Differential- und Integralrechnung - Fachschaft MathPhys an der Uni ...

2. Sei h(x) := f(x)
g(x) , dann gilt h(x) · g(x) = f(x).
Mit 1 ii.) erhält man:
Umstellen liefert:
Erweitern mit g(x0) ergibt:
Setzt man h(x0) = f(x0)
g(x0)
f ′ (x0) = h ′ (x0) · g(x0) + h(x0) · g ′ (x0)
h ′ (x0) = f ′ (x0) − h(x0) · g ′ (x0)
g(x0)
h ′ (x0) = f ′ (x0) · g(x0) − h(x0) · g ′ (x0) · g(x0)
g(x0) 2
ein, so folgt:
h ′ (x0) = f ′ (x0) · g(x0) − f(x0) · g ′ (x0)
g(x0) 2
Beispiel (zur Produktregel)
Sei w(x) = x · sin(x). Setze w(x) = f(x) · g(x), wobei
Für die Ableitungen gilt:
Produktregel impliziert:
f(x) = x und g(x) = sin(x)
f ′ (x) = 1 und g ′ (x) = cos(x)
w ′ (x) = f ′ (x) · g(x) + f(x) · g ′ (x) = 1 · sin(x) + x · cos(x)
Beispiel (Zur Quotientenregel)
Sei z(x) = x
x2 f(x)
. Setze z(x) = , wobei
+ 1 g(x)
Für die Ableitungen gilt:
Quotientenregel liefert:
f(x) = x und g(x) = x 2 + 1 = 0
f ′ (x) = 1 und g ′ (x) = 2x
z ′ (x) = ( f
g )′ (x) = f ′ (x) · g(x) − f(x) · g ′ (x)
g(x) 2 = 1 · (x2 + 1) − x · 2x
(x2 + 1) 2 =
1 − x2
(x 2 + 1) 2
Satz (Kettenregel)
Seien I, J ⊂ R, g : I → J und h : J → R Funktionen. Sei x0 ∈ I. Seien g in x0 und h
in g(x0) differenzierbar. Dann ist h ◦ g in x0 differenzierbar und es gilt:
(h ◦ g) ′ (x0) = h ′ (g(x0)) · g ′ (x0)
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