Nullstellen von Polynomen, Hornerschema

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( ) ( ) 2 2 = − 6 + 9 = − 3 f x x x x Beachte: Mehrfache Nullstellen sind auch Nullstellen der 1. Ableitung (Beweis mit der Produkt- und Kettenregel). Im Beispiel berührt die Parabel die x-Achse an der Stelle 3. kudis_6_k 25.02.2013/ul 23
Aufgabe: Die Tangente t an die kubische Parabel k: ( ) 3 kudis_6_k 25.02.2013/ul y = f x = x in einem beliebigen Kurvenpunkt P schneidet k in einem weiteren Punkt S. bestimme die Koordinaten von S. Skizze: x0 = 0.5 Für die Steigung m der Tangente t gilt: 2 m = f ′ ( x0 ) = 3x0 Ansatz für die Tangentengleichung: 2 t: y = 3 x0 x + q P erfüllt die Tangentengleichung: 3 2 x x ⋅ x + q q = −2x 0 = 3 0 0 2 3 t: y = 3x0 x − 2x0 Im Schnittpunkt von t und k gilt: 3 2 3 3 2 3 x = 3x0 x − 2x0 bzw. x − 3x0 x + 2x0 = 0 Die doppelte Lösung x0 dieser Gleichung kann nach Horner abgespaltenwerden: 1 0 -3x 2x 2 0 3 0 2 3 x0 x 0 - 2x 0 ______________________ 2 − 2x 0 1 x0 x0 0 2 2x 0 ______________________ 1 2x0 0 3 0 3 Gesuchter Schnittpunkt Q( − 2x / − 8x ) Ausblick: Zwar gibt es für Gleichungen 3. und 4. Grades Auflösungsformeln. Sie sind aber in der Praxis kaum von Bedeutung. Wie der Mathematiker Nils Hendrik Abel bewiesen hat, gibt es keine allgemeine Auflösungsformel für Gleichungen von mindestens 5. Grad. In der Praxis hilft man sich mit numerischen Verfahren wie z.B. dem Newtonverfahren. 0 0 24
Seite 1 und 2: 8. Nullstellen von Polynomen Def. x
Seite 3: Aufgabe. Das Polynom f(x) = 3x 3 +

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