Potenzen und Wurzeln

Ein programmiertes Manuskript
zum Selbststudium.
Datei Nr. 12321
Testversion enthält 25 von 59 Schritten.
Die vollständige Version nur auf der Mathematik-CD
März 2001
Demo: Mathe-CD
Friedrich W. Buckel
INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
www.mathe-cd.de

ARBEITSANWEISUNG
Dieses Manuskript ist ein programmiertes Übungsheft. Das Thema Potenzen und
Wurzeln ist in 59 Schritten zum Selbststudium aufbereitet worden. In kleinen
Abschnitten arbeitet man sich immer weiter vor. Dabei erhält man Beispiele,
Aufgaben und dazu die Lösung erst im nächsten Abschnitt, der auf der Folgeseite
steht.
Dieses Verfahren bietet Vor- und Nachteile.
1. Vorteil: Man kann seine eigene Lösung schnell kontrollieren und erkennt
mögliche Fehlerquellen.
2. Vorteil: Man kann auch nachsehen, wenn die Lösungsidee fehlt.
Nachteil: Wer nicht eigenverantwortlich arbeitet und zu schnell nachsieht, ohne
sich zum Nachdenken zu zwingen, der hat nicht viel Effekt davon.
Lernpsychologen raten bei solchen Programmen unbedingt zum Mitschreiben und
kontinuierlichen Rechnen in einem eigens dafür angelegten Heft. Nur die eigene
Erfahrung beim Rechnen läßt einen erkennen, wo die Probleme einer Aufgabe
stecken.
Wer sich nicht dazu zwingen kann, dem rate ich zu einem Spaziergang. Dann ist die
Zeit besser genützt.
Die Aufgaben beginnen ganz einfach und führen zu sehr anspruchs-vollem Niveau.
Daher ist das Programm auch noch in der Oberstufe zum Wiederholen geeignet.
Und wer allzu oft nachsehen mußte, wie eine Aufgabe zu lösen ist, der sollte das
Manuskript zweimal durcharbeiten. Das Lernen liegt alleine in der Wiederholung.
Beim zweiten Male kann man sich daran erinnern, wie es geht, und gerade darin
besteht der Lernerfolg.
Können heißt Sich-Erinnern-Können - oder ein Genie sein ...
Demo: Mathe-CD
Ein Hinweis zum Manuskript:
Auftretende Variable wie a, b, c, x, y, z usw. seien stets positive reelle Zahlen

12321 Potenzen und Wurzeln Lernprogramm 1
1 Wir wollen mit der Wiederholung der wichtigsten Definitionen beginnen.
Schreibe auf, wie die n-te Wurzel aus a, also n a definiert ist. ⇒
1 1
6⋅
3 6 3 3 2
11 ( )
21 (a)
64 = 2 = 2 = 2 = 4
1 1
10⋅
5 10 10 5 5 2
( )
3 = 3 = 3 = 3 = 9
1 6 2
9 6 6 9 9 3 3 2
( )
a = a = a = a = a
3 12
12
3 4
(b)
(c)
(d)
(e)
7 = 7 = 7 = 2041
11 3 3
2+
4 11 4 4 2 4 4 3 4
3 = 3 = 3 = 3 ⋅ 3 = 9⋅ 3 = 9 27
16 1 1
5+
3 16 3 3 5 3
3
2 = 2 = 2 = 2 ⋅ 2 = 32⋅ 2
7 3 3
1+
4 4 7 4 4 4 4 3 4
128 = 2 = 2 = 2 = 2 ⋅ 2 = 2 2 = 2 8
12 2
2+
5 12 5 5 2 5 2
x = x = x = x x (e)
5 1
1+
8 10 4 4 4
7 7 7 7 7
= = = (f) ( )
AUFGABE: Ziehe teilweise die Wurzel: (a) 3 40 (b)
3 2 5 −4
3 4 10
31
41 (a)
15 1
1+
12 15 12 4 4
3 = 3 = 3 = 3 3
10 1
5 3+
3 3 3 3 3 3
25 = 5 = 5 = 5 5 = 125 5
3 5
9a (c) 3 48 (d) 4 320 .
24x y z ⋅ 24x yz = ? Hier muss man 24 als Produkt von Primzahlen darstellen::
2
24 = 3 ⋅ 4 = 3 ⋅ 2 . Jetzt wollte man die Potenzschreibweise komplett verwenden . . . .
3 2
3 3
12a 12a ⋅ 2 a 12a
⋅ 4a 12a ⋅ 4a
=
3 2 3 2 3 2 3 3 3
= = =
2a 2a ⋅ 2 a 2 a 2a
3 2
3 2 3 2
12a 12a ⋅ 2a 12a ⋅ 2a 12a ⋅ 2a
= =
3 3 2 3 2 3 3 3
3
6 4a
3 2
(b) = = 6 2a
4a 2a⋅ 2a 2a 2a
Arbeitet man mit 4. 5. Oder noch höheren Wurzeln, muß entsprechend so erweitert werden, daß Potenzen
entstehen, die Vielfache vom Wurzelgrad sind. damit man die Wurzel ziehen kann.
BEISPIEL:
AUFGABE:
51
4 3
32
8ab
=
32 ⋅
2 ab
2ab ⋅ 2a b
32 ⋅ 2a b
=
2 a b
32⋅ 2ab
=
2ab
122ab =
ab
2 2
ab
3
4a b
= ?
4 3 2
4 3 2 4 3 2 4 3 2
4 2 4 3 2 4 3 2 4 4 4 4
4
1 1 1
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 6−3−2 − − −
2 6 2 2 4 6 3 2 12
42 2 ⋅3⋅7 2 ⋅3 ⋅7
= = = 2 ⋅3 ⋅ 7 = 2 3 7
4 12 2 2 1 2 2
7⋅196 7 ⋅ 2 7 4 12 12
7 ⋅2 ⋅7
1 1 1
3 2 12 2 3 7
3
2 3
12
7
Das Umschreiben von Wurzeln in Potenzen erzeugt
Potenzen mit Brüchen als Exponenten. Diese kann man
sehr oft so kürzen, daß sich die Lösung als einfache
Wurzel oder gar als ganze Zahl darstellen läßt..
Im 3. Beispiel erkennt man ganz deutlich, daß das Kürzen
des Hochzahl-Bruches einem Kürzen des Wurzelgrades
9 6 3 2
entspricht: a = a
Demo: Mathe-CD
= = ⋅ ⋅
Dieses Ergebnis ist zwar richtig aber unschön. Versuche nun, dieses so umzuformen,
daß es als eine 12. Wurzel geschrieben werden kann.

12321 Potenzen und Wurzeln Lernprogramm 2
2
DEFINITION: Unter n a versteht man diejenige positive Zahl,
BEISPIELE: 5 32 = 2 , denn
5
2 = 32 oder 3 64 = 4 , denn
3
4 = 64
AUFGABE: Was ist 5 243 und 4 625 ? Begründe genauso !
1 4 1
12 4 12 3 3
12 ( 12 )
(
1
10 )
( )
81 = 3 = 3 = 3 = 3 oder so:
15 3 1 1
1+
10 15 15 10 2 2 1 2
12 12 4 3
81 = 3 = 3
2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 ⋅ 2 = 2 2 oder so:
1 10 2
15 10 15 15 3 3 2 3
1024 = 2 = 2 = 2 = 2 = 4 oder so:
8
8
2 4
deren n-te Potenz der Radikand a ist: ( ) n
n a = a
10 15 3
2 = 2 = 2 2
15 15 10 3 2 3
1024 = 2 = 2 = 4
5 = 5 = 5 = 625
Wie man an den blauen Rechnungen sehen kann, lassen sich Potenz und Wurzelgrad kürzen.
Dies vereinfacht so manche Rechnung.
AUFGABE:
24 8
3
20 5
, 5
16 20
, a
14 7
, 2 .
Demo: Mathe-CD