Dreiecksberechnung
Dreiecksberechnung
Dreiecksberechnung
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6. Sinussatz:<br />
Die Berechnung von spitz- oder stumpfwinkligen Dreiecken kann nach dem Sinus- bzw.<br />
Cosinussatz erfolgen. Der Sinussatz wird angewendet, wenn zu einer Seite auch der<br />
Gegenwinkel bekannt ist. Seine Herleitung ergibt sich bei der Lösung der folgenden<br />
1. Grundaufgabe:<br />
Berechne ein (zunächst spitzwinkliges) Dreieck aus einer Seite und zwei Winkeln (WSW).<br />
geg.: b, , ges.: a, c, .<br />
h bsin<br />
h<br />
a<br />
sin a<br />
h<br />
sin<br />
b sin<br />
sin<br />
( 1)<br />
180<br />
analog<br />
c<br />
(<br />
bsin<br />
sin<br />
20.02.2012 trigo_3/ul<br />
)<br />
Die aus (1) folgende Aussage heisst<br />
Sinussatz (1. Formulierung)<br />
a<br />
b<br />
sin<br />
sin<br />
oder<br />
In einem Dreieck verhalten sich zwei Seiten wie die Sinuswerte ihrer Gegenwinkel.<br />
Bemerkung :<br />
Der Sinussatz gilt wegen sin (180° - ) = sin auch für stumpfwinklige Dreiecke<br />
num. Beispiel:<br />
b = 38.4 = 67.4° = 72.2°<br />
= 40.4° a = 37.23 c = 26.1<br />
Im rechtwinkligen Dreieck BCE gilt:<br />
a<br />
a<br />
sin oder 2r<br />
und damit<br />
2r<br />
sin<br />
Sinussatz (2. Formulierung)<br />
a b c<br />
sin sin sin<br />
2 r<br />
Herleitungsvariante:<br />
Betrachte die doppelte Dreiecksfläche:<br />
ha / b hb / c hc / a sin sin sin<br />
aha bhb ch c<br />
c a b<br />
c a b<br />
Uebungsaufgabe:<br />
Von einem Dreieck ABC kennt man die Seite a = 15 cm und die Winkel = 35° und = 50°.<br />
Gesucht ist die Seite b.<br />
Lösung: b = 20 cm<br />
b<br />
c<br />
sin<br />
sin<br />
10
2. Grundaufgabe:<br />
Berechne ein Dreieck aus zwei Seiten und dem Gegenwinkel einer dieser Seiten (SSW).<br />
Der Fall eines gleichschenkligen Dreiecks wurde bereits früher besprochen. Es verbleiben also<br />
noch die folgenden beiden Fälle:<br />
1. Fall: Der Gegenwinkel der grössern Seite ist gegeben.<br />
Skizze: a = 5 > b = 4 = 60°.<br />
Da der kleineren Seite der kleinere Winkel gegen-<br />
überliegt, ist ein spitzer Winkel.<br />
Der Kreis um C mit Radius a schneidet die Ge-<br />
rade der Seite c in zwei Punkten B1 und B2, aber<br />
nur B1 liefert eine Lösung mit spitzem Win-<br />
kel , weil das zweite Dreieck AB2C nicht den<br />
Winkel , sondern den Winkel 180° - enthält.<br />
sin<br />
sin<br />
180<br />
b<br />
a<br />
sin<br />
c<br />
a<br />
sin<br />
sin<br />
c<br />
a sin<br />
sin<br />
ist spitzwinklig, denn der kleinern Seite liegt der kleinere Winkel gegenüber<br />
20.02.2012 trigo_3/ul<br />
b sin<br />
a<br />
(*)<br />
bsin<br />
arcsin<br />
a<br />
Bem: zu (*):<br />
Zu einem gegebenen Sinuswert gehört ein spitzer Winkel und ein stumpfer Winkel<br />
180° - . Kann der stumpfe Winkel nicht ausgeschlossen werden, dann ist die Berechnung des<br />
grössten Winkels mit dem Sinussatz zu vermeiden.<br />
Lösungsdreieck: = 43.9° = 76.1° c = 5.60<br />
Uebungsaufgabe:<br />
a = 57.7 b = 44.8 = 69.7°<br />
= 46.7° = 63.6° c = 55.1<br />
11
2. Fall: Der Gegenwinkel der kleineren Seite ist gegeben.<br />
Skizze: a = 4.00 < b = 5.00 = 45.0°<br />
geometrische Lösung:<br />
Der Kreis um C mit Radius a kann die Gerade der<br />
Seite c schneiden, berühren oder meiden.<br />
Entsprechend können drei Fälle auftreten:<br />
1) a > h 2 Lösungen<br />
2) a = h 1 Lösung<br />
3) a < h keine Lösung<br />
rechnerische Lösung:<br />
nach dem Sinussatz gilt: sin<br />
20.02.2012 trigo_3/ul<br />
b sin<br />
a<br />
1) Ist a > h, dann ist sin < 1 und es gibt eine spitze und eine stumpfe Lösung<br />
2) Ist a = h, dann ist sin = 1 und das Lösungsdreieck ist rechtwinklig<br />
3) Ist a < h, dann ist sin > 1 und es gibt keine Lösung.<br />
1. Lösung: 1 = 62.1° 1 = 72.9° c1 = 5.41<br />
2. Lösung 2 = 117.9° 2 = 17.1° c2 = 1.66<br />
h<br />
a<br />
Variante:<br />
Diese Aufgabe kann später auch mit dem Cosinusatz gelöst werden. In diesem Fall führt<br />
dies auf eine quadratische Gleichung. Der Wert der Diskriminante bestimmt die Anzahl der<br />
Lösungen.<br />
Der Sinussatz kann angewendet werden, wenn eine Seite und der gegenüberliegende Winkel<br />
gegeben ist. In den übrigen Fällen wendet man den folgenden Cosinussatz an.<br />
Uebungsaufgabe:<br />
Beweise trigonometrisch: Im Dreieck teilt eine Winkelhalbierende die gegenüberliegende<br />
Seite im Verhältnis der anliegenden Seiten.<br />
Lösung:<br />
Die Winkelhalbierende w teilt die gegenüberliegende Seite in zwei Teilstrecken p und q.<br />
p a<br />
Es ist zu zeigen, dass gilt:<br />
q b<br />
In den beiden Teildreiecken gilt nach dem Sinussatz:<br />
p b bzw.<br />
sin( 2)<br />
sin<br />
q a a . Die Behauptung ergibt sich, indem man<br />
sin( 2)<br />
sin(180 ) sin<br />
die linke und die rechte Seite der beiden Gleichungen durcheinander dividiert.<br />
Varianten:<br />
Anwenden des Flächensatzes auf die beiden Teildreiecke oder mit den Strahlensätzen.<br />
2F a w sin( ) p h bzw. 2F2 b w sin( 2)<br />
q h und Division der beiden Seiten erhält<br />
man:<br />
1 2<br />
ph aw<br />
qh bw<br />
sin( 2)<br />
sin( )<br />
2<br />
12
7. Cosinussatz (Verallgemeinerter Pythagoras)<br />
Der Satz ergibt sich bei der Lösung der folgenden<br />
3. Grundaufgabe:<br />
Berechne ein Dreieck aus zwei Seiten a und b und dem eingeschlossenen (zunächst spitzen)<br />
Winkel (SWS).<br />
c<br />
BDA<br />
h AD h ( b x)<br />
2 2 2 2 2<br />
2 2 2<br />
h x b 2bx<br />
wegen x a cos folgt<br />
2<br />
c<br />
2<br />
a<br />
2<br />
b 2ab cos<br />
Nach dem Sinussatz ergibt sich<br />
sin<br />
a sin<br />
c<br />
180<br />
Tip:<br />
( ) b<br />
c sin<br />
sin<br />
Berechne zunächst den Winkel, welcher der kleineren Seite gegenüber liegt, denn dieser kann<br />
nicht stumpf sein.<br />
B.:<br />
a = 6.80 b = 9.10 = 61.3°<br />
c = 8.34 = 45.6° = 73.1°<br />
Cosinusatz (Verallgemeinerter Pythagoras):<br />
Das Quadrat über einer Seite eines Dreiecks ist gleich der Summe der Quadrate der andern<br />
Seiten vermindert um ein Korrekturglied k (doppeltes Produkt der beiden Seiten mit dem<br />
Cosinus des eingeschlossenen Winkels).<br />
2 2 2<br />
c a b 2ab cos<br />
= 0° k = 1 c = a - b<br />
= 90° k = 0 (Pythagoras)<br />
< 90° k > 0<br />
> 90° k < 0<br />
= 180° k = -1 c = a + b<br />
Der Cosinussatz gilt auch im stumpfwinkligen Dreieck.<br />
Auf die Bedeutung des Satzes weist ein unverdächtiger Zeuge im folgenden Zeitungsausschnitt<br />
der BernerZeitung hin.<br />
20.02.2012 trigo_3/ul<br />
13
4. Grundaufgabe:<br />
Berechne ein Dreieck, von dem 3 Seiten gegeben sind (SSS)<br />
Tip: Berechne zunächst den Winkel, welcher der grössten Seite gegenüberliegt.<br />
arccos<br />
asin<br />
arcsin<br />
c<br />
180<br />
20.02.2012 trigo_3/ul<br />
(<br />
a<br />
2<br />
2<br />
b<br />
2ab<br />
)<br />
c<br />
2<br />
B:<br />
a = 2.94 b = 4.07 c = 5.83<br />
= 111.5° = 28.0° = 40.5°<br />
Uebungsaufgabe:<br />
Die Seiten eines Dreiecks messen a = 14, b = 30 und c = 26. Gesucht ist der Winkel .<br />
Lösung: = 60°<br />
Nachtrag: Lösung der 2. Grundaufgabe mit dem Cosinussatz:<br />
2 2 2<br />
a b c 2bc cos oder<br />
2 2 2<br />
c 2b cos c a b 0<br />
Die quadratische Gleichung hat die Diskriminante<br />
Lösungen:<br />
c b cos D<br />
1,2<br />
2 2 2<br />
D a b sin und die allgemeinen<br />
1. Fall: a > b: D<br />
2<br />
a<br />
2<br />
b<br />
2<br />
sin<br />
2<br />
b<br />
2<br />
b<br />
2<br />
sin<br />
2<br />
b<br />
2<br />
cos . Da der Wurzelwert grösser als<br />
b cos ist, gibt es genau eine Lösung (c2 < 0)<br />
2. Fall: a = b : Es gibt genau eine Lösung 2b cos (c2 = 0)<br />
3. Fall: a < b Parallel zu den drei Fällen bei der quadratischen Gleichung gibt es<br />
3a) D > 0: zwei Lösungen (auch c2 > 0) 3b) D = 0 oder c = b cos<br />
Dreieck 3c) keine Lösung (geom.: die Seite a ist zu kurz)<br />
(rechtwinkliges<br />
num. B. für 3b): a = 4.00 < b = 5.00 = 45.0°<br />
1 (5 2 14)<br />
c c2 1.66, c1 5.41<br />
1,2 2<br />
14
8. Beispiele<br />
Aufgabe:<br />
Zwei Kräfte F1 und F2 wirken unter einem Winkel auf einen Massenpunkt A. Bestimme die<br />
resultierende Kraft F und den Winkel 1 zwischen F und F1.<br />
2<br />
F<br />
<br />
F1 2 <br />
F2 2 <br />
2 F1 F2<br />
cos( 180 )<br />
2<br />
F<br />
<br />
F<br />
2 <br />
F<br />
2 <br />
2 F F cos<br />
1<br />
<br />
F2 2 <br />
F<br />
2 <br />
F1 2 <br />
2 F F<br />
cos 1<br />
<br />
F<br />
2 2<br />
F1 <br />
2 F F<br />
<br />
F2<br />
2<br />
num. B:<br />
20.02.2012 trigo_3/ul<br />
2<br />
1<br />
1 2<br />
cos<br />
1 1<br />
F1 = 20 N F2 = 12 N = 40°<br />
F = 30.2 1 = 14.8°<br />
Uebungsaufgabe:<br />
Eine Kraft F = 100 N soll in zwei Komponenten F1 und F2 zerlegt werden, von denen F1 mit<br />
F einen Winkel = 50° und F2 mit F einen Winkel = 20° einschliesst. Bestimme F1 und F2.<br />
Lösung: F1 = 366.4 N , F2 = 81.5 N.<br />
Aufgabe:<br />
Leite eine Formel her zur Berechnung der<br />
Schwerlinien eines Dreiecks aus den Seiten.<br />
2<br />
2 a 2<br />
ABM: sa c ac cos (1)<br />
2<br />
2<br />
ABD: b<br />
2<br />
a<br />
2<br />
c 2ac<br />
cos oder<br />
ac cos<br />
1 2<br />
( a<br />
2<br />
2<br />
c<br />
2<br />
b ) eingesetzt in (1)<br />
2<br />
sa 2<br />
a<br />
4<br />
2<br />
c<br />
2<br />
a<br />
2<br />
2<br />
c<br />
2<br />
2<br />
b<br />
2<br />
2<br />
2b<br />
2<br />
2c<br />
4<br />
2<br />
a<br />
Ergänzt man das Dreieck zu einem Parallelogramm, so erhält man den folgenden:<br />
Satz:<br />
Im Parallelogramm ist die Summe der Quadrate über den Seiten gleich der Summe der<br />
Quadrate über den Diagonalen.<br />
4s e 2b 2c<br />
a<br />
2<br />
a<br />
2 2 2 2<br />
e a e f 2b2c 2 2 2 2 2 2<br />
15
Eine Aufgabe aus der Vermessung: Vorwärtseinschneiden nach zwei Punkten.<br />
Um die Entfernung zweier unzugänglicher Punkte P und Q zu bestimmen, steckt man eine<br />
Standlinie AB = s =364.7 m ab und misst die Winkel = 68.2°, = 34.8°, = 29.9°,<br />
= 80.6°.<br />
PB<br />
s<br />
a sin<br />
PB<br />
sin sin( 180 ( )) sin( )<br />
BQ<br />
sin<br />
PQ<br />
2<br />
sin( 180<br />
PB<br />
s<br />
(<br />
20.02.2012 trigo_3/ul<br />
2<br />
BQ<br />
2<br />
2<br />
))<br />
PB<br />
BQ<br />
BQ<br />
cos(<br />
a sin<br />
sin(<br />
num. B.:<br />
PB = 342.0 m BQ = 230.4 m PQ = 264.6 m<br />
oder<br />
PA = 183.6 m AQ = 398.3 m PQ = 264.6 m<br />
Aufgabe : Partielle Mondfinsternis<br />
Die Skizze veranschaulicht stark vereinfacht<br />
und nicht masstäblich eine partielle Mondfinsternis.<br />
Grün dargestellt ist der Schatten S<br />
der Erde E auf der Mondscheibe M.<br />
Annahme rE 4 r M und d 4.5 r M .<br />
Wie gross ist der Anteil der Mondscheibe, der<br />
noch voll von der Sonne beschienen wird ?<br />
Der Schatten besteht aus zwei<br />
Kreisabschnittsflächen mit den Zentriwinkeln<br />
2 bzw. 2 .<br />
mit Cosinussatz im MDE :<br />
2 2 2<br />
rE rM d 2rM d cos<br />
mit dem Sinussatz im MDE :<br />
r r<br />
sin<br />
rM<br />
sin<br />
r<br />
E M<br />
sin sin<br />
E<br />
cos<br />
)<br />
)<br />
r d<br />
2r<br />
d<br />
r<br />
2 2 2<br />
M E<br />
rE 4 r M und d 4.5 r M eingesetzt ergibt :<br />
2 = 1.90 (108.63°) und 2 = 0.41 (23.43°).<br />
S 1 2<br />
2rM(2sin(2 )) 1 2<br />
2rE(2sin(2<br />
))<br />
2<br />
0.568r<br />
M<br />
Anteil des Schattens bezüglich der Mondfläche :<br />
S<br />
r<br />
0.18 Damit werden etwa 82% der Mondscheibe noch von der Sonne beleuchtet.<br />
Uebungsaufgabe :<br />
Bei der partiellen Sonennfinsternis am 20. Mai 1966 in Zürich waren maximal 58.9% des<br />
Sonenndurchmessers bedeckt. Wieviel % der Sonnenscheibe waren bedeckt (Sonne und Mond<br />
werde als gleich grosse Kreise betrachtet). Lösung : 49.2%.<br />
M<br />
16
Aufgabe Diskuswurf (wh)<br />
Ein Sportler wirft den Diskus vom Randpunkt P des Wurfkreises mit Radius r = 1.25 m<br />
um = 8° schräg gegen die radiale Richtung bis nach R. Gemessen wird senkrecht zum<br />
Wurfkreisrand QR = 74.04 m. Welche Weite hätte der Werfer bei einer optimalen Wurfrichtung<br />
erzielt?<br />
Sinussatz im Dreieck RMP,<br />
Winkel bei R, Winkel bei M<br />
EQ r r<br />
sin(180 ) sin<br />
20.02.2012 trigo_3/ul<br />
sin<br />
r sin<br />
ES r<br />
2 2 2<br />
RP r ( RS r) 2 r ( RS r ) cos<br />
numerisch<br />
EP = 74.68 m<br />
1989 stellte Jürgen Schuldt (DDR) mit 74.08 m im Diskuswerfen einen neuen Weltrekord auf.<br />
Aufgabe : Peilung<br />
Ein Schiff kann seinen Standort A folgendermassen bestimmen :<br />
Es peilt ein zweites Schiff S in Richtung<br />
N17W und einen Leuchturm L in N26E an.<br />
Diese Schiff S und der Leuchtturm haben<br />
nach der Seekarte eine Entfernung von 16.4<br />
Seemeilen (1 Seemeile entspricht 1.852 km).<br />
Vom Schiff S aus liegt der Leuchtturm in<br />
Richtung N96E.<br />
Bestimme die Entfernung d = AS des Schiffs<br />
mit Standort A vom Schiff S in km.<br />
d FL<br />
sin 60 sin(17 36 )<br />
FL sin60<br />
d 17.8 sm 33km<br />
sin53<br />
Uebungsaufgabe :<br />
Ein Schiff fährt mit 20 Knoten (1 Knoten entspricht einer Seemeile pro Stunde<br />
also 1.852 km/h) Geschwindigkeit auf konstantem Kurs. In der Position A erscheint ein<br />
Leuchtturm L unter dem Winkel = 30°, eine halbe Stunde später in Position B erscheint L<br />
unter dem Winkel = 42.5°. Wie weit ist das Schiff nach einer weiteren Viertelstunde in der<br />
Position C vom Leuchtturm L entfernt ?<br />
Lösung : CL 36.5 km<br />
17
Aufgabe : (aufwändiger wegen *)<br />
An einem genau in west-östlicher Richtung<br />
verlaufenden Ufer eines Sees liegen die<br />
Bootsanlegeplätze A und B, die 5 km<br />
voneinander entfernt sind. Ruth startet um 13 :00<br />
Uhr von A aus mit vA = 12 kmh -1 und Kurs<br />
10°NW. Jürg fährt um 13 :05 Uhr von<br />
B aus mit Geschwindigkeit vB = 18 kmh -1 .<br />
Welchen Kurs muss Jürg einhalten, um Ruth im<br />
Punkt T zu treffen und wann findet dieses Treffen<br />
statt.<br />
Zurückgelegte Strecke AD von Ruth : t 0.<br />
2 km/min<br />
Zurückgelegte Strecke BD von Jürg:<br />
Cosinussatz im ABD :<br />
(t 5)<br />
0.<br />
3 km/min<br />
(( t<br />
2<br />
5)<br />
0.<br />
3)<br />
( t<br />
2<br />
0.<br />
2)<br />
2<br />
5 2 5 0.<br />
2 t cos100<br />
(*)<br />
oder angenähert :<br />
2<br />
t 24.<br />
9t<br />
455 0 mit den Lösungen : t 1 37.<br />
18 min und ( t2 12.<br />
24min<br />
)<br />
Ruth legt die Strecke AD 7.437 km zurück, Jürg BD 9.655 km.<br />
Der gesuchte Kurswinkel ergibt sich mit dem Sinussatz im ABD :<br />
BD<br />
sin110<br />
AD<br />
sin( 90<br />
zu sin( 90<br />
)<br />
) cos<br />
AD sin110<br />
BD<br />
mit der Lösung 43.6°NW<br />
Geometrische Lösung :<br />
Beim Start von Jürg hat Ruth bereits A’ erreicht. Ab diesem Zeitpunkt hat der Treffpunkt D<br />
das Abstandsverhältnis vA :vB = 2 :3. D liegt also auf dem Apolloniuskreis über A’B zum<br />
Verhältnis 2 : 3.<br />
20.02.2012 trigo_3/ul<br />
18