Differential- und Integralrechnung - Fachschaft MathPhys an der Uni ...

2 Integralrechnung
2.1 Definitionen und Anschauung
Definition (Treppenfunktion)
φ : [a, b] → R heißt Treppenfunktion, falls es eine Unterteilung des Intervalls [a, b],
a = x0 < x1 < x2 < x3 < ... < xn = b mit n ∈ N gibt, derart, dass φ in jedem offenen
Teilintervall konstant ist.
Definition (Integral einer Treppenfunktion)
Sei φ : [a, b] → R eine Treppenfunktion mit der Unterteilung des Intervalls [a, b],
a = x0 < x1 < x2 < x3 < ... < xn = b mit n ∈ N gegeben. Nimmt φ im Teilintervall
(xk−1, xk) den konstanten Wert ck an, so definiert man mit ∆xk := xk − xk−1 das
Integral einer Treppenfunktion mit:
b
n
φ(x)dx := ck · ∆xk
a
Obige Definition wird durch Unabhängigkeit von der Wahl der Zerlegung gerechtfertigt,
was streng genommen noch zu zeigen wäre.
k=1
Wie ermittelt man Flächen unter beliebigen Kurven?
Das Integral beliebiger Kurven kann auf zwei Weisen
mit dem Integral der Treppenfunktionen approximiert
werden.
1. Möglichkeit: Lege die Treppenfunktionen oberhalb
der Kurve und berechne die Summe der
Flächen unter den einzelnen ”Treppchen”.
2. Möglichkeit: Lasse die Treppenfunktionen unterhalb
der Kurve verlaufen und addiere die
Flächen unter den ”Treppchen”.
Diese Idee lässt sich mit der folgenden Definition
formalisieren.
Definition (Ober- und Untersumme)
Die Obersumme einer Funktion f(x) ist definiert
durch:
n
On := (xk − xk−1) · sup f(x)
k=1
xk−1