Differential- und Integralrechnung - Fachschaft MathPhys an der Uni ...

A(x 2 − 2x + 1) + B(x 2 + 2x − 3) + Cx + 3C
(x + 3)(x − 1) 2
Ax 2 − 2Ax + A + Bx 2 + 2Bx − 3B + Cx + 3C
(x + 3)(x − 1) 2
x 2 (A + B) + x(C − 2A + 2B) + 1 + 3C − 3B
(x + 3)(x − 1) 2
4. Schritt: (Koeffizientenvergleich) Vergleiche den Ausdruck in (2) mit 2x 2 +x+1
(x+3)(x−1) 2 .
Vergleich der Faktoren vor x 2 ergibt: A + B = 2
Vergleich der Faktoren vor x liefert: −2A + 2B + C = 1
Vergleich der Faktoren der Konstanten impliziert: 1 + 3C − 3B = 1
Man erhält ein LGS, dessen Lösung: A = 1, B = 1, C = 1 ist.
5. Schritt: Schreibe um und berechne das Integral:
2x2
+ x + 1
=
(x + 3)(x − 1) 2
1
dx +
x + 3
1
dx +
x − 1
ln(|x + 3|) + ln(|x − 1|) − 1
+ K
x − 1
wobei K ∈ R eine Integrationskonstante ist.
Korollar
Seien f(x), g(x) Polynome von Grad(f) < Grad(g) und sei:
Dann folgt:
und ∀k ∈ [1, 2, 3, ..., n] gilt:
g(x) = (x − a1) · (x − a2) · ... · (x − an)
f(x)
g(x)
Beispiel (zum
Korollar)
1
Gesucht:
(x − 1)(x − 2) dx
A1
= +
x − a1
A2
+ ... +
x − a2
An
x − an
Ak = f(ak)
g ′ (ak)
Der Ansatz für Partialbrüche ist gegeben durch:
1 A1 A2
= +
(x − 1)(x − 2) x − 1 x − 2
=
=
1
dx =
(x − 1) 2
Die Voraussetzung des Korollars ”Alle Nullstellen kommen einfach vor” ist erfüllt.
Mit
f(x) = 1, g(x) = (x − 1)(x − 2) ⇒ g ′ (x) = 2x − 3
11
(2)