Trigonometrische Gleichungen

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Lösung mit Iterationsverfahren bei Gleichungen der Form g(x) = x Iteration: Rechenvorgang, der sich ständig wiederholt, wobei die gesuchte Lösung schrittweise besser angenähert wird. Illustration des Verfahrens am gleichen Beispiel cos x = x: In der Abbildung sind die Kurven y = cos x und y = x dargestellt. Wähle einen Startwert x1 = 0.5 und berechne schrittweise xk+1 = cos xk. Es entsteht in der Abbildung ein spiralförmiger Streckenzug der sich dem Grenzpunkt mit x = 0.739085133.. immer mehr nähert. Bem.: Es kann gezeigt werden, dass dieses Verfahren konvergiert, wenn der Graph der Funktion nicht steiler als die Winkelhalbierenden steigt bzw. fällt. ( Numerische Verfahren). 20.02.2012 trigon_Gleichungen/ul 36
12. Eine Aufgabe aus der Astronomie Anwendung aus der Astronomie: Berlin und Kapstadt liegen nahezu auf demselben Längenkreis (Meridian). Die Astronomen Lalande in Berlin und Lacaille in Kapstadt haben 1751 zur gleichen Zeit die folgenden Zenitdistanzen desselben Mondrandes gemessen: Berlin 1 = 52 31'13'' Zenitdistanz z1 = 41 15'44'' Kapstadt 2 = -33 55'15'' Zenitdistanz z2 = 46 33'37'' Berechne daraus die Entfernung Erde - Mond (Erdradius R = 6371.2 km) Führe die Hilfswinkel 1 und 2 ein Sinussatz im Dreieck OMB: R sin 1 d sin( 180 z1) d sin z1 Sinussatz im Dreieck OKB: R sin d sin( 180 z ) d sin z Winkelsumme im Viereck 1 + 2 = z1 + z2 - 1 - 2 = a 2 = a - 1 (3) aus (1) und (2): d R sin z1 sin 1 sin z2 sin 2 (4) aus (4) sin sin 2 sin z2 sin z b (5) Additionstheorem und (5‘) 20.02.2012 trigon_Gleichungen/ul 2 1 1 2 2 (1) (2) sin 2 b sin 1 (5’) sin sin( a ) sina 2 cos 1 1 cosa dividiere durch cos 1 sina cosa tan 1 b tan 1 tan 1 ausklammern sina tan 1 (cosa b) b tan 1 sin a b cosa 1 arctan sin a b cosa sin 1 b sin 1 (6) 37
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