Nullstellen von Polynomen, Hornerschema

allg.
Hornerschema für das Polynom ( ) 3 2
a b c d
a1x 0 b1x 0 c1x 0 x = x0
_____________________
a1 b1 c1 d1
mit a1 = a, b1 = b + x0a1, c1 = c + x0b1, d1 = d + x0c1
Behauptung:
f ( x)
( x − x ) ⋅ g(
x)
+ d
kudis_6_k 25.02.2013/ul
f x = ax + bx + cx + d
(1)
2
= 0
1 mit g ( x)
= a1x
+ b1x
+ c1
und f(x0) = d1 (2)
Beweis: durch Ausmultiplizieren von (2) und Koeffizientenvergleich mit (1)
2
( x − x ) ⋅ ( a x + b x )
( x − x0
) ⋅ g(
x)
+ d1
Koeffizient von
= 0 1 1 + c
x 3 : a1 = a
x
wegen (3)
2 : b1 - a1x0 = b
x
wegen (3)
1 : c1 - b1x0 = c
x
wegen (3)
0 : d1 - c1x0 = d wegen (3)
1
Ergänzung:
Mit dem vollständigen Hornerschema können zusätzlich die Ableitungen berechnet werden.
Die Darstellung (2) ist besonders nützlich, wenn eine Nullstelle von f bekannt ist:
B.:
f x = x − x + x1 = 2 ist Nullstelle.
( ) 3 7 6
1 0 -7 6
2 4 -6 x1 = 2
1 2 -3 0 = f(2)
Horner liefert die Darstellung
f x = x − 2
2
x + 2x − 3
( ) ( )( )
Die beiden restlichen Nullstellen können z.B. mit der quadratischen Auflösungsformel oder
durch faktorisieren gefunden werden: x2 = 1, x3 = -3. Damit gilt:
f x = x − 2 ⋅ x + 3 ⋅ x − 1
( ) ( ) ( ) ( )
Satz:
Ist speziell x0 eine Nullstelle von f, dann ist f(x) durch (x - x0) teilbar, d.h.
f ( x) = ( x − x ) ⋅ g( x)
mit grad g = grad f - 1
0
Bem.
Die Koeffizienten von g ergeben sich leicht mit dem Hornerschema
(3)
21