Zusammenfassung Zahlenfolgen - Matthias Apsel

Arbeitsmaterial Zahlenfolgen Apsel Seite 1 Nov ´01
1. Bestimmung der Art der Zahlenfolge
- arithmetisch, wenn für alle FG gilt: a n + 1 − a n = konstant = d
- Jedes FG ist arithmetisches Mittel seiner Nachbarn: a
a
=
a n + 1
- geometrisch, wenn für alle FG gilt: = konstant = q
a
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n
n+
1
n
+ a
2
- Jedes FG ist geometrisches Mittel seiner Nachbarn: a n+
1 = a n ⋅a
n+
2
2. Bildungsvorschriften von Zahlenfolgen
explizit: direkt aus Gliednummer lässt sich das FG berechnen
rekursiv: FG lässt sich nur aus Vorgängern berechnen
Wortvorschrift explizit rekursiv
allgemein Quadratzahlen a
2
= n
1 und a = a + 2n
+ 1
arithm. = a + ( n −1)
⋅d
+ d
geometr.
n+
2
n
a1 = n+
1 n
a n 1
a1 = a1
und a n+
1 = a n
a n
n−1
= a1
⋅q
a1 = a1
und a n+
1 = a n ⋅q

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3. Monotonieuntersuchung von Zahlenfolgen
a n + 1
allgemein: - streng monoton wachsend, wenn für alle FG gilt: a n + 1 − a n > 0 oder > 1
a
a n + 1
- streng monoton fallend, wenn für alle FG gilt: a n + 1 − a n < 0 oder < 1
a
a n+ 1
- monoton wachsend, wenn für alle FG gilt: a n+
1 − a n ≥ 0 oder ≥ 1
a
a n+ 1
- monoton fallend, wenn für alle FG gilt: a n+
1 − a n ≤ 0 oder ≤ 1
a n
Jede streng monotone Zahlenfolge ist auch monoton, aber nicht umgekehrt.
arithmetisch: - streng monoton wachsend, wenn d > 0
- konstant, wenn d = 0
- streng monoton fallend, wenn d < 0
geometrisch: - a1 > 0 : - streng monoton wachsend, wenn q > 1
- konstant, wenn q = 1
- streng monoton fallend, wenn 0 < q < 1
- monoton fallend, wenn q = 0
- alternierend, wenn q < 0
- a1 = 0 : - konstant
- a1 < 0 : - streng monoton fallend, wenn q > 1
- konstant, wenn q = 1
- streng monoton steigend, wenn 0 < q < 1
- monoton steigend, wenn q = 0
- alternierend, wenn q <
0
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n
n
n

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4. Beschränktheit von Zahlenfolgen
allgemein: - obere Schranke S, wenn für alle FG gilt: a k < S
- untere Schranke s, wenn für alle FG gilt: s < a k
arithmetisch: - unbeschränkt, wenn d ≠ 0
geometrisch: - 0
a 1 > - unbeschränkt, wenn streng monoton wachsend
- 0
- s ≤ 0 , wenn streng monoton fallend
a 1 < - unbeschränkt, wenn streng monoton fallend
- S ≥ 0 , wenn streng monoton wachsend
5. Grenzwerte von Zahlenfolgen
allgemein: - g ist Grenzwert wenn fast alle FG in jeder noch so kleinen ε-Umgebung liegen
- mon. wachsend: - g a < ε
− n
- mon. fallend: - − g < ε
a n
- alternierend: - − g < ε
a n
- Jede monotone und beschränkte Zahlenfolge besitzt einen Grenzwert.
- Es kann nur einen geben
arithmetisch: - mon. wachsend: - a = " +∞"
geometrisch: - 0
lim n
n→∞
lim a n
n→∞
- mon. fallend: - = " −∞"
- konstant: - lim a n = a1
n→∞
a1 > - lim a n = " +∞"
n→∞
- lim a n = 0
n→∞
a1 < - lima n = " −∞"
n→∞
- lim a n = 0
n→∞
- 0
, wenn streng monoton wachsend
, wenn streng monoton fallend
, wenn streng monoton fallend
, wenn streng monoton wachsend
- siehe auch „Erscheinungsbilder geometrischer Zahlenfolgen“
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6. Partialsummen und Reihen
allgemein:
n
- s n = ∑ a k n-te Partialsumme,
k=
1
∑ ∞
lim sn
n→∞
- s 1 = a1
und s n+
1 = sn
+ a n+
1
= a k Reihe
k=
1
- Reihe nur dann konvergent, wenn die Folge eine Nullfolge ist.
- Aber die Reihe einer NF muß nicht konvergieren (Bsp. harmonische Reihe)
n
∑
k=
1
arithmetisch: - a = ( a + a )
geometrisch: -
k
n
2
1
- Reihe außer für ( ) ( 0;
0;
0;...
)
n
∑
k=
1
a
k
= a
1
n
n
1−
q
⋅
1−
q
a n = divergent
1
- Reihe für 0 < q < 1 konvergent lims n = ∑a k = a1
⋅
n 1−
q
∞
→∞
- sonst divergent
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k=
1