1 = |i|. Der von i und w eingeschlossene Winkel α lässt sich leicht mit Hilfe
der Definition des Skalarprodukts der beiden Vektoren berechnen:
⎛
|i||w| cos α Def.
= = < ⎝
1
0
0
⎞
⎛
⎠ , ⎝
1
2
√ 3
2
0
⎞
⎠ > = 1
2
⇒ α = π
= 2θ
3
Der Quaternionenoperator LQ verändert also einen Vektor v so, dass der zwischen
Eingabe- und Ausgabevektor entstehende Winkel α gerade doppelt so
groß ist wie der Winkel θ, der Q zugeordnet wird. Sollte es sich bei LQ also
um einen Rotationsoperator handeln, würde dieser auch das letzte Rotationskriterium,
das die Existenz eines Rotationswinkels fordert, erfüllen. Für LQ, ¯
dessen Quaternion ¯ Q der Winkel −θ zugeordnet wird, beträgt der Winkel
zwischen Eingabe- und Ausgabevektor −2θ. Es sieht also ganz danach aus,
als ob sich die beiden Operatoren nur in der Rotationsrichtung voneinander
unterscheiden.
An diesem Punkt wollen wir unsere bisherigen Ergebnisse festhalten: Der
Quaternionenoperator LQ ist längenerhaltend und wir konnten Indizien dafür
finden, dass sie auch die beiden anderen Rotationskriterien zu erfüllen
scheinen. Wir wollen im Folgenden beweisen, dass sich mit einem Quaternionenoperator
tatsächlich eine R3-Rotation realisieren lässt.
6

3 Die R 3 -Rotation mithilfe des Rotationsoperators
LQ
Ausgangspunkt seien ein Quaternion Q = q0 + q ∈ H mit N(Q) = 1 und ein
Vektor v ∈ R 3 . Es soll gezeigt werden, dass LQ den Vektor v im Winkel 2θ
um die Achse q rotiert. Dazu schreiben wir zunächst den Vektor v als Summe
zweier Vektoren a, n ∈ R 3 , d.h.
v = a + n
mit a = kq, n⊥q (vgl. Abbildung 1). Da LQ nach (7) ein linearer Operator
ist, kann man LQ(a) und LQ(n) auch getrennt voneinander untersuchen.
Abbildung 1: Komponenten der Vektorrotation
Wie bereits in (11) gezeigt, lässt der Operator Vektoren, die ein k-faches des
Imaginärteils q sind, unverändert, d.h.
LQ(a) = LQ(kq) = kq = a
7

Mit der Rechenformel (9) für den Quaternionenoperator LQ folgt
LQ(n) = (q 2 0 − |q| 2 )n + 2 q + 2q0(q × n)
=0
= (q 2 0 − |q| 2 )n + 2q0|q| (u × n)
=:n⊥
= (q 2 0 − |q| 2 )n + 2q0|q|n⊥ = m
wobei wir mit (5) im Kreuzprodukt q × n den Vektor q ersetzt haben durch
|q|u. Weiter wollen wir n⊥ als den Vektor bezeichnen, der senkrecht auf n
und u steht und m als den aus dem Anwenden von LQ auf n entstandenen
Vektor. m kann man mit Hife der Gleichungen (3) und (4) auch wie folgt in
Winkelschreibweise darstellen:
m = LQ(n) = (cos 2 θ − sin 2 θ)n + 2 cos θ sin θn⊥
= cos(2θ)n + sin(2θ)n⊥ (12)
Wir fassen zusammen: v wurde als Summe der beiden Vektoren a und n
dargestellt. Während a von LQ unverändert blieb, wurde n in m überführt.
Um zu zeigen, dass es sich bei letzterem um eine Rotation handelt, ist für
den Vektor n folgendes Lemma zu beweisen, das dann wegen (11) und der
Lineareigenschaft automatisch auch für v gilt:
Lemma 3. Der Quaternionenoperator LQ dreht n
(i) längenerhaltend
(ii) um die Rotationsachse q
(iii) im Rotationswinkel 2θ
Beweis.
Ad(i): Wir müssen zunächst zeigen, dass n und n⊥ gleichlang sind. Da der
eingeschlossene Winkel zwischen n und n⊥ gleich π ist, folgt
2
|n⊥| = |u × n| Def.
= |u||n| sin π
2
= |n|
Da n und n⊥ zudem in der gleichen Fixebene von q liegen, muss m als
Linearkombination von n und n⊥ ebenfalls in dieser Ebene liegen, also
8

auch normal zu q stehen. Berechnung der Länge von m ergibt
N 2 (m) = |m| 2 = (cos(2θ)n + sin(2θ)n⊥)(cos(2θ)n + sin(2θ)n⊥)
= cos 2 (2θ)|n| 2 + cos(2θ) sin(2θ)
=0
+ sin(2θ) cos(2θ) + sin
=0
2 (2θ)|n⊥| 2
= cos 2 (2θ)|n| 2 + sin 2 (2θ)|n⊥| 2
= (cos 2 (2θ) + sin 2 (2θ))|n| 2
= |n| 2
⇒|m| = |n| = |n⊥|
⇒ LQ hat n längenerhaltend gedreht.
Abbildung 2: m als Linearkombination von n und n⊥
Ad(ii): Da LQ den Vektor a = kq unverändert lässt, muss q die Rotationsachse
darstellen ⇒ LQ hat n um die Rotationsachse q gedreht.
Ad(iii): Wir berechnen den Winkel α zwischen n und m wie oben aus dem
9

Skalarprodukt:
|n||m| cos α = =
=|n| 2
= cos(2θ)
= |n| 2 cos(2θ)
=|n| 2
⇒ cos(2θ) = cos α ⇒ LQ hat n im Winkel 2θ gedreht.
+ sin(2θ)
=0
Zusammen mit w = LQ(v) = LQ(a + n) = LQ(a) + LQ(n) = a + m folgt die
Behauptung.
Theorem 4.
(i) Es seien θ ein Winkel in (0, π], u = q
ein Einheitsvektor. Für jedes
|q|
Einheitsquaternion Q = cos θ + u sin θ und jeden Vektor v ∈ R3 kann
das Anwenden des Quaternionenoperators
LQ(v) = Qv ¯ Q
auf v geometrisch interpretiert werden als Rotation von v um die Rotationsachse
q im Winkel 2θ. LQ wird auch Rotationsoperator genannt.
(ii) Mit Hilfe der Rechenformel
w = LQ(v) = (q 2 0 − |q| 2 )v + 2q + 2q0(q × v)
lässt sich der Ausgabevektor w ∈ R 3 explizit berechnen.
Analog kann der Rotationsoperator L ¯ Q, dem der Winkel −θ zugeordnet
wird, geometrisch als ”negative” Vektorrotation interpretiert werden mit zugehöriger
Rechenformel (10).
Bemerkung. Je nach übernommener Perspektive kann die durch LQ definierte
Vektorrotation auch als ”negative” Rotation des Koordinatensystems
interpretiert werden. Gleiches gilt für den Rotationsoperator L ¯ Q: Statt von
einer Vektorrotation im Winkel −2θ könnte man auch von einer ”positiven”
Achsenrotation im Winkel 2θ sprechen. Wir wollen daher festlegen:
10

Qv ¯ Q → V ektorrotation
¯QvQ → Achsenrotation
Oftmals wird zugunsten der Anschaulichkeit statt vom Drehwinkel 2θ vom
Drehwinkel θ gesprochen, dementsprechend auch vom Q zugeordneten Win-
. Der tatsächliche Drehwinkel bleibt selbstverständlich unverändert.
kel θ
2
Beispiel. Im Folgenden soll eine Rotation des Basisvektors i um eine vorgegebene
Rotationsachse, repräsentiert durch den Vektor (1, 1, 1) tr , mit Hilfe
des Rotationsoperators LQ, durchgeführt werden. Es ist klar, dass die Rotation
von i um diese Rotationsachse einen Kegel generiert, und zwar den
gleichen, den auch die Rotationen der beiden anderen Basisvektoren j und k
um (1, 1, 1) tr generieren würden. Ausserdem gilt wegen ihrer Orthogonalität
für i, j, k, dass sie auf dem Mantel des Kegels jeweils gleichweit voneinander
entfernt liegen. Wenn wir den Rotationswinkel θ = 2π
3
wählen, so wird der
Vektor i durch LQ auf j rotiert werden, während die Vektoren j auf k bzw.
k auf i rotiert werden würden. Betrachten wir diesen Vorgang für i etwas
genauer.
Für die Konstruktion des Quaternions Q benötigen wir zunächst einen die
Richtung von (1, 1, 1) tr repräsentierenden Einheitsvektor u. Wegen |(1, 1, 1) tr √ | =
3 ist
u = ( 1
√ ,
3 1
√ ,
3 1
√ )
3 tr
Da wir den Drehwinkel θ = 2π
kel θ
2
gewählt haben, muss der Q zugeordnete Win-
3
π gleich 3 sein. Daraus können wir nun das für LQ benötigte Quaternion
Q = cos π π
+ u sin
3 3
= 1 1
+ ( √ i +
2 3 1
√ j +
3 1
√ k)
3
+
1 1 1
i + j +
2 2 2 k
q
= 1
2
q0
mit Realteil q0 und Imaginärteil q konstruieren. Wenden wir den Rotations-
11
√ 3
2

operator LQ auf i an, erhalten wir zusammen mit der Rechenformel (9)
LQ(i) = Qi ¯ Q
= (q 2 0 − |q| 2 )i + 2q + 2q0(q × i)
= ( 1 3 1 1
− )i + 2 · q + 2 ·
4 4 2 2 (1
1
j −
2 2 k)
= − 1 1 1 1
i + i + j +
2 2 2 2 k +
=q
1 1
j −
2 2 k
= j
Wir sehen, dass der Operator LQ den Basisvektor i genau so verändert wie
erwartet, nämlich im Winkel θ = 2π um den Imaginärteil q, der die Rota-
3
tionsachse repräsentiert, auf j dreht. Hätten wir stattdessen den Rotationsoperator
LQ¯ bei ansonsten gleichen Annahmen auf i angewendet, wäre dieser
in entgegengesetzter Richtung auf k gedreht worden.
4 R 3 -Rotationen mit Operatorsequenzen
In vielen Anwendungen der Praxis werden statt nur einer Rotation mehrere
Rotationen nacheinander realisiert, dementsprechend auch mehrere Rotationsoperatoren
hintereinander verwendet. Im Folgenden wollen wir zeigen,
dass eine Sequenz bzw. Komposition zweier Rotationsoperatoren wieder
ein Rotationsoperator ist. Betrachten wir dazu also P, Q ∈ H mit N(P ) =
N(Q) = 1 und u, v, w ∈ R 3 , für die
gilt. Wir erhalten also
v = LP (u)
w = LQ(v)
w = LQ(v) = Qv ¯ Q = Q(P u ¯ P ) ¯ Q
= (QP )u(QP )
= LQP (u)
= LQ ◦ LP (u).
Da das Produkt zweier Einheitsquaternionen wieder ein Einheitsquaternion
ist, folgt
Theorem 5. Seien P, Q ∈ H zwei Einheitsquaternionen, LP und LQ die
mit P und Q konstruierten Rotationsoperatoren. Dann definiert auch das
12

Quaternionenprodukt QP einen Rotationsoperator
LQP := LQ ◦ LP ,
welcher zunächst LP , dann LQ anwendet. Rotationsachse und Drehwinkel
sind dem Einheitsquaternion QP zugeordnet.
Für die komplex Konjugierten ¯ P , ¯ Q sowie die Rotationsoperatoren L ¯ P , L ¯ Q
folgt
w = L ¯ Q(v) = ¯ QvQ = ¯ Q( ¯ P uP )Q
= (P Q)u(P Q)
= L P Q (u)
= L ¯ Q ◦ L ¯ P (u),
wobei die Rotationssequenz diesmal durch das Quaternionenprodukt P Q dargestellt
wird. Wegen der Nicht-Kommutativität der Quaternionenmultiplikation
sind die beiden Rotationssequenzen im Allgemeinen nicht identisch.
Literatur
[1] Jack B. Kupiers (2002); Quaternions and Rotation Sequences: A Primer
with Applications to Orbits, Aerospace and Virtual Reality; University
Presses of Ca; Reprint; (p.117-139).
13