Das Wegintegral - Teil 1

Das Wegintegral - Teil 1
Maximilian Zorn
25.03.2009

Der Vortrag hat das Ziel, das Wegintegral kurz einzuführen. Weiteres zum
Wegintegral findet sich dann im Vortrag von Caroline Schinke. Um jedoch
das Wegintegral einführen zu können, ist es nötig, zuerst zu klären, was
eigentlich ein Weg ist. Nachfolgend werden rektifizierbare Wege besprochen
sowie die Länge von Wegen hergeleitet. Darauf wird auch der Schwerpunkt
des Vortrags liegen. Erst dann kann eine Definition des Wegintegrals gegeben
werden.
1 Rektifizierbare Wege und ihre Länge
Zuerst gilt es zu klären, was überhaupt ein Weg ist. In diesem Fall ist ein Weg
genau das, was man in der Alltagssprache“ auch darunter verstehen würde.
”
Wichtig dabei ist: Ein Weg besitzt sowohl Anfangs- als auch Endpunkt und
” springt“ nicht, d.h. er ist stetig. Diese umgangssprachliche Definition gilt es
nun, in eine mathematische umzusetzen:
Definition 1. Eine stetige Abbildung γ : [a, b] → R p heißt Weg. Die zu γ
gehörende Punktmenge {γ (t) |t ∈ [a, b]} heißt Bogen und wird mit Γγ bezeichnet.
Der Unterschied zwischen einem Weg und einem Bogen ergibt sich sofort,
wenn man sich einen Weg vorstellt, der sich selbst schneidet oder sich mehrmals
selbst durchläuft (z.B. mehrere Kreise läuft). Wir wollen im Folgenden
jedoch nur solche Wege betrachten, die dies nicht tun.
Als nächstes wollen wir uns der näherungsweisen Bestimmung der Weglänge
zuwenden. Dazu lohnt es sich, das folgende Schaubild zu betrachten:
Abbildung 1: Näherungsweise Bestimmung der Weglänge
Es wird deutlich, dass es nötig ist, eine Zerlegung von [a, b] zu wählen mit
Z := {t0, ..., tn}. Dabei ist a = t0 und b = tn. Dann kann die Länge des Weges
1

angenähert werden durch:
L (γ, Z) :=
n
|γ (tk) − γ (tk−1)| (1)
k=1
Dabei wird deutlich, dass L (γ, Z) umso näher an der ” wirklichen“ Länge
von γ liegt, umso feiner die Zerlegung ist. Wird die Zerlegung immer feiner
und ” besser“, so wird L (γ, Z) - sofern existent - gegen einen Grenzwert
konvergieren, nämlich die genaue Länge von γ. Diesen Fall wollen wir nun
definieren:
Definition 2. Sei B die Menge aller Zerlegungen des Intervalls [a, b]. Ein
Weg γ : [a, b] → R p heißt rektifizierbar, wenn es ein M ∈ R gibt, sodass für
alle Zerlegungen Z := {t0, ..., tn}
L (γ, Z) =
gilt. Ist dies der Fall, wird
die Länge von γ genannt.
n
|γ (tk) − γ (tk−1)| ≤ M (2)
k=1
L (γ) := sup L (γ, Z) (3)
Z∈B
Satz 3. Ein Weg γ ist genau dann rektifizierbar, wenn jede seiner Komponentenfunktionen
von beschränkter Variation auf [a, b] ist. Hierbei ist die
Variation einer Funktion f auf dem Intervall [a, b] gegeben durch
n
.
|f| [a,b] := sup
Z∈B
k=1
|f (tk) − f (tk−1)| , {t0, ..., tn} = Z ∈ B
Beweis. =⇒ “
”
Da γ auch als Vektor gesehen werden kann und die euklidische Norm verwendet
wird, gilt für ein bel. Z ∈ B
n
n
p
L (γ, Z) = |γ (tk) − γ (tk−1)| = [γj (tk) − γj (tk−1)] 2
(4)
⇒
k=1
k=1
j=1
n
|γj (tk) − γj (tk−1)| ≤ L (γ, Z) für j = 1, ..., p (5)
k=1
2

⇒ γ ist auf [a, b] von beschränkter Variation.
” ⇐= “
Aus der Beziehung a 2 1 + ... + a 2 p = |a1| 2 + ... + |ap| 2 ≤ (|a1| + ... + |ap|) 2 folgt:
L (γ, Z) =
=
p
n
p
k=1
j=1 k=1
j=1
a 2 1 + ... + a 2 p ≤ |a1| + ... + |ap| (6)
(6)
2
[γj (tk) − γj (tk−1)] ≤
n
|γj (tk) − γj (tk−1)|
|γj| [a,b]

Um nun jedoch die Länge eines Weges exakt berechnen zu können, bedarf es
noch einer weiteren Definition und eines Satzes.
Definition 5. Sei γ : [a, b] → Rp ein rektifizierbarer Weg. Sind t1 < t2 ∈
[a, b], dann ist s (t1, t2) die Länge des Weges γ |[t1, t2]. Außerdem ist
0 für t = a
s (t) =
s (a, t) für t ∈ (a, b]
s(t) heißt Weglängenfunktion.
Wegen der vorangegangen Bemerkung ist s (t1, t2) = s (t2) − s (t1).
Satz 6. Die Weglängenfunktion ist
(i) monoton wachsend und
(ii) stetig.
Beweis. (i) Wegen a ≤ t1 < t2 ≤ b und s(t1, t2) ≥ 0 folgt:
s(t1) ≤ s(t1) + s(t1, t2) = s(t1) + s(t2) − s(t1) = s(t2) (9)
(ii) Wegen der Tatsache, dass die Komponentenfunktionen eines rektifizierbaren
Weges nach Satz 3 von beschränkter Variation ist und wegen den
Gleichungen (7) und (8) gilt die Abschätzung:
0 ≤ s (t2) − s (t1) = s (t1, t2) = L (γ | [t1, t2]) (7)und(8)
≤
p
|γj| [t1,t2]
j=1
(10)
Da |γj| [t1,t2] beliebig klein wird, wenn die Differenz zwischen t1 und t2 nur
klein genug wird, folgt dass ein δ > 0 und ein ɛ > 0 existieren, sodass
∀ |t2 − t1| < δ gilt, dass |s(t2) − s(t1)| = s(t2) − s(t1) < ɛ. Hieraus folgt die
Stetigkeit von s (t).
Wir haben nun die nötigen Definitionen und Sätze, um die exakte Berechnung
einer Weglänge herzuleiten. Dazu wird der Weg abgeleitet und anschließend
wieder aufgeleitet. Mit diesem Trick ist es uns möglich, die Weglänge exakt
zu errechnen. Jedoch müssen wir uns hierdurch ab sofort auf stetig differenzierbare
Wege beschränken. Dabei schreiben wir die Ableitung von γ als
˙γ, wobei ˙γ genauso wie γ auch als ein Vektor angesehen werden kann. Aus
Analysis I ist bekannt, dass für t ∈ [a, b]:
γ (t + h) − γ (t)
˙γ (t) = lim
h→0 h
4
(11)

Abbildung 2: Die Ableitung des Weges
Anschaulich ist γ (t + h)−γ (t) der Vektor von γ (t) nach γ (t + h). Dies wird
auch im folgenden Schaubild veranschaulicht:
Analog zur obigen Überlegung zu ˙γ ergibt sich ebenfalls
s (t + h) − s (t)
˙s (t) = lim
h→0 h
Außerdem folgt aus Definition 5: L (γ) = b
˙s (t) dt = s (b) − s (a)
a
Mit diesen Überlegungen können wir nun den folgenden Satz beweisen:
(12)
Satz 7. Der Weg γ : [a, b] → R p sei stetig differenzierbar. Dann ist γ rektifizierbar,
seine Weglängenfunktion s (t) ist stetig differenzierbar und ∀t ∈
[a, b] : ˙s (t) = | ˙γ (t)|. Außerdem gilt:
L (γ) =
b
a
| ˙γ (t)| dt =
b
a
˙γ 2 1 + ... + ˙γ 2 p dt (13)
Beweis. Sei Z eine beliebige Zerlegung von [a, b]. Dann gilt:
tk
|γ (tk) − γ (tk−1)| =
˙γ (t) dt
≤
tk
| ˙γ (t)| dt (14)
tk−1
Wegen der Linearität des Integrals folgt dann:
n
|γ (tk) − γ (tk−1)| ≤
k=1
⇒ L (γ) ≤
b
a
b
a
tk−1
| ˙γ (t)| dt (15)
| ˙γ (t)| dt (16)
D.h. dass die rechte Seite nicht von der gewählten Zerlegung abhängt. Daraus
folgt, dass γ rektifizierbar ist.
5

Sei t ∈ [a, b) und h > 0, aber nur maximal so groß, dass t + h ≤ b. Aus
Abbildung 2 folgt:
⇒
|γ (tk) − γ (tk−1)| ≤ s (t + h) − s (t)
γ(t+h)−γ(t)
≤
h
s(t+h)−s(t)
h
h→0
⇒ | ˙γ (t)| ≤ ˙s (t)
NR1
≤ 1
t+h
h t
NR2
≤ | ˙γ (t)|
NR1: Man wendet Gleichung (16) an mit a = t und b = t + h.
NR2: Wegen dem 2. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist
1
h
t+h
| ˙γ (x)| dx = t
1
h |γ (t + h) − γ (t)|
| ˙γ (x)| dx
(17)
⇒ ˙s (t) existiert und ˙s (t) = | ˙γ (t)|
⇒ L (γ) = b
a ˙s (t) dt = b
| ˙γ (t)| dt
a
Die Längenformel ergibt sich durch die Anwendung der euklidischen Norm.
Bemerkung 8. Jeder stückweise stetig differenzierbare Weg ist rektifizierbar
und seine Länge ist die Summe der Längen seiner stetig differenzierbaren
Teilwege.
Nun können wir Weglängen exakt berechnen. Hierzu folgen nun zwei Beispiele:
Beispiel 9.
⎛ ⎞
r · cos (t)
γ (t) = ⎝ r · sin (t) ⎠ , 0 ≤ t ≤ 4π, h > 0
h · t
Dies stellt eine zweifache Schraubenlinie mit Radius r und Höhe h dar.
L (γ) =
=
=
4π
0
4π
| ˙γ (t)| dt
(−r · sin (t)) 2 + (r · cos (t)) 2 + h 2 dt
0
4π √
r2 + h2 dt
0
= 4π · √ r2 + h2 6
(18)

Beispiel 10.
γ (t) = x1 + t · (x2 − x1) , t ∈ [0, 1]
Dies ist eine Strecke vom Punkt x1 zum Punkt x2.
L (γ) =
=
1
0
1
0
| ˙γ (t)| dt
= x2 − x1
7
(x2 − x1) 2 dt
(19)

2 Das Wegintegral
Nun, da wir sowohl wissen was ein Weg ist als auch wie man seine Länge
berechnet, können wir uns dem eigentlichen Thema, dem Wegintegral, zuwenden.
Leider kann im Rahmen dieses Vortrags keine Herleitung gegeben
werden, sondern lediglich die ” Formel“.
Definition und Satz(ohne Beweis) 11. Der Weg γ : [a, b] → R p sei stetig
differenzierbar (d.h. er ist rektifizierbar) und f : Γγ → R p eine R p -wertige,
stetige Funktion auf dem zu γ gehörenden Bogen Γγ. Dann bezeichnet
γ
f · dx (20)
das Wegintegral von f längs γ. Im Folgenden ist fj, j = 1, ..., p, eine Komponentenfunktion
von f. Das Wegintegral wird folgendermaßen berechnet:
γ
f · dx =
=
b
a
b
a
f (γ (t)) · ˙γ (t) dt (21)
p
fj (γ (t)) · ˙γj (t) dt (22)
j=1
Die Veranschaulichung eines Wegintegrals ist nicht allzu einfach. Man kann
es sich folgendermaßen vorstellen:
An jedem Punkt zwischen dem Anfangspunkt a und dem Endpunkt b eines
Weges wird das Skalarprodukt (daher der Punkt in der Formel des Wegintegrals)
zwischen f (γ (t0)) und ˙γ (t0) gebildet. Das Ergebnis dieses Skalarprodukts
wird in ein neues Schaubild ” übertragen“. Anschließend hat man
ein neues Schaubild, welches einem Werte für jedes t ∈ [a, b] liefert. Bildet
man nun das Riemannsche Integral über diesem Schaubild, erhält man das
Wegintegral der ” ursprünglichen“ Funktion f längs dem Weg γ.
Bemerkung 12. Es gelten die folgenden Rechenregeln:
(f + g) · dx = f · dx + g · dx (23)
γ
γ
γ
cf · dx = c f · dx (24)
γ
γ
f · dx = f · dx + f · dx (25)
γ1⊕γ2
8
γ1
γ2

−γ
γ
f · dx = − f · dx (26)
f · dx
γ
≤
max |f (x)| L (γ)
x∈Γγ
(27)
Der nun folgende Satz zeigt, dass das Wegintegral unabhängig von der gewählten
Parametrisierung ist:
Satz 13. Sei γ : [a, b] → R p ein stetig differenzierbarer Weg und ϕ eine stetig
differenzierbare Abbildung eines Intervalls [c, d] auf das Intervall [a, b] mit
ϕ (c) = a und ϕ (d) = b. Dann ist γ◦ϕ : [c, d] → R p ein stetig differenzierbarer
Weg, dessen Bogen mit dem von γ übereinstimmt, und es gilt:
f · dx = f · dx (28)
γ
Beweis. Wenn wir Fj (t) := fj (γ (t)) setzen, folgt aus der Substitutionsund
der Kettenregel:
γ
f · dx =
=
=
=
=
p
b
j=1 a
b
p
j=1 a
d
p
j=1 c
d
p
j=1
γ◦ϕ
c
γ◦ϕ
fj (γ (t)) ˙γj (t) dt
Fj (t) ˙γj (t) dt
Fj (ϕ (u)) ˙γj (ϕ (u)) ϕ ′ (u) du
fj [(γ ◦ ϕ) (u)] (γj ◦ ϕ) ′ (u) du
f · dx
Als letztes soll nun noch ein Beispiel folgen, das zeigt, wie man das Wegintegral
berechnen kann.
9

Beispiel 14. Seien
f (x, y) = (y, x − y)
γ1 = γ1,1 ⊕ γ1,2, γ1,1 = (t, 0), γ1,2 = (1, t), t ∈ [0, 1]
γ1 = γ2,1 ⊕ γ2,2, γ2,1 = (0, t), γ2,2 = (t, 1), t ∈ [0, 1]
γ3 = (t, t 2 ), t ∈ [0, 1]
γ1
γ2
f · dx =
Abbildung 3: Drei Wege als Beispiel
=
=
=
=
f · dx =
1
0
γ1,1
1
0
1
0
1
0
= 1
2
1
0
f (γ1,1 (t)) · ˙γ1,1 dt +
f · dx + f · dx
γ1,2
1
f (t, 0) · dt +
0
1
(0, t) · dt +
0
(1 − t) dt
1
0
1
0
1
f (γ2,1 (t)) · ˙γ2,1 dt +
10
0
f (γ1,2 (t)) · ˙γ1,2 dt
0
f (1, t) · dt
1
0
(t, 1 − t) · dt
1
1
0
f (γ2,2 (t)) · ˙γ2,2 dt

=
=
=
=
γ2,1
1
0
1
0
1
0
= 1
2
γ3
f · dx +
γ2,2
f · dx
0
f (0, t) · dt +
1
0
(t, −t) · dt +
1
f · dx =
(1 − t) dt
=
=
=
=
1
0
1
0
1
= 1
2
1
0
1
0
f (γ3 (t)) ˙γ3 dt
f t, t 2
1
· dt
2t
2 2
t , t − t
1
· dt
2t
0
1
3t
0
2 − 2t 3 dt
1
t 3 − 1
2 t4
11
t=0
1
f (t, 1) · dt
0
1
(1, t − 1) · dt
0