Satz von Riemann-Roch und Serre-Dualität

Satz von Riemann-Roch und
Serre-Dualität
1 Satz von Riemann-Roch
Jörg Zentgraf
24.01.2006
Wir suchen nun nach einer Aussage über die Anzahl linear unabhängiger meromorpher
Funktionen mit einem gewissen Polstellenverhalten. Diese Aussage wird uns der Satz
von Riemann-Roch liefern. Zunächst definieren wir einen Begriff, der uns helfen soll die
Einschränkung des Polstellenverhaltens genauer zu beschreiben.
Im folgenden sei X immer eine Riemannsche Fläche, die nicht notwendigerweise kompakt
ist. Benötigen wir Kompaktheit, so wird dies explizit erwähnt.
Definition 1.1 (Divisoren).
Ein Divisor auf X ist eine Abbildung
D : X → Z,
so dass zu jeder kompakten Teilmenge K ⊂ X nur endlich viele Punkte x ∈ K existieren
mit D(x) = 0. Das heisst ein Divisor ist eine formale Summe von Punkten
D =
np(P )
P ∈X
mit np ∈ Z und np = 0 für alle bis auf endlich viele P.
Bezüglich der Addition bildet die Menge der Divisoren eine abelsche Gruppe, die wir mit
Div(X) bezeichnen. Zusätzlich führen wir eine Halbordnung ein. Wir nennen D ≤ D ′ ,
falls D(x) ≤ D ′ (x) für alle x ∈ X gilt.
Definition 1.2 (Divisor von meromorphen Funktionen und Differentialformen).
Sei Y eine offene Teilmenge von X und f ∈ M(Y ) eine meromorphe Funktion,
sowie a ∈ Y ein Punkt. Dann definiert man als Ordnung der Funktion f in a
⎧
⎪⎨
0, falls f in a holomorph und ungleich 0 ist,
k, falls f in a eine Nullstelle k-ter Ordnung hat,
orda(f) :=
⎪⎩
−k, falls f in a einen Pol k-ter Ordnung hat,
∞, falls f in einer Umgebung von a identisch 0 ist.
1

Für eine meromophe Funktion f ∈ M(X) \ {0} haben wir eine Abbildung x ↦→ ordx(f).
Diese Abbildung ist der Divisor von f auf X und wird mit (f) bezeichnet.
Eine Funktion f heisst Vielfaches eines Divisors D, falls (f) ≥ D. f ist somit genau
dann holomorph, wenn (f) ≥ 0. Nun bleibt noch zu erklären wie man die Ordnung einer
Differentialform im Punkt a ∈ Y definiert. Ist ω ∈ M (1) (Y ) eine Differentialform, dann
wählt man eine Umgebung (U,z) von a. In U ∪ Y lässt sich ω schreiben als ω = df
mit einer meromorphen Funktion f. Man setzt nun orda(ω) = orda(f). Analog zu oben
ist die Abbildung x ↦→ ordx(ω) ein Divisor, der mit (ω) bezeichnet wird. Es gilt für
f, g ∈ M(X) \ {0} und ω ∈ M (1) (X) \ {0}
(fg) = (f) + (g), (fw) = (f) + (ω),
1
= −(f).
f
Ein Divisor D heisst Hauptdivisor, wenn es eine Funktion f ∈ M(X) \ {0} gibt, so
dass (f) = D. Zwei Divisoren D und D ′ heissen äquivalent, wenn ihre Differenz D−D ′
ein Hauptdivisor ist. Unter einem kanonischen Divisor versteht man den Divisor (ω)
einer meromorphen Differentialform ω ∈ M (1) (X) \ {0}.
Definition 1.3 (Grad eines Divisors). Sei nun X kompakt. Für jedes D ∈ Div(X)
ist dann D(x) = 0 für nur endlich viele x ∈ X. Man kann deshalb einen Grad
definieren durch
deg : Div(X) → Z
deg D :=
D(x).
x∈X
Die Abbildung deg ist ein Gruppenhomomorphismus. Für einen Hauptdivisor (f) auf
einer kompakten den Unterverktorraum
Im(ιD) ⊂ H1 (X, ODn)∗den Unterverktorraum
Im(ιD) ⊂ H1 (X, ODn)∗Riemannschen Fläche gilt deg(f)=0, da eine meromorphe Funktion
so viele Nullstellen wie Polstellen besitzt. Deshalb haben äquivalente Divisoren denselben
Grad.
Nun kann man auch Garben zu einem vorgegebenen Divisor definieren.
Definition 1.4. Sei D ein Divisor auf X. Für eine offene Menge U ⊂ X sei OD(U)
die Menge aller meromorpher Funktionen in U, die Vielfache des Divisors −D sind.
OD(U) = {f ∈ M(U)|ordx(f) ≥ −D(x) ∀x ∈ U}
Führt man die natürlichen Beschränkungsabbildungen ein, so wird OD(U) zu einer Garbe.
Insbesondere gilt O0 = O für den Nulldivisor D = 0.
Sind D, D ′ ∈ Div(X) zwei äquivalente Divisoren, so sind die Garben OD und OD ′
isomorph. Einen Isomorphismus erhält man indem man ein ψ ∈ M(X) \ {0} wählt
mit D − D ′ = (ψ). Dann ist der durch Garbenmultiplikation mit ψ induzierte Garben-
Homomorphismus
ein Isomorphismus.
OD → OD ′, f ↦→ ψf
2

Satz 1.5. Sei X wieder kompakt und D ∈ Div(X) ein Divisor mit deg(D) < 0. Dann
gilt H 0 (X, OD)=0.
Beweis. Angenommen, es gäbe ein f ∈ H 0 (X, OD), f = 0. Dann wäre (f) ≥ −D, also
deg(f) ≥ −degD > 0.
Dies ist aber ein Widerspruch zu deg(f) = 0.
Ein wichtiges Hilfsmittel, das wir im Beweis des Satzes von Riemann-Roch benötigen
′. Diese werden wir jetzt definieren. Dazu benötigen wir zunächst
sind die Garben HD D
zwei Divisoren D und D ′ auf der Riemannschen Fläche mit D ≤ D ′ . Dann ist für je-
de offene Menge U ⊂ X auch OD(U) ⊂ OD ′(U). Somit hat man einen natürlichen
Garbenmonomorphismus OD → OD ′. Nun sei x ∈ X ein Punkt und (U, z) eine Koor-
dinatenumgebung von x mit z(x) = 0. Wir definieren k := D(x) und k ′ := D ′ (x). Der
Halm OD,x sei nun definiert als Menge aller meromorphen Funktionskeime f in x, deren
Laurent-Entwicklung als
f =
∞
cvz v
v=−k
geschrieben werden kann. Analog definiert man OD ′ ,x. Somit ist der Quotient OD ′ ,x/OD,x
ein C-Vektorraum der Dimension k ′ − k. Jedes Element dieses Vektorraums können wir
eindeutig schreiben als
−k−1
v=−k ′
cvz v mit cv ∈ C.
Mit den natürlichen Beschränkungsabbildungen können wir nun die folgende Definition
machen.
Definition 1.6. Die Garbe HD D ′ ist definiert durch
H D
D ′(U) := OD
x∈U
′ ,x/OD,x für U ⊂ X offen.
Für jede offene Menge U ⊂ X mit D|U = D ′ |U gilt HD D ′ = 0. Daraus folgt HD D ′ ,x = 0 für
alle x ∈ X mit D(x) = D ′ (x). Allgemein gilt HD D ′ ,x = OD ′ ,x/OD,x. Somit haben wir einen
Garben-Epimorphismus OD ′ → HD D ′ mit Kern OD, also eine exakte Garbensequenz
Lemma 1.7. Es gilt
Ist X außerdem kompakt, so gilt
0 → OD → OD ′ → HD D ′ → 0. (1)
H 1 (X, H D D ′) = 0.
dim H 0 (X, H D D ′) = degD′ − degD.
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Beweis. Sei S die Menge der Punkte x ∈ X, an denen D(x) = D ′ (x) ist. Diese Menge
ist abgeschlossen und diskret. Wir nehmen nun eine Cohomologieklasse ρ ∈ H1 (X, HD D ′),
die durch einen Cozyklus aus Z1 (U, HD D ′) repräsentiert wird. Es existiert eine Verfeinerung
B = (Vα)α∈A der Überdeckung U, so dass jede Menge Vα in der Verfeinerung
höchstens einen Punkt von S enthält. Für α = β gilt dann HD D ′(Vα ∩ Vβ) = 0, also auch
Z1 (B, HD D ′) = 0 und somit folgt ρ = 0. Ist X zusätzlich kompakt, so ist S endlich und
es gilt
′) = dim OD ′ ,x/OD,x =
(D ′ (x) − D(x)) = degD ′ − degD
dim H 0 (X, H D D
x∈S
Wenn man die exakte Garbensequenz (1) zu einer exakten Cohomologiesequenz erweitert,
so ergibt sich
Korollar 1.8. Sind D ≤ D ′ zwei Divisoren auf X, so ist die folgende Sequenz exakt :
0 → H 0 (X, OD) → H 0 (X, OD ′) → H0 (X, H D D ′) → H1 (X, OD) → H 1 (X, OD ′) → 0
Satz 1.9 (Riemann-Roch 1 ). Für jeden Divisor D auf einer kompakten Riemannschen
Fläche X vom Geschlecht g(=dim H 1 (X, O)) sind H 0 (X, OD) und H 1 (X, OD) endlichdimensionale
Vektorräume und es gilt
x∈S
dim H 0 (X, OD) − dim H 1 (X, OD) = 1 − g + degD.
Beweis.
a) Die Aussage ist richtig für den Nulldivisor D = 0. Denn H 0 (X, OD) = O(X) besteht
nur aus den konstanten Funktionen, also ist dim H 0 (X, OD) = 1 und nach Definition ist
dim H 1 (X, O) = g.
b) Nun seien D ≤ D ′ zwei Divisoren auf X. Wir spalten die exakte Sequenz aus Korollar
1.8 in zwei kurze exakte Sequenzen auf. Sei
V D D ′ := Im H 0 (X, OD ′) → H0 (X, H D D ′) ,
W D D ′ := H0 (X, H D D ′)/VD D ′.
Somit gilt dim V D D ′ + dim WD D ′ = degD′ − degD und wir haben die exakten Sequenzen
0 → H 0 (X, OD) → H 0 (X, OD ′) → VD D ′ → 0,
0 → W D D ′ → H1 (X, OD) → H 0 (X, OD ′) → 0.
Also sind alle auftretenden Vektorräume endich-dimensional und es gelten die Dimensionsgleichungen
dim H 0 (X, OD ′) = dim H0 (X, OD) + dim V D D ′,
dim H 1 (X, OD) = dim H 0 (X, OD ′) + dim WD D ′.
1 Georg Friedrich Bernhard Riemann(1826-1866), Gustav Roch(1839-1866). Der Satz war zunächst als
Riemannsche Ungleichung (ohne den Term H 1 (X, OD)) formuliert, wurde dann 1864 von Roch als
Satz für Riemannsche Flächen in seine endgültige Form gebracht.
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Addieren wir diese beiden Gleichungen, so erhalten wir
dim H 0 (X, OD ′) − dim H0 (X, OD ′) − degD′ =
dim H 0 (X, OD) − dim H 1 (X, OD) − degD.
Gilt also die Formel von Riemann-Roch für einen der beiden Divisoren, so gilt sie auch
für den anderen. Nach a) gilt der Satz für alle Divisoren D ′ ≥ 0. Sei nun D ein beliebiger
Divisor, so kann man einen Divisor D ′ finden, mit D ′ ≥ 0 und D ≤ D ′ . Deshalb gilt der
Satz auch für D.
Definition 1.10. Man nennt
den Spezialitätsindex des Divisors D.
i(D) := dim H 1 (X, OD)
Man kann den Satz von Riemann-Roch somit schreiben als
dim H 0 (X, OD) = 1 − g + degD + i(D).
Satz 1.11. Sei X kompakt vom Geschlecht g und a ∈ X ein Punkt. Dann gibt es eine
nicht-konstante meromorphe Funktion f, die in a einen Pol der Ordnung ≤ g + 1 hat
und sonst holomorph ist.
Beweis. Sei D der Divisor mit D(a) = g + 1 und D(x) = 0 für x = a. Nach dem Satz
von Riemann-Roch ist
dim H 0 (X, OD) ≥ 1 − g + degD = 2
Es gibt also eine nichtkonstante Funktion f ∈ H 0 (X, OD), die die Bedingungen des
Satzes erfüllt.
Korollar 1.12. Zu jeder Riemannschen Fläche X vom Geschlecht g gibt es eine holomorphe
Überlagerungsabbildung f : X → P 1 mit höchstens g + 1 Blättern.
Beweis. Die in Satz 1.11 genannte Funktion f ist eine solche Überlagerungsabbildung,
da der Wert ∞ mit einer Vielfachheit ≤ g + 1 angenommen wird.
Korollar 1.13. Jede Riemannsche Fläche vom Geschlecht 0 ist isomorph zur Riemannschen
Zahlenkugel.
Beweis. Dies folgt direkt daraus, dass eine n-blättrige Überlagerung biholomorph ist.
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2 Serre-Dualität
Das nächste Ziel ist es durch Differentialformen eine einfachere Interpretation der Cohomologiegruppen
H 1 (X, OD) zu erhalten. Es ergibt sich, dass dim H 1 (X, OD) gleich der
Maximalzahl linear unabhängiger meromorpher Differentialformen ist, die Vielfache des
Divisors D sind. Dazu bedarf es einiger Vorbereitungen.
Definition 2.1. Ist X eine kompakte Riemannsche Fläche, dann impliziert aufgrund des
Satzes von Dolbeault die exakte Sequenz
0 → Ω → E 1,0 → E (2) → 0
(Erinnerung : Ω : Garbe der holomorphen Differentialformen, E 1,0 : Garbe der differenzierbaren
(1,0)-Formen, E (2) : Garbe der differenzierbaren 2-Formen)
einen Isomorphismus H 1 (X, Ω) ∼ = E (2) (X)/dE 1,0 (X). Ist nun ψ ∈ H 1 (X, Ω) und ω ∈
E (2) (X) ein Repräsentant von ψ bzgl. des Isomorphismus, dann sei
Res(ψ) 1
ω
2πi
das Residuum von ω. Diese Definition ist unabhängig von der Wahl des Repräsentanten.
Definition 2.2 (Mittag-Leffler-Verteilung von Differentialformen). Sei X eine
Riemannsche Fläche, M (1) die Garbe der meromorphen Differentialformen auf X und
U = (Ui)i∈I eine offene Überdeckung von X. Eine Cokette µ = (ωi) ∈ C 0 (U, M (1) heisst
Mittag-Leffler-Verteilung, falls die Differenzen ωj − ωi in Ui ∪ Uj holomorph sind,
d.h. δµ ∈ Z 1 (U, Ω). [δµ] ∈ H 1 (X, Ω) sei die Cohomologieklasse von δµ.
Sei nun a ∈ X ein Punkt, das Residuum der Mittag-Leffler-Verteilung µ = (ωi) im
Punkt a wird definiert, indem man ein i ∈ I wählt mit a ∈ Ui und
X
Resa(µ) := Resa(ωi)
setzt. Da für a ∈ Ui ∩ Uj die Differenz ωi − ωj holomorph ist, haben ωj und ωi in a
dasselbe Residuum, die Definition ist also unabhängig von i ∈ I.
Wir nehmen nun an, dass die Riemannsche Fläche X kompakt ist. Dann gilt Resa(µ) = 0
nur für endliche viele Punkte a. Man kann also
Res(µ) :=
Resa(ωi)
a∈X
definieren. Wir zeigen nun, wie diese beiden Definitionen des Residuums zusammenhängen.
Satz 2.3. Mit den obigen Bezeichnungen gilt Res(µ) = Res([δµ]).
Beweisskizze :
Es muss die explizite Konstruktion des Isomorphismus H 1 (X, Ω) ∼ = E (2) (X)/dE 1,0 (X)
verfolgt werden.
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Definition 2.4. Sei X eine kompakte Riemannsche Fläche. Für einen Divisor
D ∈ Div(X) sei ΩD die Garbe der meromorphen Differentialformen, die Vielfache von
−D sind.
ΩD(U) = {ω ∈ M (1) (U)|ordx(ω) ≥ −D(x) ∀x ∈ U}
Insbesondere ist Ω0 = Ω die Garbe aller holomorphen Differentialformen.
Ist nun ω ∈ M (1) (X) eine nichtverschwindende meromorphe Differentialform auf X,
z.B. ω = df mit einer nichtkonstanten meromorphen Funktion f ∈ M(X) und sei
K der Divisor von ω. Dann induziert für einen beliebigen Divisor D ∈ Div(X) die
Multiplikation mit ω einen Garbenisomorphismus
OD+K ∼ = ΩD, f ↦→ fω (2)
Hilfssatz 2.5. Es gibt eine Konstante k0 ∈ Z, so dass für alle D ∈ Div(X)
gilt.
dim H 0 (X, ΩD) ≥ degD + k0
Beweis. Seien ω und K wie oben. Das Geschlecht von X sei g. Wir setzen k0 :=
1 − g + degK. Dann gilt wegen Riemann-Roch
dim H 0 (X, ΩD) = dim H 0 (X, OD+K) =
= dim H 1 (X, OD+K) + 1 − g + deg(D + K) ≥ degD + k0.
Definition 2.6 (Duale Paarung). Sei D ein Divisor. Das Produkt
induziert eine Abbildung
Ω−D × OD → Ω,
(ω, f) ↦→ ωf
H 0 (X, Ω−D) × H 1 (X, OD) → H 1 (X, Ω).
Die Zusammensetzung dieser Abbildung mit Res : H 1 (X, Ω) → C ergibt eine bilineare
Abbildung
< ·, · >: H 0 (X, Ω−D) × H 1 (X, OD) → C,
< ω, ψ >:= Res(ωψ).
Diese Abbildung induziert eine lineare Abbildung
ιD : H 0 (X, Ω−D) → H 1 (X, OD) ∗
von H 0 (X, Ω−D) in den Dualraum von H 1 (X, OD).
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Der Serresche Dualitätssatz wird zeigen, dass < ·, · > eine duale Paarung, also ιD ein
Isomorphismus ist.
Satz 2.7. Die Abbildung ιD ist injektiv.
Beweis. Es ist zu zeigen, dass zu jedem ω ∈ H 0 (X, Ω−D) mit ω = 0 ein ξ ∈ H 1 (X, OD)
existiert mit < ω, ξ >= 0. Dazu nehmen wir einen Punkt a ∈ X mit D(a) = 0 und eine
Koordinaten-Umgebung (U0, z) von a mit z(a) = 0 und D|U0 = 0. In U0 kann man ω
schreiben als ω = fdz mit f ∈ O(U0). Wir können annehmen, dass U0 so klein ist, dass
f in U0 \ {a} keine Nullstelle besitzt. Dann setzen wir U1 = X \ {a} und V = (U0, U1).
Sei η = (f0, f1) ∈ C 0 (V, M) definiert durch f0 = (zf) −1 und f1 = 0. Dann ist
ωη =
dz
, 0
z
∈ C 0 (V, M (1) )
eine Mittag-Leffler-Verteilung mit Res(ωη) = 1. Es gilt δη ∈ Z 1 (V, OD). Nun sei ξ =
[δη] ∈ H 1 (X, OD) die Cohomologie-Klasse von δη. Da ωξ = ω[δη] = [δ(ωη)] gilt, folgt
aus Satz 2.3
< ω, ξ >= Res(ωξ) = Res([δ(ωη)]) = Res(ωη) = 1.
Satz 2.8 (Dualitätssatz von Serre 2 ).
Für jeden Divisor D auf einer kompakten Riemannschen Fläche X ist die Abbildung
ein Isomorphismus.
ιD : H 0 (X, Ω−D) → H 1 (X, OD) ∗
Beweis. Wegen Satz 2.7 ist nur noch die Surjektivität von ιD zu zeigen. Hier nur eine
kurze Beweisskizze. Wir wählen ein λ ∈ H 1 (X, OD) ∗ , λ = 0 und müssen zeigen, dass
λ im Bild von ιD liegt. Es wird ein weiterer Divisor P eingeführt mit degP = 1, dann
sei Dn = D − nP . Man findet ein ψ ∈ H 0 (X, OnP ) und ein ω ∈ H 0 (X, Ω−Dn) mit
ψλ = ιDn(ω). Dann folgt für ω0 := 1
ψ ω ∈ H0 (X, Ω−D), dass λ = ιD(ω0) gilt.
Häufig benutzt man von der Serre-Dualität nur die Dimensionsformel
Man erhält also insbesondere für D = 0
dim H 1 (X, OD) = dim H 0 (X, Ω−D).
g = dim H 1 (X, O) = dim H 0 (X, Ω),
das Geschlecht einer Riemannschen Fläche ist also gleich der Maximalzahl linear unabhängiger
Differentialformen auf X.
Den Satz von Riemann-Roch kann man also auch formulieren als
2 Jean-Pierre Serre, geb.15.9.1926
dim H 0 (X, O−D) − dim H 0 (X, ΩD) = 1 − g − degD.
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Auf einer kompakten Riemannschen Fläche vom Geschlecht g ist die Maximalzahl linear
unabhängiger meromorpher Funktionen, die Vielfache eines Divisors D sind, minus der
Maximalzahl linear unabhängiger meromorpher Differentialformen, die Vielfache von
−D sind, gleich 1 − g − degD.
Satz 2.9. Sei D ein Divisor und X kompakt. Dann gilt
H 0 (X, Ω−D) ∼ = H 1 (X, ΩD) ∗
Beweis. Sei ω0 eine meromorphe Differentialform auf X und K ihr Divisor. Es gilt dann
ΩD ∼ = OK+D und Ω−D ∼ = Ω−D−K. Die Behauptung folgt dann aus dem Dualitätssatz.
Somit erhält man für D = 0
dim H 1 (X, Ω) = dim H 0 (X, O) = 1.
Satz 2.10. Für den Divisor einer nichtverschwindenden meromorphen Differentialform
ω auf einer kompakten Riemannschen Fläche vom Geschlecht g gilt
deg(ω) = 2g − 2.
Beweis. Sei K = (ω). Nach Riemann-Roch gilt
Es gilt Ω ∼ = OK, also
d.h. degK = 2(g − 1)
dim H 0 (X, OK) − dim H 1 (X, OK) = 1 − g + degK.
1 − g + degK = dim H 0 (X, Ω) − dim H 1 (X, Ω) = g − 1
Seien nun X, Y kompakte Riemannsche Flächen und f : X → Y eine nicht-konstante
holomorphe Abbildung. Für x ∈ X sei v(f, x) die Vielfachheit mit der f im Punkt x
den Wert f(x) annimmt. Wir bezeichnen die Zahl
b(f, x) := v(f, x) − 1
als die Verzweigungsordnung von f im Punkte x. Es gilt also b(f, x) = 0 genau denn,
wenn f in x unverzweigt ist. Da X kompakt ist, gibt es nur endlich viele Punkte x ∈ X
mit b(f, x) = 0, also ist
b(f) :=
b(f, x),
x∈X
die Gesamtverzweigungsordnung von f wohldefiniert.
Satz 2.11 (Riemann-Hurwitz 3 Formel). Sei f : X → Y eine n-blättrige Überlagerungsabbildung
zwischen den kompakten Riemannschen Flächen X, Y mit der Gesamtverzweigungsordnung
b = b(f). Sei g das Geschlecht von X und g ′ das Geschlecht von
Y . Dann gilt die Riemann-Hurwitz-Formel
3 Adolf Hurwitz(26.3.1859-18.11.1919)
g = b
2 + n(g′ − 1) + 1.
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Beweis. Sei ω eine nichtverschwindende meromorphe Differentialform auf Y . Dann gilt
deg(ω) = 2g ′ − 2 und deg(f ∗ ω) = 2g − 2. Sei x ∈ X und f(x) = y. Es gibt Koordinaten-
Umgebungen (U, z) von x und (U ′ , w) von y mit z(x) = 0 bzw. w(y) = 0, so dass
sich f bzgl. dieser Koordinaten als w = z k mit k = v(f, x) schreiben lässt. In U ′ sei
ω = ψ(w)dw. Dann gilt in U
Daraus folgt
f ∗ ω = ψ(z k )dz k = kz k−1 ψ(z k )dz
ordx(f ∗ ω) = b(f, x) + v(f, x)ordy(ω).
Aus {v(f, x)|x ∈ f −1 (y)} = n folgt für jedes y ∈ Y
ordx(f ∗ ω) =
b(f, x) + n · ordy(ω),
also
x∈f −1 (y)
x∈f −1 (y)
deg(f ∗ ω) =
ordx(f ∗ ω) =
x∈X
y∈Y x∈f −1 (y)
ordx(f ∗ ω)
=
b(f, x) + n
ordy(ω) = b(f) + n · deg(ω).
x∈X
y∈Y
Daraus folgt 2g − 2 = b + n(g ′ − 2), also die Behauptung.
Satz 2.12. Sei X eine kompakte Riemannsche Fläche vom Geschlecht g und D ein
Divisor auf X. Dann gilt
H 1 (X, OD) = 0, falls degD > 2g − 2.
Beweis. Sei ω eine nichtverschwindende Differentialform und K ihr Divisor, dann
gilt die Isomorphie Ω−D ∼ = OK−D. Somit gilt auch H 1 (X, OD) ∗ ∼ = H 0 (X, Ω−D) ∼ =
H 0 (X, OK−D). Ist nun degD > 2g − 2, dann ist deg(K − D) < 0, also nach dem Satz
von Riemann-Roch auch H 0 (X, OK−D) = 0.
Korollar 2.13. Für die Garbe M der meromorphen Funktionen auf einer kompakten
Riemannschen Fläche X gilt
H 1 (X, M) = 0
Beweis. Sei ξ ∈ H 1 (X, M) eine Cohomologieklasse, die durch einen Cozyklus (fij) ∈
Z 1 (U, M) repräsentiert wird. Indem man notfalls zu einer geeigneten Verfeinerung übergeht,
kann man o.B.d.A. annehmen, dass die fij insgesamt nur endlich viele Polstellen
aufweisen. Es gibt deshalb einen Divisor D mit degD > 2g−2, so dass (fij) ∈ Z 1 (U, OD).
Nach Satz 2.12 zerfällt der Cozyklus (fij) bezüglich der Garbe OD, also erst recht bzgl.
M.
Die Garbe M (1) der meromorphen Differentialformen ist isomorph zu M, eine Isomorphie
ist gegeben durch die Zuordnung f ↦→ fω, wobei ω = 0 ein festes Element von
M (1) (X) ist. Also gilt auch H 1 (X, M (1) ) = 0.
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